2020届浙江省“山水联盟”高三下学期返校考试数学试题(解析版)

1、2020届浙江省“山水联盟”高三下学期返校考试数学试题一、单选题11.已知集合A x Z x2 2x 3 0 , B y 22y1 ，则AI B中的兀素个2数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】D【解析】求出集合 A,B,A B即得答案.【详解】解不等式 x2 2x 3 0,x Z,可得 A 1,0,1,2,3.解不等式22y 1 -,可得B 0,.2A B 0,1,2,3,含有4个元素.故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题2.双曲线C的方程为2x2 y2 1 ,则（）A.实轴长为2,焦点坐标（0,J3）,（0, J3） c.实轴长为.2 ,焦点坐标（、.3,0）

2、,（ -、.3,0）B.实轴长为2,焦点坐标0,D.实轴长为2 ,焦点坐标【解析】把双曲线 C的方程化为标准式即得2x 21双曲线C的方程化为标准式：工 y 12,21 C焦点在x轴上，a b2 1223c 2,a j,c -6一6八6八实轴长为J2,焦点坐标 ,0 ,0 .故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题3.已知实数2x yx, y满足x yx 2y2x y ()A.最小值为0,不存在最大值B.最小值为4,不存在最大值C.最大值为0,不存在最小值D.最大值为4,不存在最小值【解析】作出可行域，由 z 2x y得y2x z,平移直线y 2x z,数形结合可求.作出可行域如

3、图所示由z 2x y得y2x z.平移直线y 2xz,当直线过可行域内的点 A时，z最大，z有最小值，z不存在最大值.解方程组2x12, A1，2.zmin0 ,没有最大值.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.4.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A. 16B. 18C. 12D. 14题目中的三视图，是由直三棱柱【解析】画出直观图，即可求直三棱柱被一个平面截去一部分后，剩下部分的体积ABC EFG截去三棱锥 A EFG所得，如

4、图所示由三视图可得，底面是两直角边均为 3的等腰直角三角形，CAB 90°,三棱柱的高为4,所以剩下部分的体积11 1V V 三棱柱 ABC EFG V 三棱锥 A EFG 334 3 3 4 12. 23 2故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题 5.若 x 0, ，则“xsinx 1" 是“x xcos2x 2” 的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件xsin x由 x xcos2x 2得至 1xsin2x1能得到xsin2x 1,反之不成立,Q x x cos2x x 1cos2x22xsin

5、 xx 0,得到0 sinx 1 .则由 2即得答案不等式xxcos2x2可化为2xsin x1.Q x 0,2时，0sinx 1 ,.2xsin xxsin x.a -xsinx1 "，则"xsin2 x« _ _ _xsin x1 ”是“ x xcos2x 2 ”的充分条件.2xsin x1,Q 0 sin x/1,sin x 1, 1 ,此时不能推出sin xxsin x 1,« _ _ _xsin xxcos2x2”的必要条件.所以 “ xsinx 1” 是 “ xxcos2x2”的充分不必要条件.故选：A.本题考查充分必要条件，属于基础题6.x

6、sin x cosx函数f (x)的图象大致是(A.II【答案】BB.【解析】判断f(x)是奇函数，结合特殊值，排除选项即得.【详解】函数f (x)的定义域为 x x 0 .x sin x cos x xsin x cosx 工Q f( x) 3 3 f xxx函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称.排除A,C .sin cos 13-3 ,sin - cos/2224 f又 f (2) 3 1 , f2f (一) f ,排除 D . 2故选：B.【点睛】本题考查利用函数的性质识别图象，属于基础题X的分布列如下表所示,1已知E(X) 2,则当b在0-内增大时，D(X)的变化情况()2A.先增大

7、再减小C.增大【答案】D【解析】由分布列的性质可得a b【详解】由分布列的性质可得 a b c 1.1Q E(X) 2,0 b 2,22D(X) 1 2 a 2 2 bB.先减小再增大D.减小c 1 ,再由方差的计算公式即得答案23 2 c a c 1 b.,1当b在0,-内增大时，D(X)减小.2故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和方差，属于基础题8.如图正四棱锥 P ABCD, E为线段BC上的一个动点，记二面角P CD B为PE与平面ABCD所成的角为，PE与CD所成的角为 ，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，比较各角的正切值的大小，即得答案 .【

8、详解】以正方形ABCD的中心O为原点，分别以平行于 AB,AD所在直线为x,y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示取CD中点F ,连接PF .则 PFO.连接OE ,则 PEO设 P 0,0,h ,AB2a,E a, x,0 , ax a,则 C a,a,0 , D a,a,0 .则tanh,tan ahuuirOEuuu 又PEa,x, huur,CD2a,0,0uuu uuurcos cos PE,CDuuir uuur2PEgCD2aauur uutf °°° j °°°PE CD4ax2h2 2a 4ax2h-

9、sin*_, tan 3,a2 x2 h2aQa 0,h 0, a x a,a a x , h x h ，atan tan由题意知，都是锐角, 故选：C.【点睛】本题考查空间角，属于中档题9.已知a,b R ,函数f(x)(x a)e ax, x 0,若函数y f (x) ax b恰有x,x 0A. a 1,b 0B. a 1,b 0C. a 1,b 0D. a 1,b 03个零点，则()【答案】B【解析】令g(x)f(x) ax,则函数yf (x) ax b恰有3个零点等价于方程g(x) b有3个实数根.对选项逐个分析，数形结合可得答案【详解】(x a)e x 0令g(x) f (x) ax

10、 () ,，则条件等价为方程 g(x) b有3个实数根.(1 a)x, x 0当 x 0 时，g (x) ex(x a 1).对 A选项分析：当 a 1, b 0 时，g(x)在(，(a 1), ( (a 1),0),(0,) , g(x)图象如图所示：此时方程g(x) b最多只有1个实数根，所以 A选项错误.对 B选项分析：当 a 1,b 。时，g(x)在(,(a 1),( (a 1),0), (0,),g(x)图象如图所示:t故方程g(x) b可能会出现3个实数根，所以 B选项正确.对C选项分析：当a 1, b 0时，g(x)在(0,) , g(x)图象如图所示:此时方程g(x) b最多只

11、有2个实数根，所以 C选项错误.对D选项分析：当a 1, b 0时，g(x)在(0,), g(x)图象如图所示:此时方程g(x) b最多只有2个实数根，所以 D选项错误.故选：B.【点睛】本题考查函数与方程，考查导数在研究函数中的应用，属于较难的题目10 .已知an为等差数列，且lna2 2a1 a3,则()A.a1C. a1a2且 a3a4a2 且 a3a4【解析】设公差为d ,由In a2根，等价于函数 yB.a a?且 a3a4D. a1a2 且 a3a42a1 a3 3a2In x的图象与直线y1y In x相切时，可得a2 -,d 13y 3x d有公共点时,1 In3设公差为d ,

12、由In a22a1方程In x 3x d在0,d ,得方程In x 3x d在0,3x d有公共点.当直线y 3x d与In 3, ai0,可得a2 ；当函数y 1nx的图象与直线an为递增等差数列，可得a3,得 a2 0 ,且 In a2 2a1a33a2有根，等价于函数y In x的图象与直线a3a4 .3x d有公共点.当直线y 3x d与In x相切时，设切点为xo,In x .由y In x得1 3 x3, x0xo1 .-,In xo 3In13In 3即切点为In 3代入直线yIn 3d,In 3.此时a2 3,In 3 ,aia2 .当直线y3xd向右平移与函数In x的图象相

13、交时,In3 .函数yIn x的图象与直线y3xd有公共点时，dIn30.an为递增等差数列,a4a3a2 0,a3a4 .故选：C.【点睛】 本题考查数列的单调性，考查等价转化的数学思想，属于较难的题目二、双空题31 2i11 .设复数z （其中i为虚数单位），则复数z的虚部是, |z|为55【解析】根据复数的除法法则，把复数化成z a bi a,b R的形式，可得复数z的虚部，可求 z【详解】3z 1 2i3(1 2i)(1 2i)(12i)一 36453.5| z| .,5555故答案为：6; 3-5.55本题考查复数的除法法则和求模公式，属于基础题8 0 ,且 li PI2,则12.设

14、直线I, I2方程分别为li：x 2y 3 0, 12：4x ay a . li, I2两条平行线间的距离为.【答案】8-15【解析】由题意可知，直线 li的斜率存在.li P 12 ,则两直线的斜率相等，可求 a ,根据平行线间的距离公式，可求li, l2的距离.由题意直线li的斜率存在-i 4QliPl2, 2 a8.直线l2的方程为4x8y2y + 2= 0,直线li2的距离为i22 2本题考查直线的位置关系和平行线间的距离公式，属于基础题13.若二项式3x1 (2x 1)3的展开式中各项系数之和为108,则n有理项的个数为【解析】令x【详解】2展开，观察各项的特点，可得有理项的个数n(

15、2x2(2x1)3中令x1可得2n3一一33 108,可得1)32x322x 32(2x 1)3,x322x豆x 2中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个.故答案为：2; 4.本题考查二项式定理，属于基础题14 .在 VABC 中，ACB 90BCJ2ac 2，点M在BC上，且sin BAM13'则sinBMA,3【解析】根据sinAMBsin(BAM ABM ),展开可求值；根据正弦定理ABsin AMBAM.如图所示RtVABC 中,ACBC2, AB 册,sin ABC-33cosABC 32.2又 sin BAM1-, cos BAM 3 sin AMB sin( BAM

16、ABM) 1 步4二333333由正弦定理 一AM 一AB sin ABM sin AMB6 7. AMAB sin ABM 633sin AMB二6一'3故答案为:【点睛】 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题 三、填空题2215.设椭圆M的标准方程为三、I（a b 0）,若斜率为1的直线与椭圆M相 a b切同时亦与圆C:x22因为相切0, m a b ,由直线y x m与圆C相切，可得：| by b, m （1 正）b,或（1 V2）b （舍去）.则有（1 份2b2 a2 b2，因为 b2 a2 c2, （y b）2 b2 （ b为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为 e

17、,则 e2 .答案312【解析】设切线方程为y x m,代入椭圆方程，由直线与椭圆相切可得 m2 a2 b2.直线y x m与圆C相切，可得m （1 J2）b,又b2 a2 c2,可求e2.【详解】设切线方程为y x m,代入椭圆方程可得：222_2222 2b a x 2a mx am a b 0.所以可得(2.2 1)a2 (2 . 2 2)c2, e2 3-2. 2故答案为：32 .2【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的几何性质，属于基础题、一1._ 一，一、3 2 一16.设a ，, b R,函数f(x) ax x b在1,1上的最大值是一，则 33a2 b2的值是.-

18、1【答案】1932r 、2【解析】由函数f(x) ax x b在1,1上的最大值是一，得f 二，33，八2f( 1)一.再根据绝对值三角不等式求出 31a 一，从而求出b 0,即可求出a b . 3函数f (x)32.一ax3 x b在1,1上的最大值是一等价于f (x)3一在1,1上恒成 3.2.2所以f(1)3，f(1)不即3 -3 ,两式相加结合绝对值不等式得:一341|2a 2| | a 1 b| |a 1 b| ：,解得；3351a -,又因为a 、，所以a3313'一 1222.21再把a二代回到f(1)二，f ( 1)二中，解得b 0,所以a b 二.3339,1故答案为

19、：1.9【点睛】本题考查绝对值三角不等式，属于较难的题目17.平面中存在三个向量rr, . rra, b, c,右1a| 4, |b| 4,且ab一 r一0，且c满足rc 2a c 15 0,则 |c141a b c | 的最小值【答案】257【解析】由agr 0 ,得a与b之间的夹角为90°.由C2 2a gr 15 0,得r3 rr5 rr3 r r5 rc3agC5a0,即c3a与c3a夹角为90。.数形结合得c点在以点4444A 4,0为圆心，1为半径的圆上运动.再根据阿波罗尼斯圆的性质求出r bra4 rcC 的最小值.-r Q|a|r4，|b|rr , r 、一 一 一

20、.且a 0,则a与bN间的夹角为90 .将c2J r2agp152 J r 15 1rl2 八0可以改写成c2agc |a |0,一 r因此c5 r .一 a夹角为90 .4因此综上条件我们可以做出如下图象uuu r uur r uur r OA a,OB b,OC c期 r 3r 史U r 5r CD c -a, CE c - a44C点在以A点为圆心，1为半径的圆上动.根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由|CO| 一 15 c4 G 一 ,0 所构成的圆|CG| 4unr uujr（以。为原点，分别以 OA,OB所在直线为x, y轴，建立平面直角坐标系，则15,0 ,H 44,4 )r

21、urir rrruurbOH， abcCH，r rrr 1r rrr|c141a b c|4|c| | a b c|41一4 |OC| |HC| 4(|CG| |CH |) 41 HG |、，257 .4故答案为： 257.【点睛】本题考查与向量有关的最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于难题四、解答题18.设函数 f(x) sin2 x 12亚cos 2x 2(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若x 。,一 ,求函数f(x)的值域.2【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是512k , k12(k Z); (2)1 1.32,2【解析】(1)根据倍角公式、两角和与差的

22、余弦公式和辅助角公式，把f (x)化为.1r一，一、f(x) - Sin 2x 一，即求最小正周期及单调递减区间；23(2)由 xf (x)的值域.0,求出sin 2x 的范围，即求函数23(1)f(x)2 sin123cos22x 一 31 cos 2x6,3cos 2x -23旦os2x 21 .一 sin 22x置 1cos2x2 2.3 sin 2x2一 sin 2x 23,3-1 .八cos2x -sin2x22由一2k 2x - - 2k , k23 2Z解得x k ,k Z 12. f(x)的单调递减区间是512,12k (kZ).(2) . x 0,22x-1 sin 2x 一

23、31. f(x)的值域是1 1；32,2本题考查倍角公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式和三角函数的性质,19.如图，在四棱锥P ABCD 中，ABCBCD 90 , BAD 60属于中档,AADP>AP 2CD 2, BP 3.(1)求证:等边三角形，ABAD BP ;(2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值.【答案】(1)详见解析;3(2)4【解析】(1)由题意可得VBAD是等边三角形.取AD中点F ,连PF ,AD 平面PFB ,即证AD BP ;(2)法一 作出直线BC与平面ADP所成的角，在直角三角形中求其正弦值C为坐标原点，以 CD、CB分别为y轴、z轴建立平面直角坐标

24、系，求平面BF ,可证.法二以ADP的r法向量n.设直线BC与平面ADP所成角为uur rBC nuuuT r|BC| |n|(1)由题意,ADP是等边三角形， ABAP 2CD2,AD AB2 , Q BAD 60 , VBAD是等边三角形.取AD中点F则 PF ADBF AD ,又 PF FB FAD 平面 PFB , BP 平面 PFB, AD BP .(2)法一：在直角梯形 ADCB中，BC J3.AD 平面PFB , AD 平面APD，平面 PFB 平面APD .作BG PF交PF为G ,则BG 平面APD , AD、BC交于H , BHG为直线BC 与平面ADP所成的角.由题意得P

25、F BF J3,又 BP 3,_3GFB 30 , BG -2. ABC BCD 90 , . .AB/CD, CD 1, AB 2,. C 为 BH 的中点，BH 2BC 2J3 ,BG 3 sin BHG 一.BH 4法二：. CB CD,以C为坐标原点，与平面CBD垂直的CQ及CD、CB分别为x轴、y轴和z轴建立平面直角坐标系,则 C(0,0,o), b(0,0,73),d(0,i,o),umuuinBA 2CD ，A(0,2, ,3)又 PA 2, PB 3, PD2, P3 9 _.3, ,2 4 4uuuCB_ uuur(0,0,，AD.一uuin(0, 1,呵,DP3 52,4,

26、 4r uuuv n AD 0r uuuvn DP 0 一 .，一 . r /、设平面ADP的法向量为n (x, y,z),取 n (2, 3, . 3).设直线BC与平面ADP所成角为 ，则sin【点睛】本题考查证明线线垂直和求线面角的方法，属于中档题20.已知等比数列an的公比q 1,且a2 a3项，数列bn满足：数列an bn的前n项和为(1)求数列an、bn的通项公式;(2)数列Cn满足：Ci3,ccbn ncn 1cn, ncnn(n cn 1(1)(1)求出n- 1an = 2,bn由题意列方程组求anbn ，即求 bn ；(2)法一由 Cn 1Cnbn, nCn加法可证明cn解析

27、(1)由题意4即一 4qq10 ，a1a3 2 q1时,2时,1时,anbn(nuur rbc nudT r|BC| |n|a4 14 ,n 1; (2)详见解析.a3 1是a2, a4的等差中a1,q,从而求出an.根据数列 an bn的前n项和为a2 a3 a42 a3 1a2解得q = 2或qan =2n-1abianbn2,n 2n (n2满足上式,1)21bnn14得 c21 c2 2(n 1) (n1- 2(n 1),累a4即可证明结论.法二 用数学归纳法证明.已知a?a4 101) 2n 1 (n 1) 2n 1 ,(2) cn icncn法1.2(n 1)(n 1)22cn2

28、cn1 c2 2(n1)(n 1)22cn2(n 1)2 c3L累加得当2 cn3222 3nn 2,c1c2Lcn1 n -22n(n22)2.先用数学归纳法证明当当n 1时，g 3,n假设右式,不等式成立.k时，不等式成立,k 11 时，ck 1 ck ,ck因为f(x)( k1,即ck 1）上单调递增,1I ,可得23一,不等式也成立.2由得证当n Nn(n2)本题考查数列的通项公式，考查与数列有关的不等式的证明，属于较难的题目21 .如图，已知抛物线的标准方程为y .利用基本不等式可求|AB| |CD|的最小值. 2Px（p 0）,其中O为坐标原点，抛物线的焦点坐标为F（1,0） ,

29、A为抛物线上任意一点（原点除外），直线AB过焦点F交抛物线于B点，直线AC过点M （3,0）交抛物线于C点，连结CF并延长交抛物线于 D点.（1）若弦AB的长度为8,求VOAB的面积;(2)求| AB| |CD |的最小值.一 256ty 1 （t为斜率的倒数），代VOAB的面积;【答案】（1） 2夜；（2）三 9【解析】（1）求出抛物线的方程.设直线AB的方程为x入抛物线的方程，韦达定理、弦长公式求出t,即可求出(2)设 A a2,2a12 一r _,则 B -2,，可得 |AB| 4 a a1 2 a a22.设直线AC的方程为my 3,代入抛物线方程，可求得1CD1 3（1）因为焦点坐标

30、为(1,0),所以 2P 4,所以抛物线的方程为4x.设直线AB的方程为ty 1（t为斜率的倒数）ty 12，得y24x4ty 40 ,则有 | AB | 71 t2yy24 1 t2所以t 1,一 ,一，1 ，VOAB的面积为一1 2% V22 1 y1y2 2 4y1y22,1 t22.2 .O到直线AB的距离为工 2.2).2(2)因为A在抛物线上，可以设标之积为定值为可得:设直线Jt2,所以VAOB的面积为22,2a ,根据第(1)问可知A,B两点的纵坐12， a,则有| AB |LkAB其中42a 2 a| AB| 4AC的方程为my3,ty 3y ,得4x4ty120,所以可知C两