一元二次方程解决面积类问题

1、基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 能列一元二次方程解决面积类问题和数字类问能列一元二次方程解决面积类问题和数字类问题，学会数学建模题，学会数学建模. . 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标

2、标 先明确先明确b=b=外侧矩形长与里侧矩形长的差的一外侧矩形长与里侧矩形长的差的一半，半，a=a=外侧矩形宽与里侧矩形宽的差的一半，再通过化简分外侧矩形宽与里侧矩形宽的差的一半，再通过化简分式得式得ba. ba. 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习

3、点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 面积类问题面积类问题【例【例1 1】(2010(2010襄樊中考襄樊中考) )如图，是上海如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园的长为世博园内的一个矩形花园，花园的长为100100米，宽为米，宽为5050米，在它的四角各建一个米，在它的四角各建一个同样大小的正

4、方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分的观光大道，其余部分( (图内阴影部分图内阴影部分) )种植的是不同花草，种植的是不同花草，已知种植花草部分的面积为已知种植花草部分的面积为3 6003 600米米2 2，那么花园各角处的正，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？方形观光休息亭的边长为多少米？基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【思路点拨】【思路点拨】 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能

5、提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【自主解答】【自主解答】设正方形观光休息亭的边长为设正方形观光休息亭的边长为x x米米. .依题意依题意, ,有有(100-2x)(50-2x)=3600.(100-2x)(50-2x)=3600.整理整理, ,得得x x2 2-75x+350=0.-75x+350=0.解得解得x x1 1=5,x=5,x2 2=70.=70.x=70 x=7050,50,不合题意不合题意, ,舍去舍去,x=5.,x=5.答答: :矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5 5米米. .基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精

6、题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 平移转化是列一元二次方程解决面积类应用平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法，其核心思想是将分散的几块图形通过平移转题常用的方法，其核心思想是将分散的几块图形通过平移转化为一个整体，利用列方程解决实际问题化为一个整体，利用列方程解决实际问题. . 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标1.1.三角形一边的长是该边上高的三角形一边的长是该边上高的2 2倍，且面积是倍，且面积是3232，则该边，则该边的长是的长是( )(

7、 )(A)8 (B)4 (C)4 (D)8(A)8 (B)4 (C)4 (D)8【解析】【解析】选选D.D.可设该边的长为可设该边的长为x x，则高为，则高为 x x，可列方程，可列方程 x x=32x x=32，解得，解得x x1 1=8 =8 ，x x2 2=-8 ,=-8 ,由于线段长不能由于线段长不能为负，故为负，故x x2 2=-8 =-8 舍去所以该边长为舍去所以该边长为8 .8 .221212122222基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标2.2.已知菱形面积为已知菱形面积为2020，两条对角线的

8、差是，两条对角线的差是3 3，菱形的两对角，菱形的两对角线的长为线的长为_._.【解析】【解析】设菱形一条对角线长为设菱形一条对角线长为x x，则另一条对角线长为，则另一条对角线长为x+3x+3依菱形面积公式得依菱形面积公式得 x(x+3)=20 x(x+3)=20，所以，所以x x2 2+3x+3x40=040=0，解得解得x x1 1=5=5，x x2 2= =8(8(舍去舍去) )，x+3=5+3=8x+3=5+3=8所以菱形两对角线所以菱形两对角线长为长为5 5和和8.8.答案答案: :5 5和和8 812基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升

9、作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标3.(20103.(2010济南中考济南中考) )如图所示如图所示, ,某幼儿某幼儿园有一道长为园有一道长为1616米的墙，计划用米的墙，计划用3232米米长的围栏靠墙围成一个面积为长的围栏靠墙围成一个面积为120120平方平方米的矩形草坪米的矩形草坪ABCD.ABCD.求该矩形草坪求该矩形草坪BCBC边边的长的长. .【解析】【解析】设设BCBC边的长为边的长为x x米米, ,根据题意得根据题意得x =120 x =120解得解得:x:x1 1=12,x=12,x2 2=20,20=20,2016,x16,x2 2=20=20不合题意，舍去不合题意，舍

10、去. .答答: :该矩形草坪该矩形草坪BCBC边的长为边的长为1212米米. . 32x2基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 面积的转化面积的转化. . 如图所示的矩形如图所示的矩形ABCDABCD长为长为b,b,宽为宽为a,a,阴影道路的宽为阴影道路的宽为x,x,则则4 4块空白部分面积的块空白部分面积的和可以转化和可以转化(a-x)(b-x).(a-x)(b-x).基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 数字类问题数字类问题

11、【例【例2 2】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2 2，十位，十位上的数字与个位上的数字的积的上的数字与个位上的数字的积的3 3倍刚好等于这个两位数，倍刚好等于这个两位数，求这个两位数求这个两位数. .【思路点拨】【思路点拨】基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【自主解答】【自主解答】设十位数字为设十位数字为x x，则个位数字为，则个位数字为x+2.x+2.根据题意根据题意得：得：3x(x+2)=10 x+x+2,3x(x+2)=10 x+x+2,解得：解得：x x

12、1 1=2,x=2,x2 2=- (=- (舍去舍去).).当当x=2x=2时，时，x+2=4.x+2=4.，这个两位数为，这个两位数为24.24.13基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 一个两位数，十位数字为一个两位数，十位数字为a a，个位数字为，个位数字为b.b.则十位上的数字则十位上的数字a a表示表示a a个十，即个十，即10a10a，个位上的数字，个位上的数字b b表示表示b b个个1 1，即，即b. b. 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课

13、课时时训训练练基基础础达达标标4.4.两连续奇数之积为两连续奇数之积为6363，这两个数为，这两个数为_._.【解析】【解析】设较小的一个奇数为设较小的一个奇数为x x，x(x+2)=63,x(x+2)=63,解得解得x x1 1=7=7，x x2 2= =-9-9，当，当x=7x=7时，时，x+2=9x+2=9；当；当x=-9x=-9时，时，x+2=-7.x+2=-7.答案：答案：7 7、9 9或或-7-7、-9-9基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标5.5.三个连续的正整数，其中较小的两个整数的平方和等于较

14、三个连续的正整数，其中较小的两个整数的平方和等于较大的整数的平方，求这三个数大的整数的平方，求这三个数. .【解析】【解析】设较小的正整数为设较小的正整数为x.x.则则x x2 2+(x+1)+(x+1)2 2=(x+2)=(x+2)2 2解得解得x x1 1=-1(=-1(舍去舍去),x),x2 2=3.=3.当当x=3x=3时，时，x+1=4x+1=4，x+2=5.x+2=5.答：这三个数为答：这三个数为3 3，4 4，5. 5. 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标 连续的整数相差连续的整数相差1 1，连

15、续的奇数、偶数都分别，连续的奇数、偶数都分别相差相差2. 2. 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标1.1.若一个数和它的一半的平方和等于若一个数和它的一半的平方和等于5 5，则这个数是，则这个数是( )( )(A)2 (B)-2 (C)2(A)2 (B)-2 (C)2或或-2 (D)-2 (D)都不对都不对【解析】【解析】选选C.C.设这个数为设这个数为x x，由题意得，由题意得x x2 2

16、+( )+( )2 2=5=5，解方程，解方程得得x=2x=2或或2.2.x2基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标2.2.用用22 cm22 cm的铁丝，折成一个面积为的铁丝，折成一个面积为30 cm30 cm2 2的矩形，则这个的矩形，则这个矩形的两边长为矩形的两边长为( )( )(A)5 cm(A)5 cm和和6 cm (B)6 cm6 cm (B)6 cm和和7 cm7 cm(C)4 cm(C)4 cm和和7 cm (D)4 cm7 cm (D)4 cm和和5 cm5 cm【解析】【解析】选选A.A.设长

17、方形的其中一条边长为设长方形的其中一条边长为x cmx cm，则另一条边，则另一条边长为长为(11(11x) cmx) cm，由题意得，由题意得x(11-x)=30 x(11-x)=30，解方程得，解方程得x=5x=5或或6.6.基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标3.3.在一个长为在一个长为5050米米, ,宽为宽为3030米的矩形空地上米的矩形空地上, ,建造一个花园建造一个花园, ,要求花园的面积占整块面积的要求花园的面积占整块面积的75%,75%,等宽且互相垂直的两条路等宽且互相垂直的两条路的面积占的面

18、积占25%,25%,则路的宽度为则路的宽度为_米米. .【解析】【解析】设路的宽度为设路的宽度为x x米米, ,根据题意得根据题意得(50-x)(30-x)=50(50-x)(30-x)=50303075%.75%.整理得整理得x x2 2-80 x+375=0.-80 x+375=0.解得解得x x1 1=5,x=5,x2 2=75(=75(不合题意不合题意, ,舍去舍去).).即路的宽为即路的宽为5 5米米. .答案答案: :5 5基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标4.4.两个相邻偶数的积为两个相邻偶数的

19、积为120,120,则这两个偶数是则这两个偶数是_._.【解析】【解析】设这两个相邻偶数分别为设这两个相邻偶数分别为x,x+2.x,x+2.根据题意得根据题意得x(x+2)=120.x(x+2)=120.解得解得x x1 1=10,x=10,x2 2=-12,=-12,当当x=10 x=10时时,x+2=12;,x+2=12;当当x=-12x=-12时时,x+2=-10.,x+2=-10.答案答案: :10,1210,12或或-12,-10-12,-10基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标5.5.在一幅长在一幅

20、长8 8分米，宽分米，宽6 6分米的矩形风景画分米的矩形风景画( (如图如图) )的四周镶的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图( (如图如图) )如果要如果要使整个挂图的面积是使整个挂图的面积是8080平方分米，求金色纸边的宽平方分米，求金色纸边的宽. .基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】设金色纸边的宽为设金色纸边的宽为x x分米，根据题意，得分米，根据题意，得(2x(2x6)(2x6)(2x8)8)80.80.解得：解得：x x1 11 1，x x

21、2 28(8(不合题意，舍去不合题意，舍去) )答：金色纸边的宽为答：金色纸边的宽为1 1分米分米基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标一、选择题（每小题一、选择题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的周长是的周长是20 cm20 cm，以，以AB,ADAB,AD为边向外作正方形为边向外作正方形ABEFABEF和正方形和正方形ADGHADGH，若，若正方

22、形正方形ABEFABEF和正方形和正方形ADGHADGH的面积之和为的面积之和为68 cm68 cm2 2，那么矩形，那么矩形ABCDABCD的面积是（的面积是（ ）（A A）21 cm21 cm2 2 （B B）16 cm16 cm2 2（C C）24 cm24 cm2 2 （D D）9 cm9 cm2 2基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】选选B.B.设设ABAB长为长为x cmx cm，则，则ADAD为（为（10-x10-x）cm.cm.根据题意根据题意得：得：x x2 2+(10-x)+

23、(10-x)2 2=68.=68.解得解得x x1 1=8,x=8,x2 2=2.=2.当当x=8x=8时，时，10-x=210-x=2，面积，面积为为16 cm16 cm2 2; ; 当当x=2x=2时，时，10-x=810-x=8，面积为，面积为16 cm16 cm2 2. .基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标2.2.餐桌桌面是长为餐桌桌面是长为160 cm160 cm，宽为，宽为100 cm100 cm的长方形，妈妈准备的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的设计一块桌布，面积是桌面的2 2倍，且使

24、四周垂下的边等宽，倍，且使四周垂下的边等宽，小刚设四周垂下的边宽为小刚设四周垂下的边宽为x cmx cm，则应列方程为，则应列方程为( )( )(A)(160+x)(100+x)=160(A)(160+x)(100+x)=1601001002 2(B)(160+2x)(100+2x)=160(B)(160+2x)(100+2x)=1601001002 2(C)(160+x)(100+x)=160(C)(160+x)(100+x)=160100100(D)2(160 x+100 x)=160(D)2(160 x+100 x)=160100100【解析】【解析】选选B.B.据桌布的面积据桌布的面积

25、=2=2桌面面积得方程桌面面积得方程. .基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABCABC9090，ABAB8 cm8 cm，BCBC6 cm6 cm动点动点P P、Q Q分别分别从点从点A A、B B同时开始移动，点同时开始移动，点P P的速度为的速度为1 cm1 cm秒，点秒，点Q Q的速度为的速度为2 cm2 cm秒，点秒，点Q Q移动到点移动到点C C后停止，点后停止，点P P也随之停止运动也随之停止运动. .下列时间瞬间中，下列时间瞬间中，能使能使PBQPB

26、Q的面积为的面积为15 cm15 cm2 2的是的是( )( )(A)2(A)2秒钟秒钟 (B)3(B)3秒钟秒钟(C)4(C)4秒钟秒钟 (D)5(D)5秒钟秒钟基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】选选B. B. 设设t t秒后秒后PBQPBQ的面积为的面积为15 cm15 cm2 2. .则则 =15=15，解得，解得t t1 1=3,t=3,t2 2=5=5（舍去）（舍去）. .2t 8t2基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训

27、练练基基础础达达标标二、填空题（每小题二、填空题（每小题4 4分，共分，共1212分）分）4.4.用一根长用一根长24 cm24 cm的铁丝围成一个斜边长是的铁丝围成一个斜边长是10 cm10 cm的直角三角的直角三角形，则两直角边长分别为形，则两直角边长分别为_._.【解析】【解析】设一直角边长为设一直角边长为x cmx cm，（，（1414x x）2 2+x+x2 2=10=102 2. .答案答案: :6 cm,8 cm6 cm,8 cm基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标5.5.如图如图, ,在在201

28、12011年年1111月日历表中，上下相邻两个日期的乘积月日历表中，上下相邻两个日期的乘积为为9898，则这两个日期为，则这两个日期为_._.基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】设上面的日期为设上面的日期为x,x,则下面的日期为则下面的日期为x+7.x+7.根据题意，得根据题意，得x(x+7)=98.x(x+7)=98.解得解得x=7x=7或或x=-14(x=-14(舍去）舍去）. .当当x=7x=7时，时，x+7=14.x+7=14.答案：答案：7,147,14基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛

29、精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标6.6.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4 cm4 cm的小正的小正方形方形, ,做成一个无盖的盒子做成一个无盖的盒子, ,盒子的容积为盒子的容积为400 cm400 cm3 3, ,则原铁皮则原铁皮的边长为的边长为_._.【解析】【解析】设原铁皮的边长为设原铁皮的边长为x cm,x cm,则则4(x-44(x-42)2)2 2=400.=400.解得解得x x1 1=18=18或或x x2 2=-2(=-2(舍去舍去).).答案答案:18 cm:18 cm基

30、基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标三、解答题（共三、解答题（共2626分）分）7.7.（8 8分）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将分）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 1米的正方形后，剩米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为下的部分刚好能围成一个容积为1515米米3 3的无盖长方体箱子，的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多且此长方体箱子的底面长比宽多2 2米，现已知购买这种铁皮米，现已知购买这种铁皮每平方米

31、需每平方米需2020元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？元钱？ 基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】设这种箱子底部宽为设这种箱子底部宽为x x米，则长为（米，则长为（x+2x+2）米，）米，依题意，得依题意，得x(x+2)x(x+2)1=15.1=15.解得解得x x1 1=-5(=-5(舍去舍去) )，x x2 2=3.=3.这种箱子底部长为这种箱子底部长为5 5米、宽为米、宽为3 3米米由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为由长方体展开图知，

32、要购买矩形铁皮面积为(5+2)(5+2)(3+2)=35(3+2)=35（米（米2 2）. .做一个这样的箱子要花做一个这样的箱子要花353520=700(20=700(元元).).基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标8.(88.(8分分) )小亮家想利用房屋侧面的一面小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示现在已备足可以砌如图所示现在已备足可以砌1212米长的米长的墙的材料墙的材料. .（1 1）如果小亮家想围成面积为）如果小亮家想围成面积为16m

33、16m2 2的矩形猪圈，你能够教的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？他们怎么围吗？（2 2）如果小亮家想围成面积为）如果小亮家想围成面积为20m20m2 2的矩形猪圈，你认为可的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由能吗？说明理由. .基基础础梳梳理理预预习习点点睛睛精精题题例例解解举举一一反反三三知知能能提提升升作作业业课课时时训训练练基基础础达达标标【解析】【解析】（1 1）设垂直于墙的边长为）设垂直于墙的边长为xmxm，则，则x x（12122x2x）=16=16，解得，解得x x1 1=2=2，x x2 2=4=4，所以垂直于墙的边长为，所以垂直于墙的边长为2 2米或米或4 4米米. .（2 2）不可能）不可能. .理由如下理由如下: :设垂直于墙的边长为设垂直于墙的边长为ymym，则，则y y（12122y2y）=20=20，此方程无解，所以不能够围