初中平面几何中的定值问题

1、平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1,P是斜边BC上的一动点，过P作PE±AB于E,PFXAC于F,贝UPE+PF=方法1:特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。方法2:等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3:等面积法：连接AP,SABCSABPSapcABACABPEACPF2抓住了边长AB

2、,使得问题迎刃而解。AB=AC=5,底边BC=6,E,PF±AC于F,则若是，是多少？我若把等腰直角三角形换成一般的ABPEPF总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性）设计：大部分学生都能想到方法2,若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了,等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题i中的等腰

3、直角三角形改为等腰三角形，且两腰过P作PE±AB于PE+PF还是定值吗?若不是，为什么？方法1:三角形相似进行量的转化ABM-PBE-PCFAMABPEPBPFPEAMPBPCAB,PFAMPCPEPFAM(PBPC)AMBCAB4624ABAB（板书）这条线（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）方法2:等面积法:SABCSABPSAPCBCAMABPEACPFBCAMPEPFAB6424M为BC中点板书55（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂

4、线段有关的量的常用方法。）PE,PF之间（若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）问：我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+P

5、F=bh（a为腰长，b为底边a长,h为的边上的高）（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：hi,h

6、2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么?（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）SABCSABPSACPSBCPBCAMABPEACPFPEPFPDAM为定值（M为BC中点）（板书）可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为hi,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么?图1图2图3【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点，P到三

7、边的距离分别为在几何圆板中操彳发现当点P移出三角形时，hi+h2+h3发生改变，那么hi,h2,h3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？PAB,APBC,APAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）1:SABCSABPSACPSBCPBCAMABPEACPFBCPDPEPFPDAM为定值（板书）2：SABCSACPSBCPSABPBCAMACPFBCPDABPEPFPDPEAM为定值（只把结论板书）3：SABCSABPSBCPSACPBCAMABPEBCPDACPFPEPDPFAM为定值（只把结论板书）图SAC

8、PEFEDCPBD1:SABCSABPSBCPBCAMACPEABPFBCPDPFPEPDAM为定值（板书）2：SABCSABPSBCPSACPBCAMABPEBCPDACPFPEPDPFAM为定值（只把结论板书）3：SABCSBCPSABPSACPBCAMBCPDABPEACPFPDPEPFAM为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）卜面再看一道以圆为背景过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题,的定值问题。【问题2已知：已知弧AB为120度，在以AB为

9、弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A、B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A,B作OM的切线，两条切线相交于点C.只需证求证：/ACB有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答：此题中的不变量是弧AB,因此/AMB也是不变量；不变关系是相切。问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1:问：要证/ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证/ACB有定值，只需证/CAB+ZCBA是定值,ZMAB+/MBA是定值，只要/AMB是定值即可。证明：在ABC中，/MAB+ZMBA=180-ZAMB,.M是ABC的内心,/CAB+/CBA=

10、2(180-ZAMB).，/ACB=180(/CAB+/CBA)=180-2(180/AMB)=2/AMB180=60. /ACB有定值60.方法2:问：要证/ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证/ACB有定值，只需证/EMF是定值，只需证/EMD+/FMD是定值，只要/AMD+ZBMD即/AMB是定值即可。证明：在四边形CEMF中，/C+/EMF=180, .M是ABC的内心，/DMA=/EMA,/FMB=/DMB ./EMD+ZFMD=2/AMB=240 ./EMF=120 C=180-ZEMF=60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者

11、之间的联系。（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢?【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心，AB是大圆的直径？点P是小圆上白一动点，大小圆半径分别为R与r?问:PA2+PB2是否有定值，若有，求出定值；若没有，说明理由.分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。点P放在直径AB上.得PA2+PB2=(R+r)2+(.R-r)2=2(R2+r2).点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2+PB2=R2+r2+R2+r2=2(R2+r2).说明PA2+PB2非常有可能是定值，而且这个值为2(R2+r2)证明：(直角三角形计算法)PA2+PB2=HA2+PH2+PH2+HB2=2PH2+(OH+R)2+(R-OH)2=2PH2+2OH2+2R2=2(PH2+OH2)+2R2=2r2+2R2解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。希