初三自主招生教学案10：解不等式

1、十解不等式知识梳理：1.基本公式(1)关于x的不等式axb的解:bb当a0时，x；当a0时，x；当a0时：aa(i)当b0,解集为空集；(ii)当b0时，解集为Ro(2)一元二次不等式：ax2bxc0或ax2bxc0(a0)若0:(i)当a0时，ax2bxc0的解在方程ax2bxc0的两根之外，即xx大或xx小；22axbxc0的解在万程axbxc0的两根之间，即x、xx大；222(ii)当a0时，axbxc0的解在方程axbxc0的两根之间，即x小xx大；axbxc0的解在方程axbxc0的两根之外，即xx大或xx小。D若0：当a.20时，axbxc0的解为xb2；ax2abxc0的解为空集

2、。D若0：当a0时，2axbxc0的解为一切实数；2axbxc0的解为空集。(ii)当a0时，2axbx2c0的解为仝集；axbxc0的解升-切实数。判别式b24ac0002yaxbxca0的图像Kr/.xkIokV1y三o2yaxbxca0的根后两相异实根x1，x2x1x2后两相等实根bx1x22a没有实根ax2bxc0a0的解集xxx1或xx2xbx2aRax2bxc0,a0的解集x|x1xx2(3)基本不等式:、若a,bR,则a2b22ab,当且仅当ab时等号成立;1/10、若a,bR,则ab2J布,当且仅当ab时等号成立；、若a,bR,abS,abP,则如果P是定值，那么当且仅当ab时

3、，S的值最小；如果S是定值，那么当且仅当ab时，P的值最大、两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数/a/10+b2a+b、r、2、2>23碰二一l（a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号）.a+b2.基本结论（1）不等式的基本原理： ab0ab ab0ab ab0ab（2）不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。即:若ab,则ambm；若ab,则ambm。不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变。即：若ab,且m0,则ambm;若ab,且m0,则ambm。不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数

4、，不等式的方向改变。即：若ab,且m0,则ambm;若ab,且m0,则ambm。例题精讲:例1：若m1,解关于x的不等式mx2x3m例2：解不等式：2(3x25)11x例3：解关于x的不等式：42x2axa20例4：解不等式组xx22x例5：若不等式0x2ax54只有一解，求实数a的值。例6：已知关于x的方程x2(m2)xm50的两根均为正数，求实数m的取值范围。2例7：右x2,求x1的取值范围x23/10例8:求yx27xx110(x1)的最小值例9：已知x0,y0,且191,求xy的最小值xy1,求x01y2的最大值2例10：已知x,y为正实数，且x2工2同步练习:练习1：解不等式：已知关

5、于x的不等式10(2ab)xa5b0的解为x一，解关于x的不等式axb。7练习2：解不等式2x23x504/10练习3：解关于x的不等式：ax2a练习4:解关于x的不等式组:2x22x练习5:若关于x的不等式(a练习6:3a5b123b练习7:已知x3,求练习8：(2a)x2a01)xa0的解集中只有一个整数0,解关于x的不等式：ax一的最小值30,求实数a的取值范围。4x2x45的取值范围.5/10，求xy的最小值2练习9：右x0,y0且_x2练习10：x,y,zR*,x2y3z0,匕的最小值xz6/10参考答案例1:答案：原不等式m1x23m(1)当m1时，x3m2(2)当m1时，x3m2

6、m1例2:答案:266V11100解析：解：原不等式x(2x5)(3x2)02 5所以原不等式的解为2x53 213a42。，则a0例3：解析：原不等式6xa7xa0令-67aaaa(1)若a0,则，原不等式的解为一x；6767aaaa(2)右a0,则原不等式的解为一x；67'76(3)若a0,原不等式变为42x20,所以原不等式的解集为空集。例4：答案：1x2解析：原不等式组变为x2x20x2x20所以原不等式组的解为1x2。例5：答案：实数a2解析：若x2ax10有唯一解，则(1)若a2,则不等式x22x50恒成立，所以原不等式组只有一解;(2)若a2,则不等式x22x50恒成立，

7、所以原不等式组只有一解;综上(1)(2)所述，实数a2。例6：答案：5m4解析：依题意得，(m2)24(m5)0(m2)0m50m2160m2m5所以满足题中条件的实数m的取值范围为7/10一一22例7：答案：x1x21x2x22,21解析：基本不等式运用例8:答案：9解析：方法一：当x1时,2_一x7x102(x1)25(x1)4x1，1r，一当且仅当x1即x1时取等号x1方法二：设tx1(t2(t1)7(t1)10t2t5t4t当且仅当t例9:答案：164r-r即t2,x1时取等号t199xv9x解析：(xv)()1910xvVxv-16,当且仅当9-x)即y3x,xyx一19代入一一1可

8、得xxy3.2例10:答案：44解析：由于x0,x"y24,y12时取等号.所以xy的最小值为16.2Jx2(1y2)，又x21y222x2练习所以、x2(1y2).x2(32x2)；2x2(32x2)222x232x221：答案：x解析：由题意得,2ab5ba2ab10即2ab且3a5b,即10a5b3a,所以a0,即不等式axb的b33斛为x-,所以关于x的不等式axb的解为xoa555练习2:答案：-1<x<-22解析：整理，得2x3x50因为940490,一25.万程2x3x50的解是x1一1,2故原不等式的解集为x8/10练习3:解析：原不等式(ax1)(x1)

9、0(1)当a0时，原不等式变为x10,即x1；(2)当a0时人1-令110,得a1a1右a0时，原不等式的斛为x或x1；a1右0a1时，原不等式解为1x-；a若a1时，原不等式的解集为空集；，一1若a1时，原不等式的解为-x1a3练习4：答案：所以当a2时，原不等式组的解为-x2233当x2时，原不等式组的解为xa;22当a3时，原不等式的解为空集。2一一_2_3_解析：不等式2x2x60(x2)(2x3)0-x22不等式x2(2a)x2a0(x2)(xa)0(1)当a2时，不等式的解为x2,或xa；(2)当a2时，不等式的解为aa或x2,，一,3所以当a2时，原不等式组的解为-x2；2.33当一x2时原不等式组的解为一xa;22I时，原不等式的解为空集。9/10练习5：答案：0a1解析：解：原不等式(x1)(xa)0当a1时，原不等式的解集为空集；当a1时，原不等式的解为ax当a1时，原不等式的解为1x则实数a满足的条件是0a1,其解集中没有整数0;a,要使其解集中只有一个整数0；1。练习6：答案：x3解析：由已知条件得,3a5b1a3b1将a2代入不等式axbb1xx6倚2x16335化简得，5x5,解得x3,故不等式得解为x3。3练习7:答案：8,4-4一，-4-解析：x1x342J(x3)48,x3x3,x3，41l，什当且仅当x3，即x5时取等号.x