初高中数学衔接教材

1、初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1 .立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2 .因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3 .二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4,初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常

2、用方法。5 .二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6 .图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7 .含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8 .几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦

3、定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4分式1. 2分解因式1.1 一元二次方程1.1.1 根的判别式1.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2. 2二次函数2.1.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.1.2 二次函数的三种表示方式2.1.3 二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3. 1相似形3.1.1 .平行线分线段成比例定理3.1.2 相似形3.2三角形3.

4、2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3. 3圆3.1.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.1.2 点的轨迹1.1数与式的运算1.1.1.绝对值零的绝对值仍是零.即绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,a,a0,|a|=0,a=0,-a,a：0.绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：x-1+|x-3>4.解法一：由x1=0,得x=1;由x3=0,得x=3;若x<1,不等式可变为(x1)(x3)>4,即2x+4>4,解

5、得x<0,又x<1,x<0;若1Ex<2,不等式可变为(x-1)_(x-3)>4,即1>4,不存在满足条件的x;若x之3,不等式可变为(x-1)+(x-3)>4,即2x4>4,解得x>4.又x>3x>4.综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4.解法二：如图1.11,x-1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x3|.所以，不等式x-1+|x-3>4的几何意义即为|x-3|PA|+|PB|>

6、;4.FPCABDIIIII|xT|图1.1由|AB|=2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x<0,或x>4.练习1.填空：(1)若x=5,贝Ux=；若x=-4,贝Ux=.(2)如果a+b=5,且a=1,则b=；若1c=2,则c=2 .选择题：(B)若ab,则ab(D)若a=b,则a=±b下列叙述正确的是(A)若a=b,则a=b(C)若a<b,则a<|b3 .化简：|x-5|-|2x-13|(x>5).1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全

7、平方公式(a土b2=才±2ab+2b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式2233(a+b)(a-a廿b)=a+;b(a-b)(a+ab2b)=3a;3b(abc2=9bc2(abbc;)ac(ab3=a34b3a2b;3b(a-b3=S3-3a2b+3a2b-.b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).解法一：原式二(x21)(x2+1)2x2(x2-1)(x4x2-1)x6-1.解法二：原式(x+1)(x2-x+1

8、)(x-1)(x2+x+1)例2解：习填空：33=(x1)(x-1)-Y61x-I.已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值.22(1)21u2-b42.(2)(3)(4m1 ,1、=(b十一a)(2 3、2一2,)=16m4m(_2222(a2b-c)-a4bc(选择题:(1)若x21 ，、十一mx+k是一个完全平方式，则2);k等于21212(A)m(B)-m(C)-m(2)不论a,b为何实数，a2+b2-2a-4b+8的值12(D)m16(A)总是正数(C)可以是零(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数1.1.3. 二次根式一般地，形如返(a之0)的代数式叫做

9、二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+Ja2+b+2b,Va2+b2等是无理式，而s/Fx2+x+1,x2+&xy+y2,JI等是有2理式.1 .分母(子)有理化+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ac)=8.把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如您与展，37aL与展，界+爬与P次,2733/2与273+3您，等等.般地，a框与枢,a"+b与ajx-bjy,ax+b与ajxb互为有理化

10、因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式Wb=«b（a>0,b之0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式a2的意义a,a_0,-a,a：0.将下列式子化为最简二次根式:解:(D(D(2)(3)麻；(2)Va2b(a>0);,12b=2.3b；Va2b=

11、|a|7b=aTb(a之0)；J4x6y=2x3|77=-2x3/y(x<0).(3)74x6y(x<0)计算：斤（3-通.解法一：3：-(3-3寸>3_3-.3=.3<3,3(3-.3)(3.3)_333、33(.3-1)13-131解法9-33(、.31)=6=拈2.3-：-(3F=3一3-,13(-3-1)6,31)31=.2例3试比较下列各组数的大小：（1）g?-布和布-布；（2）解：（1）v阮-布12-11=(<12-.11)(<12.11)二1,12.11TV0711-10)(11又.12、.行.行-、.而,/-布<711-710.11；1

12、012不'_10),11.10(2)v22-.6=2,2-3=(2,5-、6)(2%2+、.6)二22+.62、2+；6'又4>2也，.加+4>m+2/，2_./<2,/2-叔,64例4化简：(#+应)2004.(第-月2005.解：(.3、.2)2004<.3-,2)2005=(.3,2)2004八3-、,2)2004晨3-回=彳4十物(V3-72)f004b/3-72)=产(.3-、,2)二一3-.2.例5化简：(1)J94V5；(2)Jx2+2(0cx<1).解:(1)原式=5454=.(.5)222522=(2-5)2=2喝=而2.(2)原

13、式=(x-),0<x<1,11x,x1xx,一，1所以，原式=1-x.x6已知x=q3W，y=y3¥,求3x25xy+3y2的值.3.23-2解:、+y=姮+好=回扬2+(舟扬2”3-<2.32d刈一3；23-.2'3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3父102-11=289.(1)1-;31-3(2)若标%及V=(x3)强二x,则x的取值范围是(3) 4724-6府+3廊-2/150=;若x.神，则.二工EjE填空:.2.x1,xT.x1_x-12 .选择题：等式=*1=成立的条件是x-2,x-2(D)0<x<2(A)x=2(B)

14、x>0(C)x>2,a2-11-a23 .若b=，求a+b的值.a14 .比较大小：2#泗J4(填冬"，或之”).1.1.4.分式1.分式的意义A.AA形如C的式子，若B中含有字母，且B00,则称2为分式.当MWO时，分式_具有下列性质:BBBAAMAA-MB-BM上述性质被称为分式的基本性质2,繁分式a像_b_,m*n+P这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd2m例1若早上=3+"-,求常数A,B的值.x(x2)xx2解:.ABxx2A(x2)Bxx(x2)(AB)x2A5x4x(x2)x(x2)AB=5,，2A=4,解得A=2,B=3例2(1)试

15、证：一1一=1-(其中n是正整数)；n(n1)nn1111(2)计算：，+,+巾+；1223910、一一、.11.11(3)证明：对任意大于1的正整数n,有+111+，.2334n(n1)211(n1)-n1(1)证明：:一一=,nn1n(n1)n(n1)n是正整数)成立.111.二(共中(2)解:n(n-1)nn1由(1)可知二ill1223910=(112.19=1一一二一.1010(3)证明：丁+HI+-12334n(n1)七。(3-6"4又n"1二7n+11且n是正整数,定为正数,+111+2334n(n1)例3设e=£,且e>1,2c25ac+2a

16、2=0,求e的值.a解：在2c25ac+2a2=0两边同除以a2,得22e一5e+2=0,.(2e1)(e2)=0,1.e=2二e=2.<1,舍去;或e=2.习填空题:对任意的正整数n,n(n2)1(-n2.选择题：若2x-yxy3.4.(A)1正数x,y满足11计算.一(C)(D)2-y=2xy,求解不等式:-1>3；一1+x+1>6.2.已知x+y=1,求x3+y33.填空：(1)(2+18(2g19=(2)(3)1.填空:的值.99100习题1.1A组(2)+x-2<7；+3xy的值.J(1-a)2+J(1+a)2=2,则a的取值范围是1111_=+_=+_=+_

17、2.3、3-44.5-5-6(1)a3a2-ab3a25ab-2b222若x2+xy-2y2=0,则X姿2y=xy2.已知：x=1,y=l,求f一Xy广的值.23x-yxyC1.选择题：(1)若J-a-b-27ab=C&Ta,则(A)a<b(B)a>b(2)计算aJ二等于(A)口(B)Ta21、1、-2 .解万程2(x+)-3(x+-)-1=0.xx、11113 .计算：-I'.试证：对任意的正整数n,有+123(C)a<b<0(D)b<a<0(C)-a(D)-.a+川+二34n(n1)(n2)41.(1)之5;

18、77;4(2)文1.1.1.绝对值2.D3.3x-181.1.2.乘法公式1.(1)1a-1b2.(1)(2)(3)4ab2ac4bc1.1.3.二次根式1.2.(DC.3-23.(2)13MxM54.(3)-8.61.2.B3.2-14.1.1.4.分式991001.2.(D13.(1)(2)-4<x<3习题1.1A组(3)x<-3,或x>3(3),6-1B组1.(D(2)2.4.1.(D(2)C2.Xi4.提示:=11x-2,x2-2213.C组3655n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1. 2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式

19、法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法，一、2一(2)x2+4x12;(4)xy-1+x-y.例1分解因式：，2(1) x-3x+2;22(3) x-(ab)xyaby;解：(1)如图1.21,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上白两个数乘积的和为一3x,就是x2-3x+2中的一次项，所以，有x23x+2=(x1)(x-2).111.2x.一ay1、216xby图1.22图1.23图1.241.2-1中的两个x用1来表示(如说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图图1.2-2所示).(2)由图1.23,

20、得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图1.24,得22x_(a+b)xy+aby=(x-ay)(x-by)(4) xy-1+x-y=xy+(xy)1=(x1)(y+1)(如图1.2-5所示).2 .提取公因式法与分组分解法例2分解因式：，一3222(1) x+9+3x+3x;(2)2x+xy-y-4x+5y-6.解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).或3232333x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23_2_2一=(x1)2(x1)-(x1)22

21、2=(x+3)(x+3).22_22_(2) 2x+xyy4x+5y6=2x+(y4)xy+5y62=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2222、2xxy-y_4x5y_6=(2xxyy)(4x-5y)-6=(2x_y)(xy)(4x5y)6=(2x-y+2)(x+y-3).3 .关于x的二次三项式ax2+bx+c(a却)的因式分解.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a=0)的两个实数根是x1、x2,则二次三项式ax2+bx+c(a=0)就可分解为a(x-x)(x-x2).例3把下列关于x的二次多项式分解因式：(1) x2+2x1;(2)x2+4x

22、y4y2.解：(1)令x2+2x1=0,贝U解得xi=1+&，x2=172,.x22x-1=x-(-1、,2)x-(-1f2)=(x+1-72)(x+1+应).(2)令x2+4xy4y2=0,贝U解得x1=(2+2在)y,x1=(22衣)y,x2+4xy-4y2=x+2(1-72)yx+2(1+V2)y.练习1 .选择题：多项式2x2xy15y2的一个因式为()(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2 .分解因式：(1) x2+6x+8;(2)8a3b3;(3)x2-2x-1；(4)4(x-y+1)+y(y-2x).习题1.21 .分解因式：(1) a3+1；(2)

23、4x4-13x2+9；(3) b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.2 .在实数范围内因式分解：(1) x2-5x+3；(2)x2-2/2x-3；(3) 3x2+4xyy2；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.2223 .4ABC三边a,b,c满足a+b+c=ab+bc+ca,试判定AABC的形状.4 .分解因式：x2+x(a2a).1.2分解因式1. B222. (1)(x+2)(x+4)(2)(2a-b)(4a+2ab+b)3. )(x1扬(x1十亚)(4)(2-y)(2x-y+2).习题1.21. (1)(a+1)(a2-a+1)(2

24、)(2x+3px-3Xx+1Xx-1)(3) (b+cXb+c+2a)(4)(3yy+4Xx+2y1)2. (1)1x_5+131x_5-x/13.(2)(x2J5*xj2+J5);I2人2Jf2/7V2+万”一一(3) 3x+2-7yx+2_7y;(4)(x3)(x+1)(x1收)(x1+收).1 3大3J，3 .等边三角形4 .(x-a1)(xa)2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于(x聂2二次方程b2-4ac4a2ax2+bx+c=0（a0）,用配方法可以将其变形为因为（1）aO,所以，4a2>0.于当b24ac>0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有

25、两个不相等的实数根-b二b2-4acx12=(2)2a当b24ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bx1=x2=-2a(3)当b24acv0时,b0万程的右端是一个负数，而万程的左边（x+-b）2一定大于或等于零，因此，原方程2a没有实数根.由此可知,7L二次方程ax2+bx+c=0（a为）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a刈）的根的判别式，通常用符号“来表示.综上所述，对于.次方程ax2+bx+c=0(aR),有(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根-b二b2-4acx12=(2)(3) 例1(1)(3)2

26、a当A=0时，方程有两个相等的实数根bx=x2=；2a当AV0时，方程没有实数根.判定下列关于x的方程的根的情况（其中2x-3x+3=0;x2ax+(a1)=0;(2)x2ax(4) x22x+a=0.a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.1=0;解：（1）A=324X1X3=3v0,方程没有实数根.(2)(3)该方程的根的判别式A=a2-4X1X（-1）=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根a.a24a-.a24x1=,x2=.222由于该方程的根的判别式为=a24X1.a1）=a2-4a+4=（a-2）2,所以，当a=2时，=0,所以方程有两个相等的实数根x=*2=

27、1；当aw2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a1.(3)由于该方程的根的判别式为=22-4>Xa=4-4a=4(1-a),当A>0,即4(1-a)>0,即a<1时，方程有两个不相等的实数根%=1+J1-a,x2=1_J1-a；当=0,即a=1时，方程有两个相等的实数根X1=X2=1；当Av0,即a>1时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运

28、用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)有两个实数根2a2a则有-bb2-4ac-b-、.b2-4ac-2bbX|x2=二一2a2a2aa-bb2-4ac-b-.b2-4acb2-(b24ac)X1X2-22a2a4a-bb2-4ac-b-.b2-4ac4acc.24aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：bc如果ax+bx+c=0(a0)的两根分力1J是xi,X2,那么xi+x?=一一,xiX2=.这一关系也被称为韦达te理.aa特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1，X2是其两根，由韦达定理可

29、知X1+X2=p,x1x2=q,即p=(X1+X2),q=X1X2,所以，方程x2+px+q=0可化为X2(X1+X2)x+X1X2=0,由于X1,X2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以,X1,x2也是一兀二次方程X2(x1+X2)x+X1X2=0.因此有以两个数xi,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是2x(xi+x2)x+xix2=0.2例2已知万程5x+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二

30、次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：2是方程的一个根，5X22+kX26=0,k=7.3所以，方程就为5X27x6=0,斛得x1=2,x2=-.5一、一3所以，方程的另一个根为一3,k的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为X1,则2X1=6,，X1=3.553k一由(一)+2=，得k=-7.55一、一3所以，方程的另一个根为一3,k的值为一7.5例3已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的

31、方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设2,X2是方程的两根，由韦达定理，得xi+x2=-2(m-2),Xix2=m2+4.22.xi+*2xix2=21,.2.(xi+x2)3xix2=21,即2(m2)23(m2+4)=21,化简，得m216m17=0,解得m=1,或m=17.当m=1时，方程为x2+6x+5=0,A>0,满足题意；当m=17时，方程为x2+30x+293=0,A=3024X1X293v0,不合题意，舍去.综上，m=17.说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的

32、范围，然后再由两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式A是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是x,v,则x+y=4,xy=12.由，得y=4-x,代入，得x(4-x)=-12,即x2-4x-12=0,.xi=-2,x2=6.x1=-2,x2=6,1 1或42yi=6,因此，这两个数

33、是2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2-4x-12=0的两个根.解这个方程，得xi=-2,x2=6.所以，这两个数是2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.例5若xi和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.(1)求|xix2|的值；、11(2)求二十二的值；xix2(3)xi3+x23.解：:x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两根，.53./十x2=,x1x2=-.22.22225,2,3,(1)-.1|xix2|=x1+x2-2xix2=(x1+x2)-4xix2=()4父()22(2)(3)说明:2

34、5«49=+6=,.,7|x1一x2|=一.222x1x2(x1x2)2-2x1x2/52c/325c(-)-2(-)32243,3,2x1+x2=(x1+x2)(x1(>x2)2(孑379,2.,一,.2x1x2+x2)=(x1+x2)(x1+x2)3xx2=(_5)5)2_3x_，一等2228次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律:设xi和x2分别是二次方程ax2+bx+c=0(a初，贝Uxi=-b-'b2-4ac-b-b2-4ac|x1一x2|=2a2a-b.；b2-4ac-bf；b2-4

35、ac2b2-4ac2a2a2ab2-4ach-|a|于是有下面的结论：|a|若X1和X2分别是rr.次方程ax2+bx+c=0(aR),则|x1x2|=(其中A=b24ac).|a|今后，在求二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的二次方程x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.解：设xi,x2是方程的两根，则xix2=a4V0,且A=(-1)2-4(a-4)>0.由得由得av4,/17a<一4，a的取值范围是a<4.习选择题：(1)方程x22J3kx+3k2=0的根的情况是(2)(A)有一个实数根(C)有两个相等的实数根若

36、关于x的方程mx2+()1(B)有两个不相等的实数根(D)没有实数根(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(A)(C)m<一4mv1,且mw04-1(B)m>一4(D)m>1,且mw042.填空：11若方程x23x1=0的两根分别是x1x2,则x1x2(2)(3)方程mx2+x2m=0(mwQ的根的情况是以一3和1为根的二次方程是3.已知Va+8a+16+|b-1|=0,当k取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?4,已知方程x2-3x-1=0的两根为和X2,求(23)(X23)的值.习题2.1A组1 .选择题：(1)已知关于x的方程

37、x2+kx2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(0)-2(D)2(2)下列四个说法：方程x2+2x7=0的两根之和为2,两根之积为7;方程x22x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7;方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为I；3方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A)0(B)1(C)1(D)0,或12.填空：(1)方程kx2+4x1=0的两根之和为一2,则k=.(2)方程2x2x4=0的两根为a,3,则a2

38、+伊=.(3)已知关于x的方程x2ax3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2x2+2x1=0的两根为x1和x2,则|x1一x2|=3 .试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数x27x1=0各根的相反数.B组1 .选择题：若关于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的两根互为相反数，则k的值为()(A)1,或1(B)1(C)1(D)02 .填空：(1)若m,n是方程x2+2005x1=0的两个实数根，则m2n+mn2mn的值等于.(2)如果a,b是

39、方程x2+x1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是.3 .已知关于x的方程x2-kx-2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求实数k的取值范围.4 .一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。的两根为x1和x2.求：为“2(1) |x1一x2网-2；2xj+x23.5 .关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1，x2满足|x1一x2|=2,求实数m的值.C组1 .选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)石(B)3(

40、C)6(D)9(2)若Xi,X2是方程2x24x+1=0的两个根，则上+x2的值为X2Xi(A) 6(B) 4(3)如果关于的方程x2-2(1，、，、3(C) 3(D)2m)x+m2=0有两实数根a,3,则a+()的取值范围为(B)(C) a+3>1(D) 尸1(4)已知a,b,c是(A)没有实数根(C)有两个相等的实数根AABC的三边长，那么方程cx2+(a+b)x+-=04()(B)有两个不相等的实数根(D)有两个异号实数根2 .填空：若方程x28x+m=0的两根为x1?x2,且3x+2x2=18,则m=.3,已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数

41、根.3.(1)是否存在头数k,使(2x1一x2)(x1-2x2)=成立？右存在，求出k的值；右不存在，说明理由;2(2)求使+血一2的值为整数的实数k的整数值；x2x1(3)若k=2,九=红，试求九的值.X22，一一、，一2,一m_4,已知关于x的方程x2(m2)x=0.4(1)求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根X1,X2满足%|=|刈+2,求m的值及相应的x1，x2.5,若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围.2.1 一兀二次方程练习1. (1)C(2)D2_2. (1)3(2)有两个不相等的实数根(3)x

42、+2x3=03. k<4,且k用4. 1提小：(x13)(X23)=X1X23(x+X2)+9习题2.1A组1. (1)C(2)B提示：和是错的，对于，由于方程的根的判别式A<0,所以方程没有实2数根；对于，其两根之和应为幺.3(3) C提示：当a=0时，方程不是一元二次方程，不合题意.2. (1)2(2)17(3)6(3)由411一.3 .当m>-,且m为时，万程有两个不相等的实数根；当m=1时，万程有两个相等的实数根；4 4当m<1时，方程没有实数根.44.设已知方程的两根分别是X1和X2,则所求的方程的两根分别是X1和X2,X1+X2=7,X1X2=1,(X1)+

43、(X2)=7,(xi)#一股)=xiX2=1,，所求的方程为y2+7y1=0.B组1. C提示：由于k=1时，方程为x2+2=0,没有实数根，所以k=-1.2. (1)2006提示：m+n=-2005,mn=-1,-m2n+mn2mn=mn(m+n1)=1X(20051)=2006.(2) -3提示；.a+b=1,ab=1,.a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2)=(a+b)(a+b)22ab=(1)*(1)22><1)=3.3. (1);A=(k)24X1X2)=k2+8>0,方程一定有两个不相等的实数根.(2).x+x2=k,

44、x1x2=2,.2k>2,即k>-1.4.(1)|x1x2|=db24acx1+x2|a|b2a333abc-b；x1+x2=3a5.|x1x2|=J16-4m=2j4m=2,，m=3.把m=3代入方程，A>0,满足题意，m=3.C组1. (1)B(2)A1(3) C提小：由彳#m01，二a十片2(1-m)>12(4) B提示：va,b,c是AABC的三边长，a+b>c,.A=(a+b)2-c2>0.2. (1)12提示：:x1+x2=8,.3x+2x2=2(x1+x2)+x1=2X8+x1=18,x1=2,.x2=6,.m=x1x2=12.3人、3. (1

45、)假设存在实数k,使(2x1一x2)(x1一2片)=一一成乂.2二一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根，k肛且A=16k2-16k(k+1)=-16k>Qk<0.k1-x1+x2-1,x1x2-,4k22.(2x1一x2)(x1一2x2)=2x151x2+2x2,2c_o9(k1)_3=2(x1+x2)9xx2=2=,4k2即9(k+1)=7,解得k=9,与k<0相矛盾，所以，不存在实数k,使(2x1x2)(x1-2x2)=3成立.4k2522222(2).x.x2_2_x+x22_(x+x2)-2x1x22_(x+x2)4x2x1x1x2%x2x1x2_j4

46、k_4_4k-4(k+1)_4k1k1k1'要使+殳2的值为整数，只须k+1能整除4.而k为整数，x2x1k+1只能取土，龙，甘.又二kv0,k+1<1,k+1只能取一1,2,4,，k=2,3,-5.，能使二十配一2的值为整数的实数k的整数值为一2,3和一5.x2x1一._1小(3)当k=-2时，x1+x2=1,x1x2=_,82得见+区+2=8,即1+=6,九26九+1=0,又2x11=3-22.24. (1)A=2(m-1)+2>0；2，、m，(2) X1X2=-WQX1<O,X2>Q或X1>QX2<0.4若xiw0,X2>Q则X2=Xi+

47、2,Xi+X2=2,m2=2,m=4.此时，方程为x22x4=0,x1=1+f5,x2=1-.5.若X1>0,X2WQ则一X2=X1+2,.X1+X2=2,.m2=2,m=0.此时，方程为x2+2=0,.x1=0,x2=2.5. 设方程的两根为X1,X2,则XI+X2=1,X1X2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(X11)(X21)<0,即X1X2(X1+X2)+1V0,a(1)+10,av2.2此时，=124%2)>0,实数a的取值范围是a<-2.2.2二次函数2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系

48、?1C为了研究这一问题，我们可以先回出y=2x2,y=-x2,y=-2x2的图象，通过这些函数图象与函数y=x2的图象2之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系.先画出函数y=x2,y=2x2的图象.先列表:X3-2101232X941014922x188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=x2,y=2x2的图象(如图2-1所示)，从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2x2的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.1c同学们也可以用类似于上面的方法回出

49、函数y=X2,y=2X2的图象，并研究这2两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2(aR)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(a却)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移

50、一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=3x2,y=-3(x-1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(a利中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且k正上移，k负下移”.图2.2-1图2.2-2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a%)的图象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+bx)+c=a(x2+bx+

51、b2b2"2a)2ab2-4acR+c4；4a所以，y=ax2+bx+c（a4）的图象可以看作是将函数y=ax2+bx+c（a却）具有下列性质：y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数（1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上;顶点坐标为（b4ac-b22a4ab），对称轴为直线x=;2abb当x<一厂时，y随着x的增大而减小；当x>-万一时,4ac-b2y随着x的增大而增大；当x=2a时，函数取最小值y=4ab4ac-b2b（2）当a<0时，函数y=ax+bx+c图象开口向下；顶点坐标为（,）,对称轴为直线x=；2a4a2a.bbb当xv-h时，y随着x的增大而增大；当x>-1时，y随着x的增大而减小；当x=-鼠时，函数取最大值y=4ac-b24a上述二次函数的性质可以分别通过图2.23和图2.24直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3x