激光束传输与变换第四讲

1、 LaguerreGauss光束是波动方程在柱坐标中的解。这种解对应着具有轴对称（圆对称）光学谐振腔的振荡模式。1. LaguerreGauss光束1. LaguerreGauss光束 对于轴对称系统，我们选用柱坐标系。在柱坐标系中波动方程(1.4.3)变成 式中为径向变量，为角变量。021122222zki(1.6.1) 1. LaguerreGauss光束设上式的解有如下形式式中F(,z)是变量和z的待定函数，l是整数.p和q满足lqkpizFz22exp),(),(1.6.2) qidzdpdzdq , 1(1.6.3) 1. LaguerreGauss光束将所设解(1.6.2)代入方程

2、(1.6.1)，得假设这个方程可以用分离变量法求解，令02212222FzkiFlFqkiFF(1.6.4) )(2222zhfFl(1.6.5) 1. LaguerreGauss光束 将上式代入方程(1.6.4)，并利用下面的关系式211iRqRdzd112222 , ,2dfdfddff(1.6.6) (1.6.7) (1.6.9) 1. LaguerreGauss光束 经运算，最后得到两个独立的方程 式中p,l为正整数。0)1(22pffddlfddlphdzdhik2412(1.6.10) (1.6.11) 1. LaguerreGauss光束方程(1.6.11) 的解为式中(z)由(

3、1.4.16)式给出。)()2(exp)(zlpizh(1.6.12) 20)(zarctgz(1.4.16) 1. LaguerreGauss光束 方程(1.6.10)叫做Laguerre方程，其解为Laguerre多项式pkklpkpkkllpL0)!( !)!()()!()(1.6.13) 1. LaguerreGauss光束最初几个低阶Laguerre多项式为 . . . . )2( 2)2)(1(21)(1)(1)(2210lllLlLLlll(1.6.14) 1. LaguerreGauss光束 将上面的结果代入(1.6.2)式，得到LaguerreGauss光束的场的表达式 式中

4、Clp为常数。)() 12()(2exp )(expsincos)(2)(2)(222220zlpizRkkzizllzLzzCUlpllplp(1.6.15) 1. LaguerreGauss光束 决定角向分布的cos l 和 sin l 因子可任选一个。 但当l=0时，只能选择cos项，否则将导致整个式子为零。 该式在l=0、p=0时退化成基模Gauss光束的表达式。 LaguerreGauss光束场的横向分布是由(1.6.15)式的振幅部分决定的。在垂直于光束的任意一个截面上，如果省略掉常数因子，振幅部分的表达式为llLAlpllpsincosexp22),(2222(1.6.16) 光

5、场振幅随角度 的变化 在垂直于光束的截面上，光场振幅随角度 的变化取决于因子cos l或sin l。 当从0变到2时，无论cos l还是sin l的函数值都会出现2l个零点(光斑节线)及2l个极值(亮斑)。 这表明LaguerreGauss光束的光斑花样，在l0时，随角度 明暗起伏变化，呈梅花瓣状。瓣数为角向模阶数l的两倍。 光场沿径向 的分布 LaguerreGauss函数的零点位置及数目由方程 的根确定。0)(2)(222zLzlpl(1.6.17) l当l=0时，零点位置及数目只取决于Laguerre多项式Lp=0的根。 Lp(22/2(z)是一个以22/2(z)为变量的p次多项式，考虑

6、到径向变量的取值为0，因此只能有p个根，即p个零点。l当l0时，从(1.6.17)式可以看出=0总是一个零点，这时有p+1个零点。 LaguerreGauss函数沿径向的极值位置及极值数目由下式给出或 式中=22/2，第二项右上角打撇表示对的微商。0exp222222lplLdd0)(2)()(lplpLLl（1.6.18） 利用Laguerre多项式的递推关系，上式又可写成 (1.6.19)式是一个关于的p+1次多项式， 因此有p+1个极大值。 在p=0的情况下，(1.6.18) 式仍然适用。0)()()()() 1(11lplplpLplLLp(1.6.19) 在p=0的情况下，(1.6.

7、18)式仍然适用。由于(L0l)=0,极大值位置出现在 l 或 在这种情况下，虽然振幅沿径向只有一个极值，但上式表明，其位置与角向模阶数l有关。l 越大，极值越靠外。)(2/zl(1.6.20) 1) 对于相同p不同l的模，最外边极值的位 置随l的增加而更靠外； 2) 同一个模振幅极值的相对值随的增加 从里向外绝对值依次减小。这一点与 HermitGauss光束越靠外绝对值越大 刚好相反。02几个 低 阶 拉 革 尔- - 高 斯 模 振 幅 的 径 向 分 布0几个 低 阶 拉 革 尔- - 高 斯 模 的 光 强 分 布 l=0各模在坐标原点为极大值02几个 低 阶 拉 革 尔- - 高

8、斯 模 振 幅 的 径 向 分 布0几个 低 阶 拉 革 尔- - 高 斯 模 光 强 的 径 向 分 布 l 0各模在坐标原点为零点 从图中看到:ll=0的各模，坐标原点为极大值；ll0的各模，坐标原 点为零点。 LaguerreGauss光束的光斑的轮廓是圆形的，它的光斑半径可通过场振幅下降到最外边一个极大值的e-1的点到中心的距离来确定。 模阶数与光斑半径之间关系的一个近似表达式为 )(212zlplp(1.6.21) 相应的远场发散角式中0为基模光束的发散角。M2因子0212limlpzlpzlp(1.6.22) )212(0002lpMplplr(1.6.23)20222222020

9、322222202sincos2sincos2)(2222222222rdrdlleLrdrdrlleLrzrrrlplrlpllp(1.6.24)012)(limlpzzlpzlp(1.6.25) 12(0002lpMplplr(1.6.26)022| ) 12(pppllprClpMlplpC,21|(1.6.27)LaguerreGauss光束的场的表达式)() 12()(2exp )(expsincos)(2)(2)(222220zlpizRkkzizllzLzzCUlpllplp(1.6.15) 前面所讨论的Gauss光束有一个共同的特点,振幅中有一项对称的Gauss型衰减因子 这个

10、衰减因子，在垂直光束的截面上，其值衰减到中心值的1/e的点构成一个半径(z)的圆，(即基模Gauss光束的光斑)。这类光束称为圆形Gauss光束。)(exp222zyxAmn(1.7.1) 椭圆Gauss光束的基模光斑是椭圆形的。它的振幅衰减因子可表示为 式中x(z) y(z)。 形成原因: 各向异性介质、像散元件、像散腔)()(exp2222zyzxAyxmn(1.7.2) 求解椭圆Gauss光束仍从波动方程(1.4.3)开始如假设这个方程的解为式中p,qx和qy是z的函数。022222zkiyx2222expyqkxqkpiyx(1.7.3) (1.7.4) 把所设解代入到(1.7.3)式

11、中, 可求得yyyxxxyyxxyxiziqiziqqazqqzqqazqzip020002000000 ,)( ,1ln1ln2(1.7.5)令2020220202220202220220)()( ,)()(1)( ,1)()(1)( ,1yyxxyyyxxxyyxxazarctgzzarctgzazzzzazazRzzR(1.7.12) 其中 a是具有长度量纲的实常数，它表示x-z平面中的束腰与y-z平面中的束腰之间的距离。 0 x和0y分别表示x-z和y-z平面的腰斑半径。 可得基模椭圆Gauss光束的基模解为)(222exp exp)()(),(2222222100yxyxyxyxyx

12、iRyRxzikyxzzzyxU(1.7.13) 椭圆Gauss光束场的横向分布由(1.7.13)式的振幅部分决定。基模振幅衰减到中心值1/e的点的轨迹由下式给出 在一般情况下，这个方程表示一个椭圆。在特定位置的截面上椭圆会变成圆。其条件是 x(z) = y(z) (1.7.15)1)()(2222zyzxyx(1.7.14) 呈现圆光斑的位置 这个式子给出两个不同的z值，说明存在两个位置，在这两个位置上光斑都呈圆形。212202022200202020)(1yxyxxyxaaz(1.7.16) 在椭圆光束出现圆光斑位置的两侧，椭圆的形状是不同的，其长轴和短轴刚好互易。 当a=0时，在x-z平

13、面中的束腰位置和在y-z平面中的束腰位置重合(位于z=0点)，（1.7.16）式退化成 这说明尽管束腰重合，在某个位置上光斑总会形成一个圆。yxz00(1.7.17) 意义： 在这个位置上插入适当的象散元件，就可能把椭圆Gauss光束变换成圆Gauss光束。 椭圆Gauss光束在x-z平面和y-z平面中的光束发散角为：)()(00ybyxbx(1.7.18) 椭圆Gauss光束波前的曲率半径一般也不相等(即RxRy非球面)。在某个特定位置上，等相面有可能是球面，其条件是 Rx(z)=Ry(z) (1.7.19) 当a0时，波面为球面的位置是 z有两个值，表示有两个位置波面为球面(一般这两个位置

14、上的光斑不是圆形的)。21240224040224040224)( )(21aaaazxxyxy(1.7.20) 意义: 1) 将z值代入到Rx(或Ry)的表达式中，就可求得波面曲率半径的大小。 2) 在这个位置插入一块曲率半径等于上述值的球面反射镜,则可把椭圆Gauss光束按原路、保持原形状反射回去. 这说明球面镜构成的谐振腔也可能形成椭圆光束振荡,条件是腔内存在像散介质或像散元件. 鉴于椭圆Gauss光束的非旋转对称性,高阶模椭圆Gauss光束也只适于直角坐标系。其求解过程与高阶HermitGauss光束的求解过程类似，结果为:yxyxyxynxmyyxxnimiRyRxzikyxyHxHzyxU212122 exp exp22),(222222210210(1.7.21) 20202202022202