生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)

1、知识要点梳理厂轴对称图形轴对称分类轴对称实例生活中的轴对称广角平分线线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质厂图案设计I轴对称的应用 YI镶边与剪纸、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的局部能够完全重合，那么这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴。2、理解轴对称图形要抓住以下几点：1指一个图形；2存在一条直线对称轴；3图形被直线分成的两局部互相重合；4轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的那么存在多条；5线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；【例1】要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的花

2、坛，以下列图案中不符合设计要求的是二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称, 这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。2、理解轴对称应注意：1有两个图形；2沿某一条直线对折后能够完全重合；3轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；4对称轴是直线而不是线段 ；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作.一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两局部两个图形，那么这两局部关于

3、这条对称轴成轴对 称。【例2】以下四个判断：成轴对称的两个三角形是全等三角形；两个全等三角形一定成轴对称；轴对称的两个圆的半径相等；半径相等的两个圆成轴对 称，其中正确的有4个3于C- 2个三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。【例3】如图，AB=AC, BEL AC于E, CF丄AB于F, BE,CF交于D,那么以下结论： AB妾 ACF BDF CDE 点 D在/ BAC的平 分线上.正确的选项是A.BCD.四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。2、性质：线

4、段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。【例4】以下各语句中不正确的选项是A 全等三角形的周长相等ir=.1B 全等三角形的对应角相等C 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、 相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是 等腰三角形。5、 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴等边三角形除外，其底边上的高或顶角的平 分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。6、 等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它

5、们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。7、 等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一& “三线合一是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。9、“三线合一是等腰三角形特有的性质， 是指其顶角平分线， 底边上的高和中线，这三线, 并非其他。10、 等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角。11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：1两条边相等的三角形是等腰三角形;2如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边【例5】如图(a) , BC=3, / ABC和/ ACB的平分线相交于点O, OE/ AB,

6、OF/ AC那么三角形OEF的周长为。£【变式5】如图(b)，在 ABC中，AB=AC, AD是高，AM是 ABC外角/ CAE的平分 线.1用尺规作图方法，作/ ADC的平分线DN;保存作图痕迹，不写作法和证明2设DN与AM交于点F,判断 ADF的形状.只写结果六、等边三角形1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。2、 等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。3、等边三 角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是6O0。图形定义性质等腰三角形Z有两边

7、相等的1、两腰相等，两底角相等。2、顶角=1800-2 X底角。底角 =1800-顶角/2。3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三 线合一。4、轴对称图形，有一条对称轴。«三角形等边三 角 形又叫正三角形/边相的角三都等三形1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于60°。2、具有等腰三角形的所有性质。3、轴对称图形，有三条对称轴。、【例6】以下三角形： 有两个角等于60°； 有一个角等于60°的 等腰三角形； 三个外角每个顶点处各取一个外角都相等的三角形； 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有BC.【变式6】在 ABC中，A

8、B=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋 转角为 a ,且0°V aV 180°, 连接 AD、BD.1如图1 ,当/ BAC=100 ,a =60°时，求/ CBD 的大小。(2) 如图2,当/ BAC=100 ,a =20°时，求/ CBD 的大小。(3) / BAC的大小为m 60°v mv 120°,假设/ CBD的大小与2中的结果相同，请直接写出a的大小.七、含有30°角的直角三角形性质：在一个直角三角形中，如果有一个角等于30°,那么30°所对的角是斜边的一半。【例7】假设等腰三

9、角形腰长为8，腰长上的高为4，那么此三角形的顶角是 A. 30°B. 150°C. 30° 或 150°D. 30° 或 120°【变式7】以下说法： 如图1 , ABC中，AB=AC, / A=45 °，那么 ABC能被一条直线分成两个小等腰 三角形. 如图 2, ABC 中，AB=AC, / A=36 ° , BD, CE 分 别为/ ABC, / ACB 的 角平分 线，且相交于点F,那么图中等腰三角形有6个.1 如图3, ABC是等边三角形，CD丄AD,且 AD/ BC,贝U AD= AB2 如图4 , A

10、BC中，点E是AC上一点，且 AE=AB连接BE并延长至点 D,使AD=AC1/ DAC=Z CAB, / DBC=- / DAB,其中，正确的有。2八、轴对称的性质1、 两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点对称点，能够重合的线段称为 对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、类似地，轴对称图形的性质有：1轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。2轴对称图形的对应线段、对应角相等。3根据轴对称图形的性质可求

11、作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补 全轴对称图形。【例8】以下四个判断：成轴对称的两个三角形是全等三角形；两个全等三 角形一定成轴对称；轴对称的两个圆的半径相等；半径相等的两个圆成轴对 称，其中正确的有右折L1J； V M右下方折沿巒誓幵S)(5)九、图案设计1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。2、 作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤：1首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；2然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点对应点所连的线段被对称轴垂直平分3分别连接其对称点，那么可得其对称图形。3、表达方式以点 M为例：1过点M作对称轴

12、I的垂线，垂足为 A；2延长MA到M到，使MA=MA那么点M就是点M关于直线I的对称点。3在复杂的作图中，也可以表达为：作出点M关于直线I的对称点M.4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：1要有明确的设计意图；2创意要新颖独特；3设计出的图案要符合要求；4能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。5、 图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。【例9】按照轴对称画出图形的另一半11Lr ii i1tw/1ar1|klI1 1.!i1!i,1【变式9】如图，草原上有两个居民点P,Q, MM是一条公路，NN

13、9;是一条河流.一汽车从 P出发，把一批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到Q问：怎样安排两个停靠点 R, S,可使行驶的路程最短？PO十、镜面对称1、镜面对 称的有关性质：1任何一个平面图形物体在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形 在镜子中的像仍是轴对称图形。2假设一个平面图形正对镜面，那么其左右侧在镜中的像是其右左侧；3假设一个平面图形物体垂直于镜面摆放，那么靠近镜面的局部，其像也靠近镜面;2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：1如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，那么纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。2如果纸条正对镜面摆 放，

14、那么纸条上写的 0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字 完全一样。3、像与物体到镜面的距离相等。4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表 示的，也有直接用钟表来表示的。 在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解 决。【例10】镜子里看到的视力表如下所示，画出其实际图形3山m E【变式10】看镜子，写数字8£d1V: > < > ( )( )( )( ) )OQ 8 Vl ST( ) ( ) ( ) ( )练习题一、选择题1 以下说法中，不正确的选项是A. 等腰三角形底边上的

15、中线就是它的顶角平分线B. 等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一局部C. 一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D. 两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的2以下推理中，错误的选项是A. vZ A=Z B=Z C，.A ABC是等边三角形B. v AB= AC,且/ B=Z C，.A ABC是等边三角形C. vZ A= 60。，/ B= 60°，仏 ABC是等边三角形D. v AB= AC, / B= 60°，仏 ABC是等边三角形3. 在等边三角形 ABC中，CD是/ ACB的平分线，过 D作DE/ BC交AC于E，假设 ABC的边长为玄，那么厶ADE

16、的周长为4A. 2a B . a C . 1. 5aD. a34. 等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm那么这个三角形的周长是A. 9cm B . 12cm C . 9cm 和 12cm D .在 9cm与 12cm之间5. 观察图7108中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为图 7-1086. 对于以下命题：1关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；2等腰三角形的对 称轴是顶角的平分线；3 条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；4如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称.其中真命题的个数为A. 0 B . 1 C . 2D. 37. AABC中，AB= AC,点D与顶

17、点 A在直线BC同侧，且BD= AD.贝U BD与 CD的大小关系为A. BD> CD B . BD= CD C . BD< CD D . BD与 CD大小关系无法确定&以下列图形中，不是轴对称图形的是A. 互相垂直的两条直线构成的图形B. 条直线和直线外一点构成的图形C. 有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形D. 有一个内角为60。的三角形9. 在等腰 ABC中，AB= AC, O为不同于 A的一点，且 OB= OC那么直线 AO与底边 BC的关系为 A.平行 B .垂直且平分 C .斜交D .垂直不平分10. 三角形的三个顶点的外角平分线

18、所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是 A.锐角三角形 B .钝角三角形C .等腰三角形D.直角三角形、填空题1 正五角星形共有条对称轴.2.黑板上写着旧弓己在正对着黑板的镜子里的像是3 等腰三角形的腰长是底边长的4. 1等腰三角形，2正方形，4，一边长为11cm那么它的周长为 .3正七边形，4平行四边形，5梯形，6菱形中,定是轴对称图形的是5.如果一个图形沿某一条直线折叠后,直线两旁的局部能够,那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做中，AD= B» BC,假设/ C=A7.：如图7 110, ABC中, AB= AC, BE/ AC/ BDE= 100。，/ BAD= 70&#

19、176;，那么& 如图7111 ,在Rt ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上, / BAE/ BAC= 1 : 5，那么/ C=.9.如图7 112,Z BAC= 30°, AM是/ BAC的平分线，过 M作 ME/ BA交AC于E,作MDL BA 垂足为 D, ME= 10cm,贝U MD=.F07J1210.如图7 113, OE是/ AOB的平分线，BD丄OA于 D, ACL BO于C,那么关于直线 OE对称的三角形有对.三、解答题1.如图7 114,/ XOY内有一点 P,在射线 0X上找出一 点M 在射线 0Y上找出一点 N,使PMF MNr NP最短.2.如图7115，图中的图形是轴对称图形吗 ？如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴.7-1153. / AOB= 30°，点P在0A上，且 0P= 2,点P关于直线 0B的对称点是 Q,求PQ之长.4. 如图7 116,在厶ABC中，C为直角，/ A= 30