RLC串联电路零输入响应

1、RLC串联电路零输入响应第九章第九章 二阶电路分析二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程序分析高阶动态电路。程序分析高阶动态电路。RLC串联电路零输入响应91 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、

2、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 为了得到图为了得到图91所示所示RLC串联电路的微分方程，先列出串联电路的微分方程，先列出KVL方程方程RLC串联电路零输入响应 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 ) 19()(ddddSCC2C2 tuutuRCtuLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。)29(0ddddCC2C2 u

3、tuRCtuLC 其特征方程为其特征方程为 ) 39(012 RCsLCs 其特征根为其特征根为 )49(122221 LCLRLRs， 零输入响应方程为零输入响应方程为 RLC串联电路零输入响应 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时，时， 为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。 CLR2 21,ss 2. 时，时， 为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼情况。情况。21,ssCLR2 3. 时，时， 为共轭复数

4、根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR2 21,ssRLC串联电路零输入响应二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 )59(ee)(2121C tstsKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 )69()0(21C KKu 对式对式(95)求导，再令求导，再令t=0得到得到 )79()0(d)(dL22110C CisKsKttutRLC串联电路零输入响应 求解以

5、上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和电容的电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。 RLC串联电路零输入响应例例9-1 电路如图电路如图9-1所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。 42138331222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，

6、C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率）计算出固有频率图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路零输入响应 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（95）得到）得到 )0(ee)(4221C tKKtutt 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C CiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42C ttutt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 RLC串

7、联电路零输入响应 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响方程得到电感电流的零输入响应应 )0(A)e4e3(dd)()(42CCL ttuCtititt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。路各元件的能量交换过程。RLC串联电路零输入响应V)()e4e6()(42Cttutt 电容电压的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应 DNAP程序可以画出响应的波形。 )A()e4e3()(42Lttitt 电感电流的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应三、临界情况三、临界情况 当当 时，电路的固有

8、频率时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实为两个相同的实数数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 )89(ee)(21C ststtKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。确定。令式令式(9-5)中的中的t=0得到得到 )99()0(1C KuRLC串联电路零输入响应 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 将将 K1, K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（98）得到电容电压）得到电容电压的零输入

9、响应，再利用的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电可以得到电感电流的零输入响应。感电流的零输入响应。 对式对式(95)求导，再令得到求导，再令得到 )109()0(d)(dL210C CiKsKttutRLC串联电路零输入响应例例9-2 电路如图电路如图9-1所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。 22024221222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频

10、率的数值图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C CiKKttuKut 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（98）得到）得到 )0(ee)(2221c ttKKtuttRLC串联电路零输入响应 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL ttttuCtititttt 求解以上两个方程得到

11、常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容，得到电容电压的零输入响应电压的零输入响应 )0( V )e2e()(22C tttuttRLC串联电路零输入响应 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形画出的波形曲线，如图曲线，如图93所示。所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形图图93 临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( Ae4)()()0(V )e2e()(2CL22C tttititttutttRLC串联电路零输入响应V)()e2e()(22Ctttutt 电容电压的零输入响应波形RLC串联电

12、路零输入响应)A(e4)(2Ltttit 电感电流的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应四、欠阻尼情况四、欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复为为两个共轭复数根，它们可以表示为数根，它们可以表示为 CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs， 其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率称称为为谐谐振振角角频频率率称称为为衰衰减减系系数数2200 1 2 dLCLRRLC串联电路零输入响应 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 )119()cos(e)sin()cos(e)(21C tKtKtKtuttddd

13、式中式中 122221arctanKKKKK 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容后，得到电容电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流方程得到电感电流的零输入响应。的零输入响应。 RLC串联电路零输入响应例例9-3 电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。j4351222221 233LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4

14、)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路零输入响应 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(43d)(d)0( L210C1C CiKKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电，得到电容电压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应: )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0dd)()0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3

15、e)(cLc tttttuCtitttttutttt4444443333 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式代入式（911）得到）得到 )0( )sin(cose)(21C ttKtKtut443RLC串联电路零输入响应 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图94(a)和和(b)所示所示 (a) 衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减

16、系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图94 欠阻尼情况欠阻尼情况RLC串联电路零输入响应 从式从式(9-11)和图和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例当例93中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变为为0.5时，用计算机程序时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图的波形曲线，如图94(

17、c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。 RLC串联电路零输入响应V)()1 .53cos(e5)(ctttut 43电容电压的零输入响应波形u3 (t) =( t)*( 5.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t -53.13 )RLC串联电路零输入响应)A()74.73cos(e)(Ltttit 43i2 (t) =( t)*( 1.00 )* exp ( -3.00 t

18、)cos( 4.00 t +73.74 )电感电流的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应u3 (t) =(t)*( 3.45 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t -29.66 )A()66.29cos(e45. 3)(5 . 0Ctttut 4.97电容电压的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应i2 (t) =( t)*( .690 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t +66.08 )A()08.66cos(e69. 0)(5 . 0Ltttit 4.97电感电流的零输入响应波形RLC串联电路零输入响应例例9-4 电路如图电路如图9-1所示。已知

19、所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零 输入响应。输入响应。j551222221 LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图91 RLC串联二阶电路串联二阶电路RLC串联电路零输入响应 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（9-11）得到得到 )0()sin()cos()(21c ttKtKtu55 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电

20、流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1C CiKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容，得到电容电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应: )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin(1504. 0dd)()0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)(CLC tttttuCtitttttu555555RLC串联电路零输入响应 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波画出的电容电压和电感电流

21、的波形曲线，如图形曲线，如图95所示。所示。 图图95 无阻尼情况无阻尼情况 RLC串联电路零输入响应u3 (t) =(t)*( 3.31 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t -25.02 )V ()25cos(31. 3)( Ctttu 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。RLC串联电路零输入响应i2 (t) =(t)*( .662 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t +64.98 ) )A()65cos(66. 0)( Lttti 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。RLC串联电路零输入响应 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由

22、从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以

23、上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图种情况画在图96上。上。RLC串联电路零输入响应图图9-6RLC串联电路零输入响应 由图由图96可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率是不相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率是相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减