求解含直角三角形的椭圆离心率(公开课教案)

1、求解含直角三角形的椭圆离心率高二数学组陈佳聪教学目标：1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式;2 .充分运用椭圆中各个量之间的关系2 cc ,e 一 a3 .熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系；4 .灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点：占八、占八、求一类含直角三角形的椭圆离心率当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式通过数形结合、师生讨论、 决问题的线索，逐个突破,“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解 以点带面，达到教学目标。教学过程：二.典例剖析:例1.

2、在椭圆2x-2a2y二 1,(a b b0)内有一点P,且PF PF求椭圆离心率取值范围。【说明】本题意在希望学生通过直角三角形直角顶点的轨迹是一个以PF27斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P运动到y轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间c b的大小关系，进而得到b222c 2c0 的结论。，22变式1.若椭圆与 a2b21,(a0)短轴端点为P满足PF1PF2,求椭圆离心率。【说明】变式1试图让学生用运动的观点,落在短轴端点时该椭圆半焦距、承接例1的解题思路获得点短半轴长的相等关系，P得到Fi : 一F2Xy222b2 c2 2c2的结论。22 X 变式2.在椭圆一2 a2 y b21,

3、(a b 0)上有一点P ,若Fi OF2PF1 PF2,求椭圆离心率取值范围。【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例 1与变式1的解题思路获得动点 P在椭圆上时OP c b,进而得到a2b2c22c2e21 eW2 1的结论。例1和它22 ,的两个变式构成一个体系一一所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，F1PF2为直角。解决此类椭圆的离心率， 最快捷的方法就是通过 圆的半径与椭圆的短半轴长的大小比较获得答案。此处的教学过程最好结合多媒体辅助教学，让学生从直观上感受到圆半径与椭圆短半轴长的不等量关系，数形结合能让抽象的量化计算变得生动、易懂。22PF

4、2拉长和椭圆交于点 Q,此时内含于椭例2.过椭圆x2 -yr 1,(a b 0)右焦点 a b交椭圆于P、Q两点且满足PF1 PQ,若sin求该椭圆离心率。【说明】在前面例题1和变式的基础上，将线段圆的直角三角形发生了一些变化。 求解离心率问题不能套用前面的方法了， 此时必须抓住椭 圆定义式和直角三角形相关性质。 解题思路和解题方法都发生了迁移， 题目难度有了一定的 提升。在解题思维的迁移上，教师需要通过分析和与学生的共同探讨， 把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功时点的喜悦感，激发其学习兴趣。22变式.在椭圆xy 4 1,(a b

5、 0)上有一点P,椭圆内一点Q a2 b2 4 5在PF2的延长线上，满足 QF1 QP ,若sin F1PQ 一，求该13椭圆离心率取值范围。【说明】本题将例 2中点P的位置从椭圆上移动到了椭圆之内，此时直15-角二角形的周长小于 4a,从而付到a 一m,(m 0)。同时经过观祭发现，此2P到两焦点的距离之和已经小于 2a,如果利用直角三角形的勾股定理获得c的范围，则得c到的离心率e 的分子分母都是单调递增的，无法确定离心率的范围。 这是一个精心设置aF1PF2中，边PF2其实可以写的解题方法陷阱，学生往往会因为直接套用例 2的解法而掉入该陷阱。 教师应该针对学生的 失误进行分析、引导，通过

6、讨论逐步发现在另外一个三角形 成a的表达式2a 13m,(m 0),于是在 F1PF2中可以利用余弦定理， 将c表示成关于a11的表达式，进而可以把离心率 e表达成一个关于 的二次函数，通过 1的取值范围和二次aa函数的单调性得到离心率 e的取值范围，顺利解决问题。此题的解决过程是本节课的高潮部分，学生的讨论和教师的分析、引领应该采用开放 的方式进行，让学生在讨论中自己走出陷阱，灵活调用知识框架的知识点，真正达到提高探究能力的目的。三.课堂小结：1 .归纳本节课所讨论的内含于椭圆的直角三角形共性一一直角顶点在P点，三角形的边必经过两焦点；2 .归纳本节课所讨论的椭圆离心率求解方法的共性一一抓定

7、义，抓直角三角形边的关系；3 .归纳本节课的探究中所利用到的辅助知识点一一三角形余弦定理、基本不等式、而函 数单调性；4 .归纳本节课的学习中，易出现的失误一一没有利用运动的观点看待椭圆上的直角点， 解题过程中思维惯性限制了解题方法的灵活运用。【说明】此处的归纳教师均要通过将学生的回答加以总结得出，不仅可以将具体的习题教学上升到解题通法的高度， 也可以及时检验教学目标的达成程度。 比较困难的地方在于放开以 后的收回，需要比较高的课堂驾驭能力。四.课后作业：221.过椭圆与yr1,( a ba bx轴且交椭圆于点 P,若 EPF2率。60 ,求该椭圆的离心222.过椭圆二 / 1,(a ba b

8、线交椭圆于P、Q两点，满足F1P求该椭圆离心率。0)右焦点F2的直F1Q ，若 sin F1PQ0)左焦点F1的直线垂直于3一?52 2xy3 .是否存在椭圆 丁上y1, (a b 0)上一点P,满足点P与长轴两端点 为42的ab连线PA1 PA2 ?若存在，求该椭圆离心率；若不存在，请说明理由。【说明】此处设置了 3个练习题，第1、2题是本节课所探究类型的第一步变形，将直角三 角形的直角顶点移动到了焦点，其解题思路并未发生大的变化，目的在于让学生体会到边过焦点的直角三角形并不只有本节课所讨论的那么一类；与本节课所讨论的类型相似的第3题同样将直角顶点放在椭圆上的点P,可是将直角三角形的另外两个

9、顶点放在了椭圆长轴端点上。此类椭圆其实并不存在， 需要学生通过例1及变式的解决方法， 利用圆的性质加以 说明。总之，练习题的三个题目有层次地将本节课所研究的问题加以拓展，不仅可以巩固学生对解题方法的掌握， 也有效拓宽了他们的视野， 对于解题思维惯性的打破， 能起到较好的 推动作用。五.教学反思：本节课的教学过程基本上按照教学设计的预设走了下来，通过小结的讨论和归纳反馈，获悉学生的掌握情况尚可， 基本达到教学目标。 但是在具体教学过程中仍有诸多不足和思考，主要有以下几个方面课堂中通过学生的讨论，教师的和学生的共同分析、引领是帮助学生走出失误的主要手段，也是最重要的手段。它是“陷阱式”教学方式的核

10、心内容。而本节课的教学过程中体现得稍显不足， 尤其在例 1 变式 2 的教学中， 学生提供了一种对该类问题的通解通法， 而教师没有把握住这个机会让学生上黑板演示一下， 只是粗略地肯定了这种解题方法的正确性就急切地给出了利用圆去解决的方法，没有形成足够的对比，优越性体现得略有不足。在后面例 2 的变式分析中，学生的讨论参与度不高，造成对是否掉入陷阱的情况不甚了解， 只是到最后发现无法获得椭圆离心率的范围， 这是教师教学过程比较严重的失误， 偏 离了“陷阱式”教学方式的主体思路。以上两处不足之处反映出教师教学思路仍然留有灌输式的烙印，需要时刻注意自己的教学行为必须以新课程理念为指导，课堂中充分发挥

11、学生的主体性和积极性。2.“陷阱”设置的深度过大本课设置的陷阱题主要分布在例 1 和例 2 变式中，这两个陷阱都属于解题方法陷阱。例 1 直接抛出了直角顶点落在椭圆之内的情况，没有经过特殊情况的铺垫，学生很难想到利用圆半径与椭圆短半轴长进行比较进而得到解答的方法， 故完成情况较差。 通过课后同仁评教和思考，感觉将例 1 的变式二首先放给学生就可以有效解决这个问题。例 2 变式的陷阱出现在求解过程中，是典型的解题方法陷阱。由于例 2 的解题思维惯性，学生很容易再一次利用直角三角形边的关系加上椭圆定义获得线段QF 2 的长度小于10m ，进而获得椭圆 c 的范围，此时椭圆的中的两个量a 和 c 均

12、为关于 m 取值范围，且不等号方向相同， 无法获得离心率的范围。 此陷阱需要学生花较多时间深入计算才能发现， 在解题之初不易被发觉。 掉入此类陷阱容易挫伤学生的解题积极性和学习热情， 因此在设计时需要慎之又慎。在导学稿的“剖典型”部分只给出了例 1 和例 2 两个例题，变式全都在课堂教学中通过多媒体课件展示出来。 由于两个例题难度相对较高， 学生在课前花了较多时间去完成这两个题目。 可是关靠这个两个题目的解决并不能将解题思路串起来， 显得很孤立。 虽然通过课堂教学中的几个变式分析， 可以达到教学设计中的教学目的， 然而这样会压缩学生的思考和体会时间，造成解题思路在掌握深度上的二次印象不足。经过

13、思考，认为可以将例 1 的变式 1 加入到导学稿中，并放置于例 1 之前。这样既可以分解难度系数， 又可以将解题思路串起来。 学生通过导学稿内容的课前预习， 能在脑海中对通法通解形成初步的印象， 在此后的课堂教学中通过讨论和教师的分析逐步清晰这些通法通解， 同时对变化后的解题方式有一个较为妥当的应对， 最终达到提升课堂复习效率的目的。附件 导学稿解内含直角三角形的椭圆离心率课题专题一一解内含直角三角形的椭圆离心率感悟准确识记椭圆定义、图像、简单几何性质；会求一些简单的内含直角三角形的椭圆离心率；掌握解决此类问题的一般方法，对拓展题具备一定的分析能力。2例.在椭圆x2 a2与1, (a b 0)

14、上内有一点P ,若PE b求椭圆离心率取值范围。2例2.过椭圆,x_2。1,(a b 0)右焦点F2的直线交椭圆于 bP、Q两点且满足PFi PQ，若Sin F1QP ,求该椭圆13离心率。yOPF2P yF2 x7Q y1 .椭圆定义式是解决该类问题的关键；2 .直角三角形边与角的关系往往是解题钥匙；3 .三角形正、余弦定理的运用也能啃下“硬骨头”221.过椭圆 x2- -yy 1 (ab 0)左焦点a bx轴且交椭圆于点P,若F1PF260 ,作拓展222.过椭圆与4 1,(a a bb 0)右焦点交椭圆于F2的直线F1的直线垂直于yxF2求该椭圆的离心率。P、Q两点，满足F1PF1P ,

15、若Sinf1Pq y，求该椭圆离心率。5223.是否存在椭圆2S2 _y2.1, (a ba b0）上一点P ,满足点 P与长轴两端点A1, A2的连线PAi PA2?若存在，求该椭圆离心率；若不存在，请说明理由。求解含直角三角形的椭圆离心率高二数学组陈佳聪求椭圆离心率。教学目标：1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式;2.充分运用椭圆中各个量之间的关系2,2ab2 cc ,e - a3 .熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系；4 .灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点：占八、占八、求一类含直角三角形的椭圆离心率当直角

16、三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式通过数形结合、师生讨论、 决问题的线索，逐个突破,“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解 以点带面，达到教学目标。教学过程：二.典例剖析:例1.在椭圆2 x -2 a2y21,(a bb2求椭圆离心率取值范围。【说明】本题意在希望学生通过直角三角形直角顶点的轨迹是一个以0）内有一点P,且PF1斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P运动到y轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间c b的大小关系，进而得到b222c 2c的结论。22变式1.若椭圆7 -y 1,(a a b0）短轴端点为P满足PF1PFiF2

17、x【说明】变式1试图让学生用运动的观点,承接例 1的解题思路获得点P落在短轴端点时,该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，得到a2 b2 c2 * e2 1， 的结论。PFi PF2,求椭圆离心率取值范围。2yY 1,(a b 0)上有一点P,若 b两焦点所在线段为斜边,F1PF2为直角。解决此类椭圆的离心率,最快捷的方法就是通过2变式2.在椭圆与 a【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例1与变式1的解题思路获得动点 P在椭圆上时OP c b,进而得到a2b2c22c2e21 eil1的结论。例1和它22 的两个变式构成一个体系一一所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以圆的半径

18、与椭圆的短半轴长的大小比较获得答案。此处的教学过程最好结合多媒体辅助教学，让学生从直观上感受到圆半径与椭圆短半轴长的不等量关系，数形结合能让抽象的量化计算变得生动、易懂。22PF2拉长和椭圆交于点 Q,此时内含于椭例2.过椭圆x2、1,(a b 0)右焦点 a b交椭圆于P、Q两点且满足PF1 PQ,若sin求该椭圆离心率。【说明】在前面例题1和变式的基础上，将线段圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，教师需要通过分析和与学生的共同探讨，把难度分解

19、，把梯子放下来，让学生通过理性的分析清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。22变式.在椭圆x2 4 1, (a b 0)上有一点P,椭圆内一点Q a b 4 5在PF2的延长线上，满足 QF1 QP ,若sin F1PQ 一，求该13椭圆离心率取值范围。【说明】本题将例 2中点P的位置从椭圆上移动到了椭圆之内，此时直15,角二角形的周长小于 4a,从而得到a 一 m,(m 0)。同时经过观察发现，此时点P到两2焦点的距离之和已经小于 2a,如果利用直角三角形的勾股定理获得c的范围，则得到的离c心率e 一的分子分母都是单调递增的，无法确定离心率的范围。这是

20、一个精心设置的解题a方法陷阱，学生往往会因为直接套用例 2的解法而掉入该陷阱。 教师应该针对学生的失误进行分析、引导，通过讨论逐步发现在另外一个三角形F1PF2中，边PF2其实可以写成a的x轴且交椭圆于点 P,若 F1PF2率。0)左焦点F1的直线垂直于60 ,求该椭圆的离心一0)右焦点F2的直F1Q ，若 sin F1PQ -，52 x3.是否存在椭圆 a2yy 1,(a b 0)上一点 P , b2满足点P与长轴两端点 A1, A2的表达式2 a 13m,(m 0),于是在 552中可以利用余弦定理，将c表示成关于a的表达,_ 一-1 , ，一一 一， 1 ,式，进而可以把离心率 e表达成

21、一个关于一的二次函数，通过一的取值范围和二次函数的aa单调性得到离心率 e的取值范围，顺利解决问题。此题的解决过程是本节课的高潮部分，学生的讨论和教师的分析、引领应该采用开放的方式进行，让学生在讨论中自己走出陷阱，灵活调用知识框架的知识点，真正达到提高探究能力的目的。3 .课堂小结：1 .归纳本节课所讨论的内含于椭圆的直角三角形共性一一直角顶点在P点，三角形的边必经过两焦点；2 .归纳本节课所讨论的椭圆离心率求解方法的共性一一抓定义，抓直角三角形边的关系；3 .归纳本节课的探究中所利用到的辅助知识点一一三角形余弦定理、基本不等式、而函 数单调性；4 .归纳本节课的学习中，易出现的失误一一没有利

22、用运动的观点看待椭圆上的直角点， 解题过程中思维惯性限制了解题方法的灵活运用。【说明】此处的归纳教师均要通过将学生的回答加以总结得出，不仅可以将具体的习题教学上升到解题通法的高度， 也可以及时检验教学目标的达成程度。 比较困难的地方在于放开以 后的收回，需要比较高的课堂驾驭能力。4 .课后作业：221 .过椭圆 学2-y2-1,(a ba2 b2222 .过椭圆 xy J 1,(a b a b线交椭圆于P、Q两点，满足F1P 求该椭圆离心率。连线PA1PA2 ？若存在，求该椭圆离心率；若不存在，请说明理由。【说明】此处设置了 3 个练习题，第1 、 2 题是本节课所探究类型的第一步变形，将直角

23、三角形的直角顶点移动到了焦点， 其解题思路并未发生大的变化， 目的在于让学生体会到边过焦点的直角三角形并不只有本节课所讨论的那么一类；与本节课所讨论的类型相似的第 3题同样将直角顶点放在椭圆上的点 P ，可是将直角三角形的另外两个顶点放在了椭圆长轴端点上。 此类椭圆其实并不存在， 需要学生通过例 1 及变式的解决方法， 利用圆的性质加以说明。 总之， 练习题的三个题目有层次地将本节课所研究的问题加以拓展， 不仅可以巩固学生对解题方法的掌握， 也有效拓宽了他们的视野， 对于解题思维惯性的打破， 能起到较好的推动作用。五教学反思：本节课的教学过程基本上按照教学设计的预设走了下来，通过小结的讨论和归

24、纳反馈，获悉学生的掌握情况尚可， 基本达到教学目标。 但是在具体教学过程中仍有诸多不足和思考，主要有以下几个方面课堂中通过学生的讨论，教师的和学生的共同分析、引领是帮助学生走出失误的主要手段，也是最重要的手段。它是“陷阱式”教学方式的核心内容。而本节课的教学过程中体现得稍显不足， 尤其在例 1 变式 2 的教学中， 学生提供了一种对该类问题的通解通法， 而教师没有把握住这个机会让学生上黑板演示一下， 只是粗略地肯定了这种解题方法的正确性就急切地给出了利用圆去解决的方法，没有形成足够的对比，优越性体现得略有不足。在后面例 2 的变式分析中，学生的讨论参与度不高，造成对是否掉入陷阱的情况不甚了解，

25、 只是到最后发现无法获得椭圆离心率的范围， 这是教师教学过程比较严重的失误， 偏离了“陷阱式”教学方式的主体思路。以上两处不足之处反映出教师教学思路仍然留有灌输式的烙印，需要时刻注意自己的教学行为必须以新课程理念为指导，课堂中充分发挥学生的主体性和积极性。2.“陷阱”设置的深度过大本课设置的陷阱题主要分布在例 1 和例 2 变式中，这两个陷阱都属于解题方法陷阱。例 1 直接抛出了直角顶点落在椭圆之内的情况，没有经过特殊情况的铺垫，学生很难想到利用圆半径与椭圆短半轴长进行比较进而得到解答的方法， 故完成情况较差。 通过课后同仁评教和思考，感觉将例 1 的变式二首先放给学生就可以有效解决这个问题。例 2 变式的陷阱出现在求解过程中，是典型的解题方法陷阱。由于例 2 的解题思维惯性，学生很容易再一次利用直角三角形边的关系加上椭圆定义获得线段QF 2 的长度小于10m ，进而获得椭圆 c 的范围，此时椭圆的中的两个量a 和 c 均为关于 m 取值范围，且不等号方向相同， 无法获得离心率的范围。 此陷阱需要学生花较多时间深入计算才能发现， 在解题之初不易被发觉。 掉入此类陷阱容易挫伤学生的解题积极性和学习热情， 因此在设计时需要