三章微分中值定理与导数的应用ppt课件

1、主讲人：张少强主讲人：张少强计算机与信息工程学院计算机与信息工程学院三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00( )lim( )f xg x微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化00( 或或 型型)( )lim( )fxg x 本节研究本节研究:一、一、1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),

2、f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则洛必达法则) ( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,ax 那那么么)(, )(xFxf在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或

3、为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且推论推论1.定理定理 1 中中xa换为换为,xa ,xa ,x x 之一之一,推论推论 2. 假假设设( )lim( )fxFx 0,( ),( )0fxF x 仍仍属属型型 且且满满足足定定理理1条件条件, 那那么么( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必达法则洛必达法则例例1. 求求332132lim.1xxxxxx解解: 原式原式 l

4、im1x00型型16lim62xxx 23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx例例2. 求求21arctanlim.xxx 解解: 原式原式 lim x 型00221limxxx1211x21x11lim21xx型 1) lim( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或为或为)( )lim( )xaf xF x定理定理 2.证证: ( )lim( )xaf xF x仅就极限仅就极限存在的情形加以证明存在的情形加以证明 .( )lim( )xafxFx (

5、洛必达法则洛必达法则)2)( )( )( ),f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且1)0)()(limxFxfax的情形的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax从而从而型002)0)()(limxFxfax的情形的情形. 取常数取常数,0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxF

6、kxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用可用 1) 中结论中结论3)()(limxFxfax时时, 结论仍然成立结论仍然成立. ( 证明略证明略 )说明说明: 定理中定理中ax 换为换为之一之一, 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立., ax, ax,xx,x( )( )limlim0( )( )xaxaf xF xF xf x再由上面已知再由上面已知2)2)的结论的结论. .例例3. 求求lnlim(0).nxxnx 解解:型原式原

7、式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!limlim(0 ,0).nxxxne 型例例4. 求求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.nx从而从而xnexxkexxkex1由由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则用夹逼准则kx1kx存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,. )0(0lnlimnxxnx例例3. 例例4. )0, 0(0limnexxnx说明说明:1)

8、 例例3 , 例例4 说明说明x时时,lnx后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必达法则用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 3) 假假设设( )lim(),( )fxF x 不不存存在在时时( )( )limlim.( )( )f xfxF xFx 例如例如P137. 题题2,sinlimxxxx 1coslim1xx 极限不存在极限不存在sinlim(1)xxx 10,

9、 00 , 1 , 0 型型解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例5. 求求0limln(0).nxxxn 型0解解: 原式原式0lnlimnxxx 110limxnxnx 0 0lim()nxxn 型2lim(sectan ).xxx 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例6. 求求通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例7. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1通分通分转化转化0

10、00取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例8. 求求20tanlim.sinxxxxx 解解: 注意到注意到xsin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x00型型nnnneln11例例9. 求求. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则为用洛必达法则 , 必须改求必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0

11、u1ue原式原式内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令令取对数取对数思考与练习思考与练习1. 设设)()(limxgxf是未定式极限 , 假如)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 例如 P.139. 2极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 那么2011221limtttt4. 求求xxxxx122lim23解解: 令令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41作业作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家法国数学家, 他著有他著有无穷小分析无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极并