平面向量知识点总结(精华)

1、必修4平面向量知识点小结 一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2) , B(4,2),则把向量跑按向量a(1,3)平移后得到的向量是. 结果：(3,0) r2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,规定：零向量的 方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线uuu的单位向量是4B-)； |AB|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相

2、反的非零向量a、b叫 做平行向量，记作：a / b,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0)；三点A、B、C共线器战共线.6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 记作a.举例2如下列命题：(1)若iaiibi,则a b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .(3)若避院，则ABCD是平行四边形.(4)若abcd是平行四边形，则AB DUU.(5)若a b, b c,则 a

3、c.(6)若ab,则a/c.其中正确的是 .结果：(4) (5)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终 点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a, b, c等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同 的两个单位向量r,r为基底，则平面内的任一向量a可表示为 ar xr yr (x, y),称(x, y)为向量5的坐标，a (x, y)叫做向量3的坐标表下.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设e省同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量， 则存在

4、唯一实数对(i, 2),使a z 2鼠(1)定理核心：a双焉；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当 您时，就说a4启为对向量：的正交分解.结果:Br(3,5) ,02 (6,10)举例 3(1)若 a(1,1), b(i, i), c( 1,2),则 c.(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是ArrrrCr.0 (0,0) ,e2 (1, 2) B.斗(1,2) )02 (5,7) C. eD. e (2, 3),(3)已知AXBE分别是aabc的边bc , AC上的中线，且器a , BE b,则能可用向量a*,表不为 .

5、结果：-fa gbr.33(4)已知为C中，点D在BC边上，且那2DUr , CD rABr sA?，则r s的值是 .结果：0.四、实数与向量的积实数 与向量a的积是一个向量，记作 a,它的长度和方向规定如 下：(1)模： ai 面；(2)方向：当 o时，a的方向与a的方向相同，当 o时，a的 方向与a的方向相反，当 o时，a 0,、匚r在息： a 0.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,固作OA，OB b,则把 AOB (0)称为向量a , b的夹角.当 0时，a, b同向；当 时，a, b反向；当 时，a, b垂直.2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a, br

6、,它们的夹角为， 我们把数量山而cos叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：aJ, 即 a b | ar | |b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4(1)BC中，|器|3, |器|4, |BC|5,则器鸵. 结果：9.(2)已知 a i,2 , b 0,2 ,c a kb / a b, c 与 dr 的夹角为，贝卜 .结果：1.(3)已知山2,由5, a tr 3,则a bi. 结果：/.(4)已知a,b是两个非零向量，且由ibiia bri,则a与4的夹角为. 结果：300 .3 .向量b在向量a上的投影：ibicos ,它是

7、一个实数，但不一定大于 0.举例5 已知iai 3, ibi 5,且ab 12 ,则向量a在向量2上的投影为. 结果：展 54 . a b的几何意义：数量积a b等于a的模iai与br在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量，b,其夹角为，则：(1) a b a b 0；当a、b同向时,a b & ibi,特别地，a2 a a向2山舟；ab面ibi是a、b同向的充要分条件；当a、&反向时，a b iaiibi, a b 岛也是a、b反向的充要分条 件；当 为锐角时，ab 0,且a、&不同向，ab 0是 为锐角的必要不 充分条件；rrr当 为钝角时，a b 0,且a、b不反向；a

8、 b 0是 为钝角的必要不 充分条件.r r(3)非零向量a, b夹角 的计算公式：cos；a b iaiibi .iaiibi举例6(1)已知a( ,2), b(3,2),如果a与I的夹角为锐角，则 的取值范围是. 结果： 或。且打(2)已知aofq的面积为S,且OUFQ 1 ,若2 S ,则OU,用夹角 的 取值范围是. 结果：-，-;4 3(3)已知 a (cosRSinx) b (cosy,siny) 且满足|ka tr | . 3 1a kb)| (其中k。).用k表示a 4 ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小. 结果：二空里。)；最小值为葭600 .六、向量的运算1

9、.几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB a, BC b,则向量AC叫做a与b的和，即rrULUDuurLULTabABBCAC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a, AC b,则a b AB AC CA,即由减向量的终 点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7(1)化简： Ar BUr CDr ; ALB Ar DLL ；uur uur uur uuriwuuU uurr(AB CD) (AC BD).2口果： AD ；的 CB ；。；(2)若正方形

10、ABCD的边长为1 , ABU , BCU , AC C ,则4b C| 一 结果：2立；(3)若。是BC所在平面内一点，且满足潴OCr靖吃2OA ,则MBC的 形状为.结果：直角三角形；(4)若D为BC的边BC的中点，AABC所在平面内有一点P,满足 uuuPuA BP CP。，设胃，则的值为 结果：2;(5)若点0是3C的外心，且Or OB CO。，则ZXABC的内角C为 . 结果：12。.r2 .坐标运算：设a (xL , b (X2,y2),则(1)向量的加减法运算：1 b (x1 X2,y1 y2),ab (x1 X2,y1 v。.举例 8(1)已知点 A(2,3) , B(5,4)

11、 , C(7,1。)， 若晶AB AC( R), 则当时，点P在第一、三象限的角平分线上. 结果：g；(2) 已矢口 A(2,3) , B(1,4),. 1 AB (sin x,cos y) , x, y ( ,) ?贝f x y . 2吉 果：*3；(3)已知作用在点A(1,1)的三个力uu (3,4) , Fr (2, 5) , Fu (3,1), 则合力uu F1 Fr Fu的终点坐标是结果：(9,1). 实数与向量的积：a(xi,yi) ( X1, yi).(3)若 A(x,yi), B(&,y2),则 AB (X2 Xi,y2 yi),即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终

12、点坐标减去起点坐标举例9设A(2,3) , B( i,5),且吃1AB , AS 3匿，则C,D的坐标分别是 3. 结果：(之),(7,9). 3(4)平面向量数量积：a b XiX2 yiy2.举例I0已知向量 a (sin x,cosx) ) b (sinx,sinx) ) c ( I,0).(i)若x 求向量a、c的夹角； 3(2)若x ,函数f(x) abr的最大值为，求 的值.结果：(i) I50。；5 2) 2 或 2 I.(5)向量的模：a2由2 X2 y2由pv.举例ii已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么la 3bi=. 结果：m.(6)两点间的距离：若A(4yi

13、), B(X2，y2),则|AB|而2一XT一后一行.举例I2如图，在平面斜坐标系XOy中，xOy 60。，平我上任一点P关 于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若那Xei y52,其中一分%b与X轴；y轴同 方向的单于 1位向量，则P点斜坐标为(xy).(I )若点P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离|PO| ；(2)求以。为圆心，I为半径的圆在斜坐标系XOy中的方程.结果：(I) 2； (2) X2 y2 Xy I 0.七、向量的运算律1 .交换律：a b br a,(由(总 ab ba；2 .结合律：ab c(a ir)c,arbc a(bC),(aq (a b) a(b)；3 .分配律

14、：()aa a,(ab) ab, (abKac bc.举例I3给出下列命题： a (b c) a 4 a c ；a d b g b) c ；r r 2 r 2 r r r 2(a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 ；r r r若a b 0,则a 0或b 0 ；若a b c b则a c ；出a2 ； d b)2 a2 b2 ； g b)2 a2 2ab 立其中正确的是一结果：.说明：(I)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相

15、除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(rc)(N)c,为什么?八、向量平行(共线)的充要条件r rr rr r 2 r r 2a/ba b(a b)(| a | b |)x1y2y1x20 .举例 14 (1)若向量 a (x,1), b (4,x),当 x时，士与b共线且方向相同.结果：2.(2)已知 a(1,1), b(4,x), u a 2J, v 2a J，且。/V,则x 结果：4.(3)设 PA(k，12) , PB (4,5) , PC (10,k),则 k 时，A,B,C 共线.结果：2或11.r r rrr rr L0.abab 0|a b | |a b |X1X

16、2y y2uuuuuruuuuuir特别地AB uuuAC uurAB uuuAC uuu|AB|AC |AB|AC|举例15 (1)已知OA(1,2),uuurOB (3,m)，若uu uurOA OB )灿 m九、向量垂直的充要条件结果:(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90 ,则点 b的坐标是.结果：(1,3)或(3, 1);(3)已知n (a,b)向量n m,且向面，则m的坐标是结果：(b, a)或(b, a) .十、线段的定比分点1 .定义：设点P是直线PF2上异于P、P2的任意一点，若存在一个实 数，使PPrPP2,则实数 叫做点p分有向线段器u

17、所成的比，p点叫做有向线段 般的以定比为 的定比分点.2 .的符号与分点p的位置之间的关系(1)p内分线段PuU,即点p在线段PF2上 。；(2) P外分线段能；时，点P在线段PP2的延长线上1 ,点P在线段P1P2的反向延长线上10.注：若点P分有向线段PP：所成的比为，则点P分有向线段PzUr所成的 比为L举例16若点p分赌所成的比为3,则a分BP所成的比为4 /幺士里7巳口禾. -.33.线段的定比分点坐标公式：设P(Xi，x), P2(x2,y2),点P(x,y)分有向线段胃Pu所成的比为，则定比分XiX2点坐标公式为1 yi(V21).Xi X2X ,特别地，当 1时，就得到线段P1

18、P2的中点坐标公式 2y j.2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(内)，(为)、( 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比.举例17 (1)若M( 3, 2) N(6, 1)且Mu1揣则点P的坐标为.3结果：(6, 7)；3(2)已知A(a,0) , B(3,2 a),直线y 1ax与线段AB交于M ,且1AMr 2滞，则a .结果：2或4.十一、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),则x x h,；曲线f(x,y)。按 y y k.向量(h,k)平移得曲线f(

19、x h,y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点. 结果：(8,3);(2)函数y sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1 , 贝！J a. 结果： (4,1).十二、向量中一些常用的结论1 .一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2 .模的性质：向由ia bdi ib|.(1)右边等号成立条件：a、b同向或a、b中有0 1a biia1 ； 左边等号成立条件：a、b反向或a、b中有0 ia biiai向； - -r - r - r - r(3)当 a、b不共线ia