四川成都试验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学试题解析版

1、成都实外高三二诊模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 .设集合M=£邛=兼一,N=九+2/eZ），则（）A.；，：.B.C.WD.A；I三一0【答案】A【解析】【分析】本题首先可以根据集合时与集合N的表达式来确定集合时与集合N中所包含的元素，然后通过集合之间的关系的相关性质即可得出结果。【详解】因为集合M二国*=波1,丘与,所以集合时是所有的奇数表示的集合，因为集合M=xM+2#£7）,所以集合N是所有的整数表示的集合，所以集合时是集合N的真子集,故选A。【点睛】本题考查了集合的相关性质

2、，主要考查了两集合之间的关系，考查了推理能力，体现了基础性，提高了学生对于集合的理解，是简单题。一一一、213十布一一、.2 .在复平面内，复数.对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可.Q|3+4i|55（2-0.【详解】由题意得=s_L,2+I2+f（2+i）2-0所以复数在复平面内对应的点为（4-1）,在第四象限.2+I故选D.【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题.3.已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（）B.极

3、差为19D.平均数为64A.众数为7C.中位数为64.5【答案】C根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数.【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67,A错误;极差是75-57=18,B错误；62+67.中位数是=64.5,C正确；1,i平均数为60+-(-3-1+1+2+7+7+12+15)=65,D错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题.4.函数f(x)=<xw彳的图像大致为()37r【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C,再根据函数最值确定选项3tf3tf2r【详解】因为一区三"三乏

4、,fD二-XS访/=rf，所以f为奇函数，不选A,C,又因为三与M-时穴X)ED所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域,判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性;由函数的周期性，判断图象的循环往复二曲风则啕的前6项和为()5.等比数列%各项均为正数,若4=1，/+2+2%+B.，1365D.W2463C.32【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及+2+2%+产8%，可得q的值，计算即可.【详解】解：等比数列5各项均为正数，且/+工+2%+=呵%“酒2+2%内=加明/十2q=

5、立可得q=2或q=-4(舍去)，.白式1一心.二=63,心()故选B.【点睛】本题考查了等比数列的性质及前n项和的公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.已知向量仃与B的夹角为6T,|£=2,画=5,则源-5在a方向上的投影为()$3,5A.-.：B.-C.-D.-【答案】B【解析】【分析】先求出(2a-)a,再根据投影的定义可得所求结果.【详解】.向=2,历=5,向量&与占的夹角为60。，.3一分亩=2a2-6a=Zx22-5x2xcoshQP=3,-0,一、-，一»卜a3口-b在口方向上的投影为'二=三.101上故选B.【点睛】解答本题的关键利用投

6、影的定义求解，其中先求出两个向量的数量积是必须的步骤，考查数量积的定义和数量积的运算，属于基础题.7.设口力是两条直线，4,是两个平面，则的一个充分条件是（）A.，_："B.,一：一.丁C.：D.【答案】C【解析】试题分析：A.口出可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B.ab；D.公方可能垂直，不垂直，或是平行都有可能；C.，那么b_£K，Q;色，那么，故C正确.考点：线线，线面，面面位置关系8 .已知行+京，展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则门等于（）A.B.C.，D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据二项式（金+七）”得出各项系数的和，然

7、后根据二项式C&十”得出各项二项式系数的和，最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,即可得出结果。【详解】二项式（而+台的各项系数的和为（1十3欧=41二项式（怖+秀）”的各项二项式系数的和为11+1尸=2n,因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,4Tl所以不=邛=64,«=6,故选Co2n【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式的各项系数的和以及各项二项式系数的和，考查计算能力，体现了基础性，提高了学生对于二项式的理解，是简单题。9 .如果执行下边框图，则输出的数§与输出的”的关系是（）A.；*C.：.一）.，：D.A：'

8、L-?【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图得出数5可以看作数列nX2）的前N项和的结论，然后通过错位相减法计算出数列作乂2口的前N项和，即可得出输出的数5与输出的N的关系。【详解】由程序框图可知，5=1x21+2x2*十十，2s=1+?乂少+N乂2*2,由可得S=Nx2-h-2-2z-232#=Nx2杏+1_空二?_1=（*_）x2+2,12综上所述，故选Ao【点睛】本题考查了程序框图的相关性质以及错位相减法的使用，能否根据程序框图找出题目所给出的数之间的联系以及能否熟练使用错位相减法求和是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题。10.在A»。中，

9、角4兄£的对边分别是见比。B.,若acosB-bcosA=2,则C.+bcosB一口”，月一的最小值为（）2J3D.【解析】【分析】,.L.,.,a,m&e二八八，sinZ3t：os4小一一，msinA3cos4-本题首先可以根据三角恒等变换将QgsH-bcos/l=-转化为=,然后利用=将2sinBcosBstnBcosBco5n+bcosBcosAcos8J转化为一-+-最后根据基本不等式的相关性质即可得出结果。acosBcosB3cosA【详解】因为acosBbcosA=,所以2sinAcnsR-2ainficosA=sinC,2sinAcnsR2sinHcgsA=si

10、n(A+=sinAcosB+cosAsinR,."出百3cosAsinAccusBSsinficnsA0,即=-,sinBcosBE、acosA+bcosBcosAbcos/I5mBcosAcosBcosAcosU23因为=-+-=-+=-+>2,-=士,acosBcosBacos8sinAcosH3cosAcosB3cosA3acasA+buosB23所以的最小值为；，故选DoacosBJ【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及基本不等式的使用，考查了推理能力，体现了基础性与综合性，提高了学生对于三角函数公式的使用熟练度，是中档题。PA211 .已知月

11、口)，若点P是抛物线/二取上任意一点，点Q是圆任-2肝+/=1上任意一点，则铸的最小值为A.3B.-：尸-4C.D.4【答案】B【解析】【分析】nPA2PA2PAfx2+2x+9crx2+2x+9设P(x,y),利用三角形知识得到三，>,转化成三之，令久+3=限三3),将-|PQ|PF|+1|PQ|x+3x+312转化成y=r+7一力，问题得解。【详解】设P(#M,由抛物线/二取方程可得：抛物线的焦点坐标为产(工0),由抛物线定义得：|PF|=x+2crn,PA2PA2(x-3)2+Bxl+"+9PQ一|PF|+1所以当且仅当PQ,F三点共线时(F点在PQ中间)，等号成立，人口

12、，jr2+2x+9,(C-3)2+Z(t-3)+912I12令上+3=L口岂3),可化为：y=-=t+4>2x4=4'3-4,当且仅当r=2v3,即：犬=入后一m时，等号成立。故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力,属于基础题。12 .已知,%，#&E1,234,M%外g声4）为声*#4中不同数字的种类,如MLL2.3）=3,N（L2,2、1）=2,求所有的256个（/外%）4）的排列所得的外，%，%）的平均值为（）87A.11B.I177C.175D.本题首先可以确定'（%.%"中04）的所

13、有可能取值分别为L2、3、4,然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出砥%,吗囚于%）的平均值。【详解】由题意可知:当=1时P=4X=464'当N=2时,6乂（。：+1斗4）8421-)256644X3(6+3+3)_144_925616'当N（%,勺声小）=4时,L下一标一灵'综上所述，所有的256个（右%，%浦4）的排列所得的N眄0"中）的平均值为:211X+2XP3X+4X=64641632175一一,故选D。64【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出NWr叼maQ的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应

14、的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题。、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.O1>>-oA+y13 .设满足条件【答案】2【解析】【分析】根据已知条件画出可行域，平移目标函数，得到最优解，可得答案【详解】解：由题意，根据已知条件作出如下可行域：22设z=2x+3y,即:V=、£+于，由图可知，当目标函数过点C时，z=2x+3y最小，JO由蕤T,可得C（1,0）,故（"+：3¥"h=2故答案：2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，相对简单14 .圆心在直线-7二°上的圆C与¥轴交于两点用电一句坑口

15、,一2）则圆C的方程为【答案】Cx-2)2+(y+3)2=S【解析】分析：根据题意，列出关于圆心和半径的方程，求解即可。详解：设圆的方程为（口产十-炉二/，根据题意可得：2a-h-7=0,/十（4+b）?二/，/十（2十b），二产，联立求解可得以=2.6=-至广=4.所以圆C的方程为（工-2）2+。+3/=5。点睛：已知曲线类型，求参数利用待定系数法，根据题意列方程，对圆的参数圆心坐标和半径求解,是常见解法。15 .由曲线y=4（天之。）与它在工=1处切线以及x轴所围成的图形的面积为1【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积曲

16、线¥，当x=1时，y=1,二=3，,“在点（1,1）处的切线的斜率为k=3x12=3,可得切线的方程为y=3x-2,2“直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（1°）,1可得围成图形的面积：S=pJx-ix（l-1）xl=4|J-i=I4=A，J23464610故答案：.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.16 .对于实数巴用回表示不超过s的最大整数，例如冏=3,N幻=1"一呵=一4,设x为正实数，若口口9闽为偶数，则称x为幸运数.在区间（0,1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为【答案】g【解析】【详解】注意

17、当，£(仇1)时，口白/。；因此口也词为偶数当且仅当，。叱E-z-1)U-4,-3)U-自-5)U，也即.111111这些区间的长度之和为14一一1因此，x是幸运数的概率为-.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.如图，正四棱柱小8匚。-&8。必中，再1=涮8=4,点E在eq上且%E=*EO.(1)证明：百，J平面9ED；(2)求二面角4DER的余弦值.【答案】(I)详见解析；(n)空.42【解析】【分析】首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出以匚£,4的坐标以及向量限瓯力工、口片，然后通过而A；C;0以及麻

18、C=口即可得出面上婷冰“出,最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以通过求出平面小盘与平面DM的法向量来求出二面角/-DE-R的余弦值。以？为坐标原点，射线力为身轴的正半轴，射线为y轴的正半轴，射线D%为7轴的正半轴，建立空间直角坐标系的灯,即可得出风220)、C(OZO)、E(O&L),坐。用、施=(021)、曲二(2,2,0)、4；C=(-22-4)、ON1二(2田,4)。(1)因为4；L丽=0,WC=0,所以&C_LDE,因为RDnDE二门,所以百/1平面BED；(2)设向量n=1占卜乃是平面口同正的法向量，则niE,nkDAly故2y+z=0,2x+4z=0.

19、令y=l,则芸=-2,x=4,n=(44,-2),伍金；G等于二面角DE-丹的平面角,tvAaCJI4网耐。=隔二石。【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题。18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，好年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展得壮丽史诗.会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了1U0张照片参

20、加“改革开放4。年图片展”，其作者年龄集中在25,8S之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：皿0.0300.0250.0300.015000S(1)求这位1。作者年龄的样本平均数算和样本方差1(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)央视媒体平台从年龄在45,5S和65,7司的作者中，按照分层抽样的方法，抽出来7人参加“纪念改革开放4。年图片展”表彰大会，现要从中选出？人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间45,55的人数是F,求变量F的分布列和数学期望.【答案】(1)一=60再2=180;(2)详见解析【解析】【分析】(1)首先可以通过频率分布直方图得出每个年龄段所对应的概率，

21、然后通过平均数以及方差的计算公式即可得出结果；(2)首先可以通过题意以及分层抽样的相关性质得出在4555以及165,7可年龄段的人数，然后得出了的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率，即可列出分布列并计算出数学期望。【详解】(11这位作者年龄的样本平均数亍和样本方差1分别为=30X0,05+40X0.1+50X0.15460X0.35+70X0.2+80X0.15=60,/=(-30)工x(1,05+(-20/x0一1+(-10-乂Q.15+。x0.35+10*x0,2+ZO2x0,15=18。；(2】根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在45,55内有三人，在65,75内有，1人，

22、故F可能的取值为0,L2,m：八堂：4-C3C+18P10尸飞_二南心二】产不二会P(2尸萼二”心二3产望二上所以F的分布列为:Y0123|4|叫12|1IPy4181219所以V的数学期望为=0x+lx+2x-+3x-oOO力口UiJ1/【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列以及数学期望的相关性质，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查推理能力与计算能力，是中档题。19.已知函数=2匚口33破疝m以+33所品13>0),71f(G)=l，f(”)=一且出一利ndu(1)求的单调递减区间；门汨2H，Tlx3G7力我若烦喝-广十呼+向=-汲求

23、后)的值.【答案】单调递减区间为上打+E7；(2)【解析】【分析】(1)根据题意求出函数/(X)的解析式，然后可求出它的单调递减区间.加(£一§=+。)=-,然后由f$)=2$加卜+苴-1=Zsin(b+0)-Mi(2)结合条件求出-1可得结果.【详解】(1)Kx)=2gsMninsx+4匚gsx)一木一1=2sin(t)xcos(i)x+2j3cos&)x131=sin2(Jt>x+第(2(:口占%.1)1=stn2ci>x+匚as2a犬一工7T=2sm(2t0A：+7-)-1.-IEsm(7(x+g)E1,一3<2,sin2<i)x+&#

24、167;)-11,期的最大值为1,最小值为3.7T又=1/(勺)=-3,且因工人向二Z,du71.函数制的最小正周期为2X-=?7,H一1,7T.fM二2sin2x+-)-1.7T7T三狂由：232得;.,JL士jl.f(x)的单调递减区间为伙+说*刘+记#E£(2)由(1)得=2si*-q卜1=壬.ZSJ/57T4尔£?3卜.cosi-5mg-)=|一7八_m2历-+/?)=_且区£e(->,zbd3/,.m,，T79，:，I,V_'：.；'.一"：一一MijI2s?i(ct+g)-(g7TTTi=rstn(a+佻sspJ-cos

25、(a+向#e/-I-17254ixs-1【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为人刈=43加。江+仍的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数A对结果的影响.（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解.20 .已知椭圆。：W+不=1g>b>。）的左右焦点分别是右心抛物线¥?二船与椭圆（：有相同的焦点，点Pab为抛物线与椭圆。在第一象限的交点，且满足甲匕|=:（1）求椭圆。的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线1,与椭圆交于

26、儿月两点，与工轴交于点时，线段乩月的垂直平分线与y轴交于点N,求直线对可斜率的最小值./y2平【答案】（I）-+-=i；（n）一号气3J上【解析】【分析】7（1）首先可以通过抛物线/二联与椭圆匚有相同的焦点得出椭圆。的焦点坐标，然后通过IFF/三司列出等式y.49+1+/=£并解出/的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果;L4J9（2）首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设48两点坐标为四肛内）、B（丹阳并根据切线方程与椭圆交于A、片两点并求出+x不勺勺的值，然后根据勺+勺，勺勺的值写出AB的中点坐标以及AB的垂直平分线方程，最后写出之计并得出结果。【详

27、解】（1）因为抛物线V=与椭圆。有相同的焦点,所以椭圆C的焦点片（L4（L0）,设点P的坐标为80-（舍去），J将p点坐标代入抛物线方程式可得彳+不联立可解得221=4,所以椭圆的方程为土+乙=1;43（2）设与抛物线相切的切点坐标为将抛物线转化为了=2怖可知直用=1L,即切线斜率为1_2彳一立T通过点斜式方程可知直线整理得直线4二一#+吃，与x轴父点坐标M（一打,0）与椭圆方程联立可得3+J+&+-12=a,A>0一8即x+x2=到0+16,AB的中点坐标为xlx2=23y02+16到+16337°牙02+16所以AB的垂直平分线方程为y。即N|口,13十16因为兄&

28、gt;口，所以MN3为+161612,当且仅当即工工时“二”号，此时Kmh取最小值，最如。+3为小值为一3【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性,提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。21 .已知函数f(吗=+口)(E为自然对数的底数，为常数，并且口W1)(1)判断函数”封在区间(1内是否存在极值点，并说明理由；(2)若当口二,2时，f(<k(kE为恒成立，求整数k的最小值.【答案】(1)无极值点；(2)0.【解析】【分析】(1)由题意结合导

29、函数的符号考查函数是否存在极值点即可；(2)由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可.【详解】(1)r=加x-#+：+日-1),令gO)=加*一#+-+*1,#e(L叶)，则f(x)=exg(x),x2-X+1©=2<0恒成立，所以g(x)在(1,e)上单调递减，x所以g(x)<g(1)=a-K0,所以f(x)=0在(1,e)内无解.所以函数f(x)在区间(1,e)内无极值点.(2)当a=ln2时，f(x)=ex(-x+lnx+ln2),定义域为(0,+°°),1if'(工)=ex(lnx-x-¥-+ln2-l令h

30、Q)=出工-工+-+,21,xx由(I)知，h(x)在(0,+8)上单调递减，又卜(；)=1>0,h(1)=ln2-1<0,所以存在E1),使得h(x。=0,且当xC(0,x1)时，h(x)>0,即f(x)>0,当xC(x1,+°°)时，h(x)v0,即f(x)v0.所以f(x)在(0,X1)上单调递增，在(X1,+8)上单调递减，所以fWmax=J1-1+出巧+吟由h(Xi)=0得出均-X1+工+出2-1=0,即M巧-巧+出2=1-工，/11所以，令广二靖(1-1),龙h1),则/二己+1)>。恒成立，X2JTX_,1,1_,所以r(x)在勺

31、1)上单调递增，所以r(-Xr(x)<r(l)=O,所以f(x)max<0,又因为汽历2+52)=-y>1，所以-ivf(x)maY0,所以若f(x)vk(kCZ)恒成立，则k的最小值为0.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题.选考题：t#考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面坐标系，勺中，曲线G的参数方程为;奈G为参数).以坐标原点门为极点，尤轴正半轴为极轴万建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线G的极坐标方程为户3而(。-，=-冷.(1)把曲线C的方程化为普通方程，Q的方程化

32、为直角坐标方程EF(2)若曲线G,Q相交于人口两点，总仃的中点为P,过F点作曲线q的垂线交曲线G于反尸两点，求口.|尸匕,|rr【答案】(1)G：y=加C2：x-y-l=0-(2)【解析】【分析】(L利用代入法消去参数可得到曲线口的普通方程，利用为黑可得&的直角坐标方程；0)利用(1)的结*=2-2论，利用一元二次方程根和系数关系求得线段AB的中垂线参数方程为:&U为参数)，代入V=2#,卜=«利用直线参数方程的几何意义可得结果.【详解】m曲线。的参数方程为y=2tz(其中t为参数；，转换为直角坐标方程为：/二.曲线的极坐标方程为=-.转换为直角坐标方程为：，y-l=u.0设人均打），坑0以），且中点收力而，联立方程为：,整理得：，一4万+1二。所以：+=