平面向量数量积的教案

1、当前位置:人教网2010>高中数学B版>教师中心同步教学资源>必修4>教学设计向量数量积的物理背景与定义山东省东营市胜利第一中学郝葆华 一、教学目标 (一）知识与技能目标 1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系  3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系 （二）过程与方法目标 经历概念的形成过程，解题的思维过程，让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。 (三)情感、态度与价值观目标 通

2、过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程,培养学生发现、提出、解决数学问题的能力,有助于发展学生的创新意识。 二、教学重点和难点     本节的重点是向量的数量积的定义及性质,难点是对向量数量积的定义及性质的理解和应用。 三、教学方法 倡导“自主、合作、探究”的学习方式，采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学. 四、教学过程 教学 环节教学内容师生互动设计意图 引 导 自 学 ， 感 知 知 识1、一个力作用于一个物体，力

3、的方向与前进方向有一个夹角，则力使物体位移所做的功_ 2、已知两个非零向量、，作，,则_称作向量和的夹角，记作_，并规定它的范围是_ 3、在轴上的正射影的坐标记作_,向量的方向与轴的_所成的角为，则_ 4、（1)叫做向量和的数量积(内积)，记作，即_        要求同学们在8分钟之内阅读教材、积极思考，完成老师设置的问题。      使同学们通过充分的自主参与，对教材知识有个初步了解，带着问题进入下一步的学习，以充分调动学

4、生的学习兴趣. 教学 环节教学内容师生活动设计意图感知知识 引导自学，（2），其中是_，叫做_，叫做_ 5、叙述平面向量数量积的性质  师      生      互      动 , 理      解      知    

5、60; 识1、两个向量的夹角 已知两个非零向量、，作,，则称作向量和向量的夹角,记作： （1）注意求两向量的夹角，须先将两个向量平移至公共起点。  （2)两个向量夹角的范围：0 (3）当时，与同向；  当时，与反向。  （4)当时，与垂直， 记。       （5）规定：零向量与任一向量垂直.          利用多媒体展示出

6、不同位置关系的几组向量，借助几何直观对概念进行强调说明。 (1）向量同起点   (2）范围   （3）特殊情况   （4）突出一规定          借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义奠定基础.         突出一规定在向量数量积定义中就可不用再强调非零向量、。教学 

7、;环节教学内容师生活动设计意图 师      生      互      动 , 理      解      知      识2、 向量在轴上的正射影 （1）概念：已知向量和轴,作,过点分别作轴的垂线,垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射

8、影）。          （2）正射影的数量： 即向量在轴上的正射影的数量，记作 设向量的方向与轴的正向所成的角为，则 强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个数量。  （3）时，； 时，； 时，； 时，； 时,。    师生共同回顾自学时所认识的向量在轴上的正射影的概念。       &

9、#160;               在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。       借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零.       在两个概念的基础上,学生自主探索发现夹角和正射影数量的关系.教师可来回巡视，进行指导.    

10、60;         加强几何直观，有利于学生理解概念.                         区别正射影与正射影的数量两个概念。       学生在已有知识的基础上，自主探索发

11、现，发展认知,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。 教学 环节教学内容师生活动设计意图 师       生       互       动   ，   理       解       知 

12、60;     识3、 向量数量积的定义 概念：叫向量和的数量积（或内积)，记作，即有  探究1:两个向量的数量积与数乘向量有什么区别? 两个向量的数量积是一个实数，符号由的符号所决定;而数乘向量是一个向量. 探究2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区别？ 书写：实数乘积或; 在实数中，若a?0,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中，若,且，不能推出,因为其中cosq有可能为0. 已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c，但是

13、0;在实数中，有(a×b)c = a（b×c）,但是  4、向量数量积的性质 (1）如果是单位向量，则   (2）  且  (3）或； （4）；(5）。两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。   教师提出问题，学生以小组为单位进行探究。         对于探究2此处重点强调书写的区别,其它性质或运算律的区

14、别学生若想不到可在后面例1中展现。               教师采用“由特殊到一般"的方法展现向量数量积的性质：让即得到性质(1)；让即得到性质（2);当时即为性质(3)；性质（4）实为公式变形；利用余弦函数有界性即可得性质（5)。  学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握.   提出问题引导学生去探究，培养学生的探索精神。   

15、    通过对书写的强调，体现数学的严谨性。                     让学生体会“由特殊到一般,再由一般到特殊”的思维方法,发展学生的理性思维能力。           教学 环节教学内容师生活动设计意图 

16、;师 生 互 动，理 解 知 识性质的应用: (2）可解决两向量的垂直问题； 申:解决两向量共线的问题：  且 （3）可求向量的长度; （4）可求两向量的夹角,同时也建立了向量与三角的联系； (5）建立了向量与不等式之间的联系。    学生自主观察性质特点，自主总结性质的应用价值,也可以以小组为单位进行探究。          

17、      培养学生自主探究、合作交流的能力，变“学会”为“会学”。         典    例    探    究 ， 掌    握    知    识例1、判断正误： 若，则对任一向量,有。   

18、0;            （） 若，则对任一非零向量，有.           （ × ) 若，则、至少有一个为零.                （ × ) 若，则。 

19、;                       （ ×) 若,则当且仅当时成立。          ( ×) 对任意向量、，有 。         &

20、#160;   （ × ） 对任意向量,有。                          （ ） 对任意向量,有。               

21、       （×）     教师出示8个判断题,学生进行分析、判断,教师提问个别同学进行回答，根据回答情况进行强调和纠正。     通过题目帮助学生更准确的认识向量的数量积，并养成缜密推理的好习惯。 教学 环节教学内容师生活动设计意图 典    例    探    究 ， 掌 

22、   握    知    识例2、已知,， 当，与的夹角是30°时，分别求。   例3、在正三角形中，边长为3，求(1）   (2）   强调： 第（2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的夹角不再为,而应为.     教师出示例题，由学生到黑板上板演，最后师生共同点评完成。     教师出示例题，由

23、学生进行口头分析，充分展示学生的思维过程。   让学生在掌握向量数量积公式的基础上，进一步认识两个向量垂直、共线的充要条件,因为它是用“向量法”解决解析几何、立体几何中有关两直线位置关系问题的重要工具。 自   我   实   践 ， 应   用   知   识练基础： 1、若，则与的夹角的取值范围是_。 2、已知，=4,则= _. 3、已知 =2， 在方向上的正射影的数量为4，则_. 

24、    4、已知=3，且,则在方向上的正射影的数量为_.    学生独立完成，教师核对答案，并关注学生的数学表达。              这些练习源于课本例、习题,充分体现以本为本.     教学 环节教学内容师生活动设计意图 自    我    实    践 , 应    用    知    识练能力: 1、在四边形中，且，则四边形是（    ） 梯形      菱形   矩形