故障诊断课件-数学形态学滤波-6

1、数学形态学分析法国数学家Matheron G和Serra J于1964年在积分研究成果的基础上共同创立了数学形态学，1966年正式命名，1968年4月，两人作为核心成员在法国巴黎共同建立了枫丹白露数学形态学研究中心。数学形态学是一门交叉学科，涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等数学理论。体现了逻辑推理和数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。数学形态学分析数学形态学首先处理的是二值图像，称为二值数学形态学。它将二值图像看成是集合，并用结构元素来探索。二值数学形态学是一种针对集合的处理过程，算法简单，适于并行处理，且易于硬件实现，适于对二值图像进行图像分割

2、、细化、抽取骨架、边缘提取、形状分析等处理。灰值数学形态学是二值数学形态学对灰值图像的自然扩展。它将二值形态学中所用到的交、并运算分别用最大、最小极值运算代替，其基本算子通过组合得到了广泛的应用。灰值数学形态学可以通过本影变换与二值形态学联系起来。数学形态学分析一 数学形态学基本原理数学形态学摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析信号，形成了一套完整的理论、方法和算法体系。1.1 二值形态学二值图像：图像的灰度只是由0和1构成的，传统的图像处理一般将图像中对象的灰度值取1，背景灰度值取0。结构元素：一个可以在图像上平移、且尺寸比图像小的集合。记 图像中所有灰度值为1的点组成

3、的集合为A；结构元素为B定义两个基本的变化：膨胀和腐蚀。数学形态学分析一 数学形态学基本原理数学形态学摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析信号，形成了一套完整的理论、方法和算法体系。1.1 二值形态学二值图像：图像的灰度只是由0和1构成的，传统的图像处理一般将图像中对象的灰度值取1，背景灰度值取0。结构元素：一个可以在图像上平移、且尺寸比图像小的集合。记 图像中所有灰度值为1的点组成的集合为A；结构元素为B定义两个基本的变化：膨胀和腐蚀。数学形态学分析一 数学形态学基本原理集合的几个基本概念：集合：补集：交集：并集：差集：映像：平移：Aw wAcAw wACABw wAw

4、BI且CABw wAwBU或CABw wA wB,Bw wb bB ( , )wx y( ),zAc caz aA数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学膨胀：设A和B分别为n维欧式空间En的子集，记A被B膨胀为AB。A被B膨胀是所有结构元素原点位置组成的集合，其中映射并平移后的B至少与A的某些部分重叠。通常结构元素B选取对称的结构元素，故映射后的集合与原集合一致。( )zABz BA I数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学膨胀：数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学膨胀：数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学膨胀的实质和作用：1

5、) 在特定的结构元素下，结构元素的原点定位在背景像素上，判断是否覆盖有目标点，来确定是否该点被膨胀为目标点2) 将目标区域的背景点合并到该目标物中，使目标物边界像外部扩张3) 可以将断裂开的目标物合并为一个整体4) 可以填补图像上物体中的细小空洞数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学腐蚀：记A被B腐蚀为AB。A被B腐蚀是所有结构元素的原点位置的集合，其中平移的B与A的背景并不叠加( )czABz BA I数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学腐蚀：数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学腐蚀：数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学腐

6、蚀：图像的膨胀运算实际上就是图像一系列平移的并；图像的腐蚀运算实际上就是图像一系列平移的交。充分反映出数学形态学存在着本质的并行运算功能。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学腐蚀的实质和作用：1) 在特定的结构元素下，结构元素的原点定位在待处理的目标像素上，通过判断是否覆盖，来确定该点是否被腐蚀掉2) 消除连通域的边界点，使边界点向内收缩3) 可以将粘连在一起的不同目标物分离4) 可以滤掉小的颗粒噪声数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学【性质1】交换律腐蚀运算不具备交换性【性质2】结合律表明一个较大结构元素的膨胀运算可以通过两个较小结构元素的级联运算来实现，

7、在实际应用中这将极大地增强算法的运算效率。ABBA()()ABCABC()()ABCA BC数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学【性质3】平移不变性意味着图像或结构元素的位置变化仅引起变换结果的位置变化，而结果集合的形态无任何改变。【性质4】单调性()zzzABABABABACBC()zzzABA BA BABA CB C数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学【性质5】递增性【性质6】对偶性表明对图像本身的变换与对图像背景的对偶变换是等价的。A BAAB( )cABAB数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学在膨胀和腐蚀两个基本运算的基础上，可以

8、构造出形态学运算簇，由这两个运算的复合及集合操作（并、交、补等）所构成的所有运算组成。其中最重要的两个复合运算是形态开和闭运算。一般情况下，腐蚀和膨胀是不可恢复的运算，先腐蚀再膨胀或者先膨胀再腐蚀通常是不能使目标复原的，而是产生一种新的形态变换。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学闭运算开运算开运算可抑制边界上的毛刺（凸起部分），截断细窄的连接带（瓶颈部分），分离接触区域，消除比结构元素小的孤点、碎线和斑块，并使图像的内边缘平滑。闭运算可填补边界上的凹陷部分，具有弥合裂缝、填充小洞和小孔等功能，并使图像的外边缘得到平滑。A BABBABA BBo数学形态学分析一 数学形态学基

9、本原理1.1 二值形态学开操作：边界是当B在A的边界内侧滚动时，B所能达到的A的边界的最远点。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学闭操作：边界是当B在A的边界外侧滚动时，B所能达到的A的边界的最远点。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学外轮廓变得光滑，断开狭窄的连接内轮廓变得光滑，填补狭窄的间断数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学【性质1】幂等性意味着进行一次开或闭变换后，已达到最终结果，再进行重复变换，不会获得新的信息。【性质2】递增性【性质3】平移不变性()A BBA B()ABBA

10、BoooABAA Bo()zzzABA BA Booo()zzzABA BA B数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.1 二值形态学【性质4】单调性【性质2】对偶性ABA CBCooABA CB C()ccABABo()ccA BABo数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学灰值（多值）形态学是二值形态学的推广。研究的主要对象是灰度信号。对灰度信号进行形态学处理，必须将函数转化为集合来描述，这种转换可以用本影变换和顶变换来实现。设信号f(x)为定义在DfRn上的函数，U(f)表示函数f(x)的本影变换，其定义为：T(A)表示集合A的顶变换，其定义为：( )( , )|( ),f

11、U fx yyf x xD( )( , )|,( , )T Ax yyzx zA数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学本影是低于函数f(x)表面的所有点的集合顶变换算子作用于集合，可将集合的顶部剥出。本影变换和顶变换是一对互逆变换，即 ( )( )T U fxf x ( )( )T U fxf x( )U f数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学设f(x)和g(x)为分别定义在DfRn和DgRn上的函数， f(x)为输入函数， g(x)为结构函数，则定义：腐蚀即通过先取信号和结构元素的本影，对本影做二值腐蚀，然后取结果的表面。膨胀即通过先取信号和结构元素的本影，

12、对本影做二值膨胀，然后取结果的表面。 ( ) ( )( )inf ()g( )gg Df g xT U fU gf xyy,( )( )( )inf ()g( )fgx Dy Dfg xT U fU gf xyy数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学示例1：函数f = 1 3 2 7 4 5 3 6，结构元素为g为直线型中心对称， g = 0 0 0，分别计算 f 关于 g 的膨胀和腐蚀。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学示例1：函数f = 1 3 2 7 4 5 3 6，结构元素为g为直线型中心对称， g = 0 0 0，分别计算f关于g的膨胀和腐蚀。f

13、g=3 3 7 7 7 5 6 6f g=1 1 2 2 4 3 3 3数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学【性质1】对偶性【性质2】交换性【性质3】结合性()f gfg () fgfg fggff gg f1212()fggfgg1212() fggf gg数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学闭运算开运算对于离散信号：n=0,1,N-1;m=0,1,m-1( ) ( )f g xfg g x( )( )fg xf gg xo( )( )min ()g( )f g nf nmm()( )max ()g( )fg nf nmm数学形态学分析一 数学形态学基本原

14、理1.2 灰值形态学示例2：函数f = 1 3 2 7 4 5 3 6，结构元素为g为直线型中心对称， g = 0 0 0，分别计算 f 关于 g 的开运算和闭运算。数学形态学分析一 数学形态学基本原理1.2 灰值形态学示例2：函数f = 1 3 2 7 4 5 3 6，结构元素为g为直线型中心对称， g = 0 0 0，分别计算 f 关于 g 的开运算和闭运算。f o g = 1 2 2 4 4 4 3 3f g = 3 3 3 7 5 5 5 6数学形态学分析二 数学形态学滤波器滤波一般可分为线性滤波和非线性滤波。线性滤波对加性高斯噪声的滤除效果较佳，但是线性滤波是基于频率分割的原理，在平

15、滑噪声的同时也会平滑和模糊信号中的一些非线性非平稳特征，如信号中的脉冲信息。非线性滤波器是对输入信号的一种非线性映射，可把某一特定的噪声近似地映射为零而保留信号的主要特征，克服了线性滤波器的不足。形态滤波器是一种新型的非线性滤波方法，在进行信号处理时基于信号的几何结构特性，利用预先定义的结构元素（相当于滤波窗）对信号进行匹配或局部修正，以达到有效提取信号的边缘轮廓或保持信号主要形态特征的目的。优点：单调性、幂等性、简便。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器利用数学形态学的4种基本算子可以构成最基本的形态滤波器，即形态腐蚀滤波器、形态膨胀滤波器、形态开滤波器和形态闭滤波器。形

16、态滤波的效果取决于所采用的形态运算和所采用的结构元素。一般只有与结构元素的尺寸和形状相匹配的基元才能被保留。结构元素的选择灵活多变：类型、长度、高度。结构元素常见的有：直线、正三角形、正方形、正弦等。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器结构元素的选取在灰度形态信号处理中，由于无法预见待处理函数（或信号）的灰度值，在选取或构造结构元素的时候，往往很难确定结构元素的灰度值（高度）。灰度值取得过小，膨胀和腐蚀运算中作用不明显；取值过大，膨胀和腐蚀结果更大程度地由结构元素灰度值决定，无法达到特征提取的处理效果。常见的方法就是将结构元素的灰度值取为零，即扁平结构元素。由于避免了对待处

17、理信号灰度值的修改，这种扁平结构元素比非零结构元素更能直观准确地提取待处理信号的形状特征，这也符合形态学方法最朴素的出发点。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012时间/sec幅值/v处理前处理后00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012时间/sec幅值/v处理前处理后腐蚀膨胀数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器特征：腐蚀和膨胀滤波等价于离散函数在滑动滤波窗（相当于结构元素）内的最小值和最大值滤波。腐蚀运算抑制了信号的正脉冲，保留了信号中的负脉冲；膨胀运算抑

18、制了信号的负脉冲，保留了信号中的正脉冲。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器开运算闭运算00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012时间/sec幅值/v处理前处理后00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012时间/sec幅值/v处理前处理后数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.1 基本形态滤波器特征：形态开滤波相当于结构元素从信号下方向上平移得到的信号轮廓形态闭滤波相当于结构元素从信号上方向下平移得到的信号轮廓形态开运算可以压制信号波形中的尖峰；形态闭运算可以填充信号波形中的低谷。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.

19、2 形态梯度滤波器虽然基本形态滤波器都可以提取信号的脉冲信息，但只能分别提取信号中的负脉冲或者正脉冲信息，在实际应用中，有时很难得到实际信号正、负冲击的先验知识，而且更普遍的情况时信号同时具有正、负冲击。这时，利用腐蚀、膨胀、形态开、形态闭运算的组合来构建形态梯度算子，以同时提取信号中的正、负脉冲。形态膨胀-腐蚀梯度MGDE形态膨胀-腐蚀梯度MGCO( )( )( ) ( )DEMGfnfg nfg n( )( )( )( )COMGfnf g nfg no数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器在图像处理中，形态梯度算子常用来在图像中进行边沿检测。如果某一点处的梯度值大，则表

20、示在该点处图像的明暗变化迅速，从而可能有边沿通过。在一维信号处理中，形态梯度算子可用来检测加于稳态信号上的暂态信息，他同时考虑了信号的正、负脉冲，是凸显脉冲信息的有力工具，因此，可以有效地检测出脉冲的位置，较好地保留脉冲的形状。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器形态滤波效果取决于结构元素的形状和尺度。与多尺度小波分析的原理一样，采用多尺度的结构元素可以更好的刻画和描述信号，小尺度的结构元素可以很好地表示信号的细节信息，但受噪声影响较大；大尺度的结构元素则可以更好地表示信号的近似信息，并抑制噪声，但模糊了细节信号。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器定义

21、sg为尺度s下的结构元素，且sg由g自身膨胀s-1次所得1.ssgggg1444442444443次()sfgfsg()sfgfsg()()sf gfsgsg()()sfgfsgsgo( )DEsMGffsgfsg( )COsMGff sgfsgo数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器02040608010012014016018020000.010.020.030.040.050.060.070.080.09结构元素尺度特征频率强度系数形态膨胀形态腐蚀形态开形态闭膨胀-腐蚀梯度开-闭梯度数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器00.10.20.30.40.5

22、0.60.70.80.91-505时间/sec幅值/V00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.51频率/Hz幅值/V05010015020025030035040045050000.250.5频率/Hz幅值/V25101215(a)(b)(c)图图1 (a) 时域波形；时域波形；(b) FFT频谱图；频谱图；(c) Hilbert频率频率图图数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图2 (a) 形态腐蚀结果；形态腐蚀结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-505时间/sec幅值/v0501001502002

23、5030035040045050000.51频率/Hz幅值/v12(a)(b)数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图3 (a) 形态膨胀结果；形态膨胀结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-505时间/sec幅值/V05010015020025030035040045050000.51频率/Hz幅值/V12(a)(b)数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图4 (a) 形态开结果；形态开结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-505时间/sec幅值/V05010

24、015020025030035040045050000.10.20.30.4频率/Hz幅值/V12(a)(b)10数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图5 (a) 形态闭结果；形态闭结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-505时间/sec幅值/V05010015020025030035040045050000.10.20.30.4频率/Hz幅值/V12(a)(b)1015数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图6 (a) 形态膨胀形态膨胀-腐蚀结果；腐蚀结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.4

25、0.50.60.70.80.91-50510时间/sec幅值/V05010015020025030035040045050000.511.52频率/Hz幅值/V12(a)(b)数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器图图7 (a) 形态开形态开-闭结果；闭结果；(b) 频谱图频谱图00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-10-505时间/sec幅值/V05010015020025030035040045050000.20.40.60.8频率/Hz幅值/V12(a)(b)数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器分析：从图1可看出，信号包含15H

26、z和25Hz的低频分量，以及12Hz的冲击成分。采用FFT可提取出低频分量，Hilbert包络谱可提取冲击成分频率，但是受低频分量差频成分干扰。从图2-图5可看出，形态膨胀、腐蚀和开、闭运算的频谱结果比较相似，四种方法均可以提取出脉冲信号的周期频率12Hz，但均收到低频成分干扰，且形态开、闭运算受到的干扰强于膨胀、腐蚀运算。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.2 形态梯度滤波器分析：从图6-图7可看出，采用形态开-闭梯度和形态膨胀-腐蚀梯度算子几乎不受低频分量的干扰，这对在复杂背景下提取脉冲信号的周期性特征具有重要意义，形态梯度同时计算了信号中的正、负脉冲信息，能在强噪声和强干扰条件下更加有

27、效地提取信号中的冲击信号。形态膨胀-腐蚀梯度算子明显优于形态开-闭算子，与之前的曲线描述一致，同时，形态膨胀-腐蚀梯度的计算量约为形态开-闭梯度的计算量的一半，因为一次形态开（闭）运算需要同时计算形态膨胀和形态腐蚀各一次。数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.3 自适应多尺度形态梯度小尺度的结构元素可以很好地表示信号的细节信息，但受噪声影响较大；大尺度的结构元素则可以更好地表示信号的近似信息，并抑制噪声，但模糊了细节信号。怎样处理不同尺度的形态滤波结果？多尺度加权：结合小尺度信号保留细节和大尺度信号抑制噪声的优点，将信号在不同尺度进行形态变换，然后针对具体的信号进行加权和运算。wk为权重，k为

28、尺度，fgk为在尺度k下的形态变换1( )( )Kkkkfg nw fgn数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.3 自适应多尺度形态梯度采样频率越高，脉冲信号的周期内的采样点数越大，最优结构元素的尺度也会发生变化。（恒定在0.20.3之间）采样采样频率频率脉冲周期内脉冲周期内采样点数采样点数膨胀膨胀腐蚀腐蚀开开闭闭MGDEMGCOAMMG102432775555112048641315111313112540961282727292727294581922565757555757578510240320717575757579105数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中

29、的应用1 齿轮箱故障信号分析齿轮箱的外观和其内部结构数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中的应用1 齿轮箱故障信号分析共设置了5种状态：正常，输入轴齿轮齿根裂纹，中间轴轴承外圈损伤、内圈损伤、滚动体损伤在输入轴齿轮齿根处加工一条宽2.5mm，深1mm的小槽来模拟齿轮齿根裂纹故障；在滚动轴承外圈和内圈加工宽0.1mmm、深1mm的小槽模拟轴承外圈和内圈局部损伤故障；在滚动轴承某一滚动体上腐蚀长4mm、宽1mm、深0.1mm的区域，模拟滚动轴承滚动体局部剥落故障。转速800r/min,采样频率15kHz，采样点数5000数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信

30、号处理中的应用1 齿轮箱故障信号分析fcrack/Hz13.3froller/Hz63.53finner/Hz155.85fouter/Hz96.15故障特征频率数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中的应用齿根裂纹故障(a) 时域信号；(b) 频谱数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中的应用齿根裂纹故障(a) 时域信号；(b) 频谱看不到齿根裂纹故障的特征频率数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中的应用齿根裂纹故障(a) 包络信号；(b) 频谱齿根裂纹故障特征频率的一倍频和二、三倍频较为清晰，但包络信号受噪声污染比较明显数学形态学分析二 数学形态学滤波器2.4 在机械故障信号处理中的应用齿根裂纹故障(a) 形态闭结果；(b) 频谱有效地抑制齿轮故障信号中的噪声并增强了冲击特征，在频谱上齿轮故障频率更加明显，高