第四节 平面上曲线积分及路径无关的条件

1、第四节第四节 平面上曲线积分平面上曲线积分 与路径无关的条件与路径无关的条件一、定义一、定义二、二、条件条件三、应用三、应用一、定义一、定义定义定义1. 设区域设区域 D R2. 若若D内任一简单曲线所围内任一简单曲线所围 内部完全属于内部完全属于D. 则称则称D为为单连域单连域, 否则称否则称D为为复连域复连域. 单连域单连域复连域复连域AL2L1DB 设设D是一开区域是一开区域,P、Q在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,若对任若对任意两点意两点A，B以及从点以及从点A到点到点B的任意两条曲线的任意两条曲线L1和和L2，恒，恒有有 dddd 21 LLyQxPyQxP则称此曲线积分在

2、则称此曲线积分在D内内与路径无关与路径无关.定义定义2.定理定理2 设设D R2为有界为有界单连域单连域，若，若P(x,y)和和Q(x,y)在在D内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数，则下列四个条，则下列四个条件等价：件等价：.dd )2(无无关关内内与与路路径径在在LDyQxPL (1) 对对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有有.0dd CyQxP. )4(内内处处处处成成立立在在DyPxQ (3) 在在D内存在一个函数内存在一个函数u(x,y),使得使得 du(x,y)=Pdx+Qdy,QyuPxu , 即即二、条件二、条件证明证明 采用循环论证采用

3、循环论证(1) (2) 设设 A、B DDyxoBA 设设 连接连接A、B两点的弧段两点的弧段L1、L2 D，如图，如图由由(1)得得1L2LEF.0 AEBFAyQxPdd AEByQxPdd BFAyQxPdd 21LLyQxPyQxPdddd 即即故故(2)成立。成立。(2) (3) 取定取定A(x0,y0) D B(x,y) DDyxoA(x0,y0)B(x,y) C(x+ x,y) 由由(2)得得 AByQxPdd只与只与B(x,y) 有关有关故可令故可令u(x,y)=考察考察u(x,y)的可导性。的可导性。DyxxCx ),( ,使使),(),(yxuyxxuu ACyQxPdd

4、AByQxPdd BCyQxPdd ACyQxPdd AByQxPdd AByQxPdd BCyQxPdd xxxdxyxP ),(xxxP )( 积分中值定理积分中值定理xxxxPxuxx )( lim lim 00 从从而而)( lim0 xxPx =P(x,y),( yxPxu 即即),( yxQyu 类类似似有有故在故在D内存在一个函数内存在一个函数u(x,y),使得使得 du(x,y)=Pdx+Qdy, (3)成立成立(3) (4) 设设 D内存在一个函数内存在一个函数u(x,y),使得使得 du(x,y)=Pdx+QdyQyuPxu , 即即xQxyuyPyxu 22, 则则由于由

5、于P、Q具有一阶连续偏导，具有一阶连续偏导，是是连连续续的的、则则xyuyxu 22 xQxyuyPyxu 22 即而即而(4) (1)线线，是是按按段段光光滑滑的的封封闭闭的的曲曲设设DL L围成的区域为围成的区域为 ，由于，由于D是单连通的，因此是单连通的，因此 D,由由Green公式得公式得0dd)(dd yxyPxQyQxPL两个条件缺一不可。两个条件缺一不可。有关定理的说明：有关定理的说明：(1) 区域区域D是单连通区域是单连通区域 ;(2) 函数函数P(x,y),Q(x,y)在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数. 综合之定理成立综合之定理成立判断时应用最方便、最具操作性的

6、是判断时应用最方便、最具操作性的是(4) xQyP 即即 在曲线积分中破坏区域在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函的单连通性、以及函数数P(x,y)、Q(x,y)在在D内具有一阶连续偏导数的点内具有一阶连续偏导数的点称为奇点。称为奇点。 奇点奇点 在定理在定理2的条件下，的条件下， 曲线积分在曲线积分在D内与积分路内与积分路径无关。则径无关。则 ),(),(00),(yxByxAABQdyPdxQdyPdxyxu且具有且具有du(x,y)=Pdx+Qdy，称称u(x,y)为为Pdx+Qdy的一个的一个原函数原函数。 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dyyxQdxyxPyyx

7、x),(),(101010 dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA xQyP 若若例例1.证明：对任一光滑的简单闭曲线证明：对任一光滑的简单闭曲线C，有，有0dd22 Cyxxxyx0Cy证：证：因为因为 P=2xy，Q=x2，有有xyP2 所以所以0dd22 CyxxxyxQ 三、应用三、应用例例2 计算计算yyxxyxILd)sin(d )(22 其中其中L为为22xxy 上由点上由点O(0, 0)到点到点A(2, 0)的一段弧的一段弧.解：因为解：因为P=x2y, Q= (x+sin2y), 有有1 yP所以此

8、曲线积分与路径无关，所以此曲线积分与路径无关，取取AO：y=0 0 x20 xyALxQ 所以所以yyxxyxLd)sin(d)(22 xx d202 2033x 38 yyxxyxOAd)sin(d)(22 计算计算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其中其中L 为由点为由点)0, 0(O到点到点)1, 1(B的曲线弧的曲线弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原积积分分与与路路径径无无关关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例3设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关,其其中中 具具有

9、有连连续续的的导导数数, 且且0)0( ,计计算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 例例4由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 例例5 计算曲线积分计算曲线积分yexdxxxyxyLd sin2sinsin22)1(42 其中其中L为为 上由点上由点O(0, 0)到点到点A(2, 0) 的一的一段弧。段弧。2) 1(1 xy LxyLdyedyxdxxxy2)1(42 sin2sinsin2 原原式式解解 Ledyxyd )sin()0 , 2()0 , 0(4=0+0=0与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQy