利用不动点解决高考数学

1、利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助.1不动点的定义一般的，设f(x)的定义域为D,若存在x0WD,使f(X0)=X0成立，则称网为f(x)|的不动点，或称(X0,X0)为了(x)|图像的不动

2、点。2求线性递推数列的通项定理1设f(x)=ax+b(a0,1),且因为叵的不动点，但加满足递推关系an=f(an)，n=2,3,|,证明an-x。是公比为a的等比数列。证：:同是回刈的不动点，所以|ax0+b=x0.所以|b-x0=axol，所以anx0=(aan+b)x0=aan,ax=a(anx0),数歹!J-x0是公比为a的等比数列。例1(2010上海文数21题)已知数列匕的前n项和为Sn,且Sn=n-5anS,_*nN(1)证明：Qn-1是等比数列；(2)求数列&的通项公式，并求出使得&书成立的最小正整数n.证：(1)当n=1时，a1=14当n之2时，an=ShSn=_5an+5an

3、-1+1,即r151516an=53n+n2)lJan=an4+一(n2),记f(x)=x+,令f(x)=x,求6666出不动点x0=1,由定理1知：an1=5(an_11)(n22),又a1=15为，所以6数列an-1是等比数列。(2)解略。3求非线性递推数列的通项定理2设f(x)=ax也(c=0,ad-bc=0),且|夕、可是|f(x)|的不动点,数cx+d列西下防足递隹关系同=f(anj,n=2,3,|,(i)若玉#x2,贝U数歹包二上an-x2是公比为二的等比数列；(ii)X=*2=刈，则数歹1是公差为二a-X2C|an-X0ad的等差数列。证：(i)由题设知ax_=x1u-xcand

4、a-cx0a-cx0an-x0a-cx0a-da-c2c+匹，所以数列是公差为三的等差数a-c%an-xan-ad|an-xad列。例2(2006年全国II卷22题)设数列小的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(nwN*)。求数列an的通项公式。解：依题a1=,且(Sn-1)2-an-(Sn-1)-an=0,将an=Sn-Sni代入上式,=x1udx1b=(a-cx1)x1;cx1da-cx1同理dx2-b=(a-cx2)x2.aanban1-xian1一x2xicandaanbcand-x2(a-cx1)anb-dx1(a-cx2)anb-dx2a-cx1anx1，

5、a一cx2an一x2所以数歹I一x1an-x2)|是公比为的等比数列a-cx(ii)由题设知axbcxd=x的解为x1=x2x0，an1-x0aanb一xcand(afcx)anb-dx0candcandb-dx0(acx)(an)(a-刈)(an-0)a-cx0can-cx0dcx0(a-c%)(an-x)an%得Sn2-S0,贝Un0,an-X2an-X2.In如土二=2ln曳二刍，故in曳二上是公比为2的等比数列。an书X2anX2、an-X2,X2_3，八例4(2010东城区二模试题)已知数列Xn满足X=4,4卡=3.求证:2Xn-4Xn3；求证：Xn书0),且*0是f(x)的最小不动点，数列an满足递推关系an=f(an)，n=2,3,H|,则有anx02a(an-X0).b3b27a23a(a=0),且X。是f(X的不动点，数列定理