成都四七九外地生自主招生考试数学复习案

第一讲因式分解与配方一、因式分解公式基本公式：；；二、常见因式分解模式；；三、方法要领1、观察各因式在“次数”、“系数”、“项数”上“诱惑”2、联想相关分解公式结构，合理换元、配方、整合因式、主元引导、巧妙转化；3、三次因式分解常结合观根法与特值尝试处理。经典范例问题1、因式分解原式=注：观根法因式分解。【变式】问题2、令，注：换元简化表示式。【变式】问题3、将因式分解。原式==注：选主元因式分解。【变式】将因式分解。原式==注：选主元因式分解。问题4、设为实数，则最小值是【变式】设x、y为实数。求证：。证：。【变式】问题5、若多项式含因式和，求全部根。【变式】设两个因式是x+1，x+2。求a、b。解：是根。【变式】设n为1~100间整数，能分解为两个一次式之积。这么n有___个。解：设 （p>0，q>0)∴∴p=1，2，3···,9。故n有9个值。【变式】为何值时，二次三项式是完全平方式；问题6、方程整数解有______对。解： 或∴，即有一对。若a>b，a、b为正整数，为整数，且，则=（）A B 或 C 1 D 1或7解： ∴。∵ a>b，且a、b为正整数。∴ 或7 ∴ 或1。故选（D）。设为正整数。是质数，则=_________。解：∴∴ n=3.问题7、中，，求证：。解：∵ ∴【变式】若△ABC三边满足，则△ABC是三角形。问题8、设。求。解：∴ ∴ 【变式】若，，求x+y。解：两式相加。； ∴ 。问题9、。则M一定是（）A 正数 B 负数 C 0 D 整数【变式】设为正整数。。求xy.。解：。 ∴x=1，2，···,10.经检验，x=6或8时，，∴ y=6或4。∴ xy=36或32。【变式】方程整数解有______对。解： 或∴，即有一对。问题9、设，则a、b大小关系（）Aa>b. Ba=b. Ca<b. D不定.解：设=m，=n，，同理，b=1，故选B。【变式】求值：解：设n为正整数，则令n=1，3，5，7，9，相乘得原式=221。【变式】设，求值。28代数式部分作业1、因式分解：_________，_________2、已知则______3、已知，，且，则值等于（）A）－5（B）5（C）－9（D）9解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C．4、一个二次三项式完全平方式是则这个二次三项式为_________5、设直角三角形三边长分别为若则值为___________6、实数x，y满足和则__________7、计算：____________8、计算___________9、设则值为_________10、已知a是方程一个正根，则代数式值为___________11、已知且则12、已知实数x，y满足，求x+y值.解答展开后配方,得，所以，故。13、若为实数，且则14、已知实数x,y满足15、正方体每一个面上都有一个自然数，已知相正确两个面上二数之和相等，若13,9,3对面数分别是a,b,c，则。9133913316、已知正数a,b,c，满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3，求(a+1)(b+1)(c+1)17、已知18、已知ab+bc+ca=1，将化成最简形式原式中分母原式19、设，求值。20、证实：第二讲 分式、根式掌握分式加减法技巧，根式变形相关技巧。分式基本处理策略问题1、已知=，求．或-1．设==k，则：x=k（y+z）①；y=k（x+z）②；z=k（x+y）③．①+②+③得：x+y+z=2k（x+y+z），∴（x+y+z）（2k-1）=0．当x+y+z=0时，==-1，当2k-1=0时，k=，即=．【变式】若，求x+y+z值．分析对于连等我们常设它们比值为k，或用其中一个表示数字母把其它数表示出来．设=k，则：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，∴x+y+z=0问题2、已知a+=1，b+=1，求c+值．由题意知a=1-=，∴=．∵=1-b，∴c==-．∴c+=-+=1．【变式】若a、b为正数，且ab=1，求值．由ab=1得，a=，故原式=+=+=1．问题3、已知，，则（）A.3 B8 C16 D20解：由，知∴ ∴选C。注：由已知结构求值式并合理通分。【变式】已知-=2，求值．-．由-=2，知y-x=2xy，故原式=-．问题4、若x取整数，使为整数x值有（）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个解：，∴ ，，，，即x为4个，选B。注：合理化简分式。问题5、若，，，求。解： ∴，故原式=。分式应用问题问题6、若a+b+c=0，且=0，求值．分析先代入使a+b+c=0成立a、b、c特殊值，如a=b=1，c=-2，可求得所求代数式值为0，给出求值方向．下面我们来说明所求代数式值为0．解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc，得：a2bc+ab2c+abc2=0由=0，两边同乘以abc，得：bc（b-c）+ac（c-a）+ab（a-b）=0，即a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=0．②①+②得：a2（bc+b-c）+b2（ac+c-a）+c2（ab+a-b）=0两边同除以a2b2c2=0∴原式值为0.问题7、已知三个正数a、b、c满足abc=1，求值．分析本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式分子、分母同乘以a，第三个分式分子、分母同乘以ab，达成通分目标．解：+=+==1．【变式】若a、b、c、d是四个正数，且abcd=1，求值．利用abcd=1把它们化为同分母：；；∴原式=1．问题8、例5.设a、b、c都不是零，且a+b+c=0，a、b、c为有理数，则().A正数 B负数 C零 D不确定解：a+b+c=0。同理，，，∴原式，选C。问题9、已知xyz=1，x+y+z=2，，求。解：，原式问题10、设。求解：

∴ 原式。问题11、若，则与A最靠近正整数是（）A.18 B.20 C.24 D.25解：∴ 选D。二次根式基本策略问题1、若，则_________。解：，知，y=2，∴问题2、设，a,b为有理数，求。解：，∴原式【变式】求和解：原式根式应用问题3、设，。求。解：xy=1，x+y=10。 问题4、化简：结果为（）

A无理数 B真分数 C奇数 D偶数解：所以选D【变式】已知，求x。解：显然x>0。分子有理化。······②·····①①+② 2∴ ∴问题5、已知。求。解：，，∴。【变式】已知。求值。解：∴ ，∴ 问题6、已知是整数，求满足条件正整数a和。解： 或 ∴或198∴ 1002+198=1200。【变式】求比大最小整数。解：设，，则，xy=1，。又0<y<1，，即是10582。问题7、设r≥4，a＝，b＝，c＝，则以下各式一定成立是＿＿。A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a解法1：用特值法，取r=4，则有a=，b＝，c＝∴c>b>a，选D解法2：a＝，b＝c＝解法3：∵r≥4∴＜1∴c＝∴a<b<c，选D第二讲 练习题1.若a+b+c=0，abc=8，则（）A正数 B负数 C零 D正数或负数（B）解：2.若值为整数全体正整数x和=_____________。22解： ∴ x+1=2，3，4，6，12 ∴x=1，2，3，5，11.3.若a+b+c=0，。那么（）A36 B16 C14 D3（A）解：设，b+2=n，c+3=p。则m+n+p=6。。原式4.若，且a+b+c=0，则（）A3 B2 C1 D0（A）解：，∵ a+b+c=0，∴ ，，∴ 原式=6－1－1－1=3。5.关于x方程根个数为（）A0 B1 C3 D4（B）解：，故，而，则，∴x=36.若，，则（）A2 B C D7.化简。解：∴原式8.若a，b为有理数，，则a+b=（）。A2 B4 C6 D8解：右=∴a=3，b=1 ∴a+b=4.9.设，，则a、b大小关系（）。Aa>b. Ba=b. Ca<b. D不定.解：设=m，=n，，同理，b=1，故选B。10.化简结果是（）．、；、；、；、．答案：解：，，，所以原式．11.已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5求①a∶b∶c②解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c）=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式得a=2k,b=k,c=3k∴①a∶b∶c=2∶1∶3②＝＝12.己知，求证：a2b2c2=1证实：由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴abbcca＝＝1即a2b2c2=113.化简解：用带余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－＝＋＝＋＝14.若实数x、y满足则x＋y＝＿＿。解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x解法2：易知化简得：15.已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析：本题没有显著特殊位置，不过定值通常是用三角形边长a,b,c来表示,为便于计算引入参数t,用计算法证实.证实：设MP为t,则NP=a－t.∵MN∥BC，∴，.即；∴=∵c是定线段，∴是定值.即有定值.16.求值：解：设n为正整数，则令n=1，3，5，7，9，相乘得原式=221。第三讲 方程掌握二次方程基础——判别式，根概念，韦达定理，求根公式，重点是特定问题研究技巧。问题1、已知关于x一元二次方程。(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等实数根；(2)若方程两根为x1、x2，且满足，求m值问题2、设、是两根，求。解：∵ ，∴ 注：用根定义“降次”。【变式】设=（A）A．—1 B．5 C．—1或5 D．2【再变】关于x方程根有（A）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个问题3、解方程解：方程两边同时乘以3，得：设原方程化为即而没有实数解。【变式】假如方程较大根为M，方程较小根为m，求M－m值。解：可分解成可分解成，问题4、已知方程两根也是方程根，其中均为整数，则=_____7_____【变式】已知：点在直线上，且，求值。解、【再变】已知且为正整数，求值。解：设所以，为方程两个根.解此方程，得若则是方程两个根，但其方程无正整数解，故取不成立。若则是方程两个根，解此方程得符合条件.所以所以问题5、设，且，，求。解：（*）∴a、b是两根。∴∴∴注：形如（*）两个同型式应用韦达定理。【变式】设，，且。求。解： ∴是两根。∴ ，∴问题6、设m、n是有理数。有一根是。求m+n。法1：，是两根。∴ m=4，。∴m+n=3.法2：∴ m+n=3.注：法1体会有理方程无理成对出现法2用根概念。【变式】k取什么整数值时，以下方程有两个整数解？①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=.由x1是整数，得k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12.由x2是整数，得k－1=±1,±2,±3,±6.它们公共解是：得k=0,2,－2,3,－5.②依照韦达定理∵x1,x2,k都是整数，∴k=±1，±2.（这只是整数解必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1,2,－2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2时适合.问题7、三边长a、b、c，满足，。求周长。解：b、c是（*），则a=6。（*）为∴b=c=4，∴周长=a+b+c=14。注：结构二次方程使用判别式。问题7、关于x方程，，有且仅有一个公共实根。求m及公共根。解：设公根。则①—② 若，代入原方程，知：（深入检验两方程有唯一公根）若，代入原方程无实根。注：“公共根”按概念结构方程组。问题8、设a、b、c满足（1）求a范围。（2）对满足方程组(*)任意a值，都有解：(1)∴∴b、c是∴解之得 (2)令则 ∵∴∴ 【变式】设a、b为正整数。，且 （1） （2）有一个公共根，求。解：（1）两根为，。（2）两根为，。∵，。若，则，∴或∴=20。若，同理可得=20。问题9、方程解是__________.解:填理由：原方程可化为整理有通分得即(ll-2x)解这个方程，得经检验是原方程解．【变式】若关于x方程只有一个解，试求k值与方程解，解:原方程化简得当初，原方程有惟一解当初，式故总有两个不一样实数根，按题设原方程只有一个解，所以必有一个根是原方程增根，从原方程知道增根只可能是0或1．显然，0不是根，故是方程根，代入得由韦达定理得原方程根为所以，当初，方程解为当方程解为问题10、已知是方程一个根，求a值以及方程另外根，解:依题意，有移项两边平方，解得经检验，是方程①根．把代入方程中，得当初，两边同除以／x一1，得两边平方，移项，两边再平方，得解得经检验，是方程③根．故或是方程根．综上，方程另一根为2．【变式】设实数x，y，z满足则值分别为_____________．解:填9，8,7．理由：将方程移项、配方，得由非负数性质，知解得问题11、当为整数时，关于方程是否有有理根？假如有，求出值；假如没有，请说明理由.解：因为为整数，帮由而为2倍数，故必可表示为形式，即为奇数.但奇数平方应为形式。∴不是完全平方式.∴原方程无有理根.【变式】设方程两个根分别是一个等腰三角形腰长和底边长，假如符合要求三角形只有一个，求取值范围。解：设方程有两个正根，则解得若，则符合条件三角形只有一个（等边三角形），则.若此时分两种情况：（1）这时认为底，为腰可作等腰三角形，认为底，为腰也可作等腰三角形。即符合条件三角形有两个，不符合题意，舍去。（2）这时只能认为底，为腰等腰三角形，符合题意，所以由算术平方根性质，得又总而言之，取值范围是问题11、解方程解，两边同除以原方程变成：设方程变为当初，当初，∴原方程根是，【变式】解方程.解，方程两边同除以得；则方程变为；，当当∴原方程解为强化训练题1．若，是方程两个不等实数根，则是()，A正数零C．负数D．小于零数2．若且有及则值是()．3．若方程两个根为它也是方程两个根，则值为__________．4．设x，y，为实数，且满足则值为_______5．已知实数满足方程组则.13.由得，把代入，可得.所以，是一元二次方程两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和，所以.6．若关于x方程全部根都是比1小正实数，则实数m取值范围是____.7．设m是整数，且方程两根都大于而小于则_____________.8．设等腰三等形一腰与底边长分别是方程两根，当这么三角形只有一个时，求a取值范围．9．方程解为___________.10．方程解为______________.11．方程解是_______________．12．解方程13．若关于方程有解，则实数m取值范围是_______________.14．方程全部根和为______________．15．绝对值方程有____个不一样实数根．16、已知三个实数满足方程组，试求方程根。17、设，，为互不相等实数，且满足关系式①，②，求取值范围．解法1：由①－2×②得，所以．当初，．又当＝时，由①，②得，③，④将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得，或．所以，取值范围为且，．……………15分解法2：因为，，所以＝＝，所以．又，所以，为一元二次方程⑤两个不相等实数根，故，所以．当初，．另外，当＝时，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，取值范围为且，．18、已知关于二次方程，（为自然数，且）当初，此方程两根记作，当初，此方程两根记作，，当初，此方程两根记作，求值19、解方程解：由①得代入方程②得解得解得经检验，都是原方程根。20、要使方程组有正整数解，则值为多少？解：由方程得，将其代入方程中，得整理成关于一元二次方程为实数，即为正整数，时，（舍去），这时时，（舍去），这时值为时，方程有正整数解.第四讲函数掌握二次函数三种解析式（通常式，顶点式，交互式）图象及性质应用。（一）图象与解析式问题1、做以下函数图象。 （2） （3）解：（1），（2）（3）注：含绝对值函数通常化为分段函数。【变式】二次函数=（D）A． B．—1 C． D．1【再变】当初，函数最大值减去最小值差是；16（二）二次不等式求解问题2、求以下不等式解（2）注：求根、画图时解不等式之关键。【变式】已知函数和为常数）则不论为何值，这两个函数图像（B）A．只有一个交点B．只有二个交点C．只有三个交点D．只有四个交点问题3、二次函数交轴于交轴于C点，，（1）求m；（2）在x轴下方是否存在抛物线上点P。使ΔABP面积等于5？若存在，则求出P点坐标；若不存在，说明理由。解(1)由y=0知∴ ∴ 又x1x1<0∴m>0由AB2=12CO+1 得9m2+16m=24m(2)由S=5知y=—2 ∴∴ 【变式】如图设（a<0）图象经点A（0，2），与x轴交于B，C。且BC=5，AB ⊥AC。求二次函数解析式。解：由，∴，∴B（﹣1，0），C（4，0）。设，A点代入得，∴

注：将几何条件合理转化时解题关键。二次函数三种表示式合理选择也是一项基本功。问题4、二次函数图象顶点坐标为，且在x轴上截得弦长为6。（1）求解析式（2）在x轴上方抛物线上是否存在点Q，使△QAB∽△ABC，若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由。解：（1）设二次函数，由y=0，知，|AB|=6，知。（2）△ACB是等腰三角形，CM=，MB=3，∴，由△ABC∽△AQB而知，。设Q（x，y），∵B（7，0）∴tan60°又，解得，另外Q关于x=4对称点也满足。【变式】已知点M，N坐标分别为(0，1)，(0，-1)，点P是抛物线上一个动点。(1)判断以点P为圆心，PM为半径圆与直线y=-1位置关系；(2)设直线PM与抛物线另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM区间根问题5、设关于x方程，两个不等实根满足，，求a范围。解：设，注：已知二次方程根范围，通常转化为二次函数图象及性质求解。问题6、关于x方程两根，且，。求m范围。解：设，则。【变式】已知A，B坐标分别为(1，0)，(2，0)，若二次函数y=x2+(a-3)x+3图象与线段AB恰有一个交点，则a取值范围是 问题7、设二次函数图象与轴交于不一样两点（1）证实：（2）若，求p范围解：(1)由，得∴(2)由 综合应用问题8、设m、n均为正整数，且m≠2，二次函数图象与x轴两个交点距离为d，且对一切实数t，都有，求m，n。解：y=0，∴，由得∴，∴或。例8、已知a<0，，，且。求最小值。解：设，由a<0，，，。抛物线图开口向下与x轴交于A（），B（）。∵，不妨设。∵对称轴，∴,∴∴，当，b=0，c=1成立。∴最小值为4。法2：设，则，∴∴，∴。问题9、当初，恒有。求m范围。解：设，对称轴，当初，，当初，，当初，，由，综上m<0。注：求二次函数区间最值注意分类讨论。问题10、如图，在直角坐标平面内，为坐标原点，点坐标为（1，0），点在轴上且在点右侧，，过点和作轴垂线，分别交二次函数图像于点和。直线交于，直线交轴于点，记点横坐标分别为，点纵坐标为。（1）请你验证以下两个命题成立：①；②数值相等关系：；（2）请你研究：假如将上述命题条件“点坐标为（1，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，其它条件不变，结论①是否成立？（3）假如将上述命题条件“点坐标为（1，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，又将条件“”改为“”，其它条件不变，那么和有怎样数值关系？解：（1）由已知条件可得点坐标为（2，0），点坐标为（1，1），点坐标为(2,4)。由点C坐标为(1，1)易得直线OC对应函数解析式为y＝x，所以点M坐标为(2，2)．所以，从而证得结论①成立，对结论②证实方法有以下两个：方法一：设直线CD函数解析式为y＝kx+b，则∴直线CD对应函数解析式为y＝3x-2；由上述可得，点H坐标为(0，-2)，yH＝-2，∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝-yH，即结论②成立；方法二：又依照题意，可证ΔOCH≌ΔMCD，得CH＝CM＝2．所以，YH＝-2，证得②成立．(2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C()、D(2t，4t2)，直线OC对应一次函数解析式为y＝tx，故M(2t，2t2)．∴。所以，结论①依然成立．(3)然后可求得直线CD对应一次函数解析式为∵问题11、已知二次函数，为非负整数，它图象与轴交于A、B，其中点A在点左边，点B在原点右边.（1）求这个二次函数解析式；（2）若一次函数图象经过点A与这个二次函数图象交于点C，且，求一次函数解析式.解：∵抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点分别在原点两边，∴关于x方程：有两个异号实数根。∴m=0或m=1把m=0,1分别代入m2+4m-3<0,知m=0符合题意，m=1不符合题意(舍去)。∴所求二次函数为（2）令y=0,解设点C坐标为∵抛物线y=-x2+2x+3开口向下，顶点P(1,4)，即抛物线上点纵坐标最大为4，∴|y|=5,y=-5,由-5=-x2+2x+3，解得x1=-2,x2=4,∴C(-2,-5)或C(4,-5)，∴所求一次函数为y=5x+5或y=-x-1【变式】过点A(2,0)、B(0,2)直线与顶点在原点、开口向上抛物线交于P、Q，若ΔOPQ面积为3，求抛物线表示式。解：设抛物线为直线为y=kx+b，由A(2,0)、B(0,2)在直线上得y=-x+2强化练习题：A组1、作出函数图像.2、方程有且仅有两个实根，求取值范围.3、若不等式解为求值.4、已知不等式解为解不等式：5、若对任意实数有不等式恒成立，求取值范围.6、不等式对一切实数恒成立，求实数取值范围.7、已知二次函数y=x2+2x-4，若-2≤x≤3，则y取值范围是 -5≤y≤118、二次函数满足且恒成立.求解析式.9、正方形边长为一质点由点出发，沿边到点，若由点到时，走了①求关于函数解析式；②求最大值，并指出当运动到何处时有最大值.10、已知二次函数（其中是正整数）图像经过点且与轴有两个不一样交点，则最大值为11、若函数，则当自变量取1,2,3,……，100这100个正整数时，函数值和是多少？解：当当x取1,99,100时，所求和B组1、函数y=1－图象是()yy01x2、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象如图所表示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。A、p>qB、p＝qC、p<qD、p、q大小关系不能确定3、设坐标平面内，A(0,4),B(—3,0)，平面内一直线L，A到L距离为3，B到L距离为2，这么直线L有（D）A．1条 B．2条 C．4条 D．3条4、假如两点：，那么。已知：，在内求一点，使最小，则点坐标是；5、设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)及x轴围成三角形面积为Sk，则S1+S2+S3……+值是 6、二次函数,则改变范围是（A）A．0<S<2 B．0<S<3 C．1<S<2 D．—1<S<17、Rt△ABC三个顶点，，均在抛物线上，而且斜边AB平行于x轴．若斜边上高为，则（）（A）（B）（C）（D）8、如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线解析式及其顶点坐标；ABCOxy（2）设直线交轴于点．在线段垂直平分线上是否存在点，使得点到直线距离等于点到原点距离？假如存在，求出点坐标；假如不存在，请说明理由；ABCOxy（3）过点作轴垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ABCOxyDFHPE解：（1）设抛物线解析式为，把代入得．ABCOxyDFHPE（2）假设满足条件点存在，依题意设，由求得直线解析式为它与轴夹角为，设中垂线交于，则．则，点到距离为．又．．平方并整理得：．存在满足条件点，坐标为．（3）由上求得．①若抛物线向上平移，可设解析式为．当初，．当初，．或．．②若抛物线向下移，可设解析式为．由，有．，．向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．9、已知抛物线与x轴交于点A(-3,0)，与y轴交于点E(0,-1).(1)求此二次函数解析式；(2)若点Q(m,n)在此抛物线上，且，求n取值范围；(3)设点B是此抛物线与x轴另一个交点，点P是抛物线上异于点B一个动点，连接BP交y轴于点N(点N在点E上方).若ΔAOE∽BON,求点P坐标.解：(1)由题意，抛物线经过点A(-3,0)和点E(0,-3)，则 则此二次函数解析式为(2)如图，-3≤m≤3时,(3)求出点B坐标为B(1,0),又E(0,-1),由ΔAOE∽BON,得，则得求出直线BN解析式为，解析式为，因为P为抛物线与直线交点，所以有：解得第五课代数习题课目标：再次复习代数问题——代数式，方程，不等式，函数。代数式问题1、计算：解：设则原式==问题2、已知是直角三角形角所正确边，。求：值。问题3、已知实数x，y满足，则x2+3x-3y-值为(D)A．- B． C．-1 D．1【变式】已知，则代数式值为(C)A． B． C． D．问题4、设整数部分为（C）A．180 B．181 C．182 D．183【变式】积值整数部分是（A）A．1B．2C问题5、令余数=（A）A．0 B．1 C．2 D．3【变式】一列数：．其中末位数字是3有（A）A．502个B．500个C．1004个D．256个方程与不等式问题6、设a、b、c互不相等，且满足，求a范围。问题7、求全部实根。问题8、已知为实数，且。试求最大值和最小值。解：由因为：为实数，所以即，故最大值是，最小值是。【变式】已知则值是（）.A.1 B. C. D.解：同理，可得又故选D.问题9、实数满足：，则=；函数问题10、二次函数满足，，对恒成立。（1）求。（2）求a、b、c。问题11、（b、c为常数），该函数图象与x轴交于,.（1）证：；（2）若比较与大小。问题12、关于x方程最少一个根大于2。求a范围。已知,求最小值解法一：令故此二次函数图象是如图所表示一条开口向下抛物线，且与x轴有两个不一样交点A(x1,0)、B(x2,0)因为又对称轴所以时等号成立.所以最小值是4解法二：由，即ac=b-1所以当初等号成立，所以最小值为4.8、已知实数a,b,c满足，若二次函数图象与x轴交点中有一个定点，那么这个定点人坐标是多少？解：与x轴交点纵坐标又a+b+c=0,∴x=1是方程根.故过定点(1,0).如右图，已知C、D是双曲线在第一象限分支上两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D坐标分别为连接OC、OD.(1)求证：(2)若求直线CD解析式；(3)在(2)条件下，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，给予证实；若不存在，说明理由.解：(1)过点C作轴于G，则(2)在由勾股定理得：过点D作轴于H，则DH=y2，OH=x2,x2>0,y2>0.在设过C(1,3)、D(3,1)两点直线CD解析式是y=kx+b.直线CD解析式y=-x+4.(3)假设双曲线上存在一点P，使得,这个点应是平分线与双曲线交点，证实以下：平分线上,强化训练题1、已知：，则值等于（B）A．B．0C．1D．22、设，，求z最大值。解：x、y为两根，3、解关于x方程。解：，原方程化为，∴，x=3.4、设。求最大值。解：又∴最大为15。已知b、c为整数，两根都大于且小于0。求b、c。解：6、一次函数（为正整数）图象与轴、轴交点是A、B，O为原点.设面积是，则等于多少？解：、为正整数.7、设满足：（1）（2）当初，恒成立。（3）当初，最大值为2。求a、b、c。解：由（1）（3），由（2）∴∴时，达成最小值。∴.∴b=0，a=2。8、设，方程两根，且当初，证：；设对称轴，证：。解：（1）设，当初，又， ，∴，∴。又=∵。为证。，∵为两根。∴∴，∵，∴。9、已知二次函数图象经过两点P，Q.（1）假如都是整数，且，求值.（2）设二次函数图象与轴交点为A、B，与轴交点为C.假如关于方程两个根都是整数，求△ABC面积.解：点P、Q在二次函数图象上，故，，解得，.（1）由知解得.又为整数，所以，，.(2)设是方程两个整数根，且.由根与系数关系可得，，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.所以，，，二次函数解析式为.易求得点A、B坐标为（1,0）和（2,0），点C坐标为（0,2），所以△ABC面积为.10、函数自变量取自然数，且对任意自然数和都有求值.解：令得由已知取自然数，令得…将代入得：第六讲三角形相同与全等目标：处理三角形、四边形为背景求值、证实问题。基础模型再现------相同图形不一样“造型”：一、三角形边长与角度基本计算问题问题1、如图，△ABC中，∠ABC=60°，P是△ABC内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA。PA=8，PC=6.求PB。解：△ABP与△BCP中，∠BAP=60°-∠ABP=∠PBC，又∠APB=∠CPB=120°，∴△ABP∽△BCP，∴，∴ BP=。注：寻相同得线段关系。问题2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AC⊥BD于P，且，则。解：由△ADB∽△BAC知，设AD=3x，则BC=4x，∴AB=，∴ 。问题3、如图，ABCD是正方形，E、F分别是AB、BC中点，连EC与BD交于G，EC与FD 交于H，求EG:GH:HC。解：过G作GM∥BC交FD于M，△EBG∽△GCD，知∴，∴ ，令GH=2x，HC=3x，则EG=GC=∴EG:GH:HC=5:4:6。注：重复使用相同寻找线段比。问题4、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若AC、BC上中线BE，AD垂直交于O，则c用a、b表示为________.解：设OE=x，则BO=2x，设OD=y，则AO=2y，则，∴，∴c=2ED=注：中线（重心）及Rt△是本题关键。问题5、DE是△ABC中位线，M是DE中点，CM延长线交AB于N，求。解：过E作ER∥AB交NC于R，则△DNM≌△MER，∴DN=RE=AN，∴，∴，∴，又，∴，∴。注：面积关系是解题关键。【变式】已知三边分别为,它们所正确角分别为.若，，则____6______问题6、如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AC=BC=AD．求证：BD=CD．证法一：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F．∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠FCD=90°―∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD―∠ACE=15° ∴△CED≌△CFD，∴CF=CE=AC=BC，∴CF=BF． ∴Rt△CDF≌Rt△BDF， ∴BD=CD．证法二：如图，作△AEB，使AEBC为正方形，连结ED． ∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°， ∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°，又AD=AC=AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴ED=AD=AC=EB， ∴∠DEB=90°―∠AED=30° ∴△ACD≌△EBD， ∴CD=BD．【变式】如图所表示，在△ABC中，点D是BC延长线上点，点F是AB延长线上点.平分线交BA延长线于点E，平分线交AC延长线于点G.若CE=BC=BG，求度数.解答设.因为，所以.故.由，得。由，可知又，所以。二、位置关系与数量关系证实问题问题1、设P是等边△ABC边BC上任一点，连AP、AP垂直平分线交AB、AC于M、N。求证：。证：∵MN为AP中垂线，∴∠MPN=∠MAN=60°，又∠BMP=120°－∠MPB，∠CPN=120°－∠MPB，∴△MBP∽△PCN，∴，∴。注：寻相同证百分比关系。问题2、△ABC和均为正三角形，BC与中点均为D，求证：。证：连结AD，，则AD⊥BC，，又，，∴，∴，∴∴。问题3、△ABC中，AD、CE是高，且交于点F，P、Q分别是BF、AC中点。求证：PQ垂直平分ED。证：Rt△AEC中，Q为中点，∴，同理，，∴EQ=DQ。同理：EP=PD，又PQ=PQ，∴△EPQ≌△DPQ，∴PQ垂直平分ED。注：转化是关键。问题4、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E、G分别为AD、AC边中点，DF⊥BE于F。证：FG=DG。证：∵，，∵△EDB∽△FED。∴，∴又∠AEF=90°+∠EBD∠FDC=90°+∠FDE=90°+∠EBD∴∠AEF=∠FDC ∴△AEF∽△CDF∴∠AFE=∠CFD ∴∠AFC=90°∴FG=，又DG=，∴FG=DG。三、综合能力提升型问题问题1、如图，在四边形中，，求四边形面积。【变式】如图，平行四边形ABCD中，E为AD中点，若，则图中阴影部分面积为(C)A． B． C． D．【再变】平行四边形ABCD中，M是BC中点，AM=9，BD=12，AD=10，则平行四边形ABCD面积是 72 。如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD面积为8，则BE=(C)A．2 B．3 C． D．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，BE=2，DE=8，∠ACE=α，则tanα=（C）A． B．C． D．2问题2、已知菱形边长为，,为上一动点，在上，满足条件，判断形状，并求面积最小值。解：如图，作在在分别过点B、E作CD垂线，同理可得又即当初，即点E为AD中点时，有最小值，最小值为问题3、如图，在中，，在延长线上，且，求长及面积。问题4、如图所表示，在ΔABC中，∠A=900，AD⊥BC于D．∠B平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF中点．(1)求证：AH⊥EF；(2)设ΔAHF、ΔBDE、ΔBAF周长为cl、c2、c3，试证实：，并指出等号成立时值．解：（1）∠BAC=900，AD⊥BC，∴∠AFB=900-∠ABF，∠AEF=∠BED=900-∠DEB又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，∵∠AFB=∠AEF，∴AE=AF，H为EF中点，∴AH⊥EF；（2）设∵∠AFH=∠BED，∴RtΔAHF∽RtΔBED∽RtΔBAF，∴而FE=BF-2HF=x-2k·AF=x-2k2x=(1-2k2)x，∴∴故当问题5、如图，ABCD是边长为2正方形，M、N分别在线段AB、CD上（M、N不在线段端点），将梯形BCNM沿直线MN翻折后，B点落在AD边上E点，设AE=x。（1）求AM（用x表示）；（2）若四边形MENB面积为3，求x。解：(1)ME=MB=2—AM 又RtΔAME中，ME2=AM2+AE2∴ ∴ (2)过N作NO⊥AB，显然ΔMON≌ΔEAAB∴∴由 【变式】如图，平行四边形ABCD，点E在AD上，以BE为折痕，将ΔABE翻折，点A恰好落在CD上F点，ΔFDE周长为8，ΔFCB周长为22，则FC长是 7 。【再变】如图，将△ABC沿着它中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120，∠A=26,则∠A′DB度数是A．120B．112C．110D．108提醒：分别延长BD，CE相交，则交点即为点A，由三角形中位线性质知DE∥BC，∴∠ADE=∠B=180°－∠C－∠A=180°－120°－26°=34°，又由轴对称性质知∠A′DE=∠ADE=34°，∴∠A′DB=180°－2×34°,∴∠A′DB=180°－2×34°=112°,故选B；强化训练1、已知三角形三个内角度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角为（A）A．2度B．3度C．5度D．7度2、在中，和是两条中线，且，那么（D）A．B．C．D．3、如图，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD·DC=（）A6 B7 C12 B：作∠APD平分线交AD于E，则，又△PDE∽△CDB，得。4、如图，设P是边长为1菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别在AB、BC上，且最小值=（C）A． B． C．1 D．5、如图所表示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ面积分别是8、6、5，那么阴影部分面积是6、若两点，则。已知：，在内求一点，使最小，则点坐标是；7、△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB。延长BP交AC于E，交CF于F.求证：。提醒：连结PC，则BP=CP,只需证。8、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E。求证：BE=2EC。过C作CF∥AB，交AE延长线于F，△ABD≌△CAF，CF=AD，。∴BE=2EC.9、如图，平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则=（）A4:10:25 B4:9:25 C2:3:5 D2:5:25A，。答案:10、正方形中，分别是上点，交于，交于；若平分，；记,,,则有（）.、；、；、；、．解:由角平分线,,即,又角分线与高重合,则为等腰三角形，，作∥，交于，则为中位线，∽，，所以.11、△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上中线。D是BC边上一点，过D作DP∥CF交AB于P点，作DQ∥BE交AC于Q，PQ分别交BE、CF于R、S。求证：RS=。设BE、CF交于G，则FG=，设DP与BE交于X，由DP∥CF得，，△PDQ中XR∥DQ，PR=，同理，QS=，∴RS=。第七课圆中角目标：掌握圆中主要角及应用基础模型再现：圆中常见角及其关系列举，看图说话！知识再现：与圆关于角问题在同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆心角相等，圆周角相等。在同圆中，位于一弦同侧圆周角相等。弦切角等于它所夹弧所正确圆周角；圆内接四边形对角互补，它外角等于它内对角；圆外一点与圆心连线平分由这点引圆两条切线所夹角；例1、已知A、B、C、D在⊙O上，弧弧，BM⊥AC于M。求证：AM=DC+CM。证：过B作BM'⊥CD于M'，∵弧弧，∴，∴，又BC=BC，，∴∴ MC=CM'，∴CD+CM=DM'，∴AB=BD，，，∴，∴AM=DM'，∴AM=CD+CM。例2、已知四边形ABCD外接圆⊙O半径为5，AC、BD交于E，AB，BD=8。求△ABD面积。解：，知△BAE∽△CAB，∴，又，∴，∴A为BD中点，连OA交BD于M，△OMB中，，∴AM=2，∴。如图，ΔABC外接圆直径AE与弦BC交于D，且AE:AD=7:5,∠B=300，求tanC值.解：连接BE。已知点I是锐角三角形ABC内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC、CA、AB对称点.若点B在ΔA1B1C1外接圆上，则∠A．300 B．450 C．600解：如图，连接IB，设IA1与BC交于点D.分别是I关于BC、AC、AB对称点,.且I为ΔA1B1C1外心，而点B在ΔA1B1C1外接圆上,∴IB=IA1=2ID.在RtΔBID中,∵同理,如图，已知圆O两条半径OA与OB相互垂直，C为上一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC度数；解：如图，延长BO交圆O于D，连接CD，则∠BCD=900，设⊙O半径为R，则，由，而BD=2R作点C关于BD对称点如图，已知⊙O是ΔABC内切圆，切点分别为D、E、F.连接DF，作连接PB、PC，求证：证法一：连接OD、OB、OE、FE，则又∴ΔBOE∽ΔEFP，∴OE:PF=BE:PE.同理，可证OE:DP=CE:PE.∴ΔBDP∽ΔCFP，∴∠DPB=∠FPC.证法二：如右图，分别过B、C作，则BM//EP//CN,∠BMD=∠CND=900∴∠1=∠4,∴ΔMBD∽ΔNCF∴ΔMBP∽ΔNCP∴∠BPD=∠CPF.40、如图，梯形ABCD，AB//CD，AB＞CD，K、M分别是AD、BC上点。已知∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKB.证实：连接KM，在KM同侧有∠DAM=∠CBK，∴K、A、B、M四点共圆，∴∠CMK=∠DAB.又∵DC//AB，∴∠CDA+∠DAB=180，∴∠CMK+∠CDA=180°，∴D、K、M、C四点共圆，∴∠KCB=∠MDA.又∠DAM=∠CBK，且在△DAM和△CBK中，∵∠DAM+∠ADM+∠DMA=180°=∠CBK+∠BCK+∠CKB，∴∠DMA=∠CKB.如图，弦AB被点C、D三等分，E、F是三等分点，EC、FD交于S，连接AS、BS.求证：∠ASB=证实连接AE、AF、OE、OF，连接FE并延长与SA延长线交于K。，∴AC=CD，EF//AB，∴KE=EF.又∵∴为直角三角形，又∵AE=EF，∴OE⊥AF.∴SK//OE.同理，可证SB//OF.又∠EOF与∠ASB方向相同，∴例3、△ABC中，AD为平分线，以C为圆心，CD为半径半圆交BC延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且，EF：FD=4：3。（1）求证：AF=DF。（2）求余弦值。（3）假如BD=10，求△ABC面积。（1）证：又EF⊥AD，∴AF=FD。（2）解：过A作AN⊥BE于N，设EF=4x则FD=3x，DE=5x，，∴，∴，∴cos。（3）解：∵△ACE∽△ABE，∴，∴，∴x=2。∴。例4、已知四边形ABCD内接于直径为3圆O，对角线AC为直径，AC、BD交于P，AB=BD，PC=0.6。求四边形ABCD周长。解：∵BO⊥AD，CD⊥AD，∴BO∥CD，∴，∴CD=1，∴∴，∴，又∽，知，∴周长。例5、已知P是⊙O直径AB延长线上一点，直线PCD交⊙O于C、D，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E。证：。若DE⊥CF，=15°，⊙O半径为2，求CF长。解：（1）∵AB⊥DF，∴又∴∽，∴∴,又,∴（2）∵DE⊥FC，∴△DFE为等腰直角三角形，∴45°，∴45°+15°=60°∴60°△DHO中，HO=1，DH=，∴，△DEC中，，60°，∴，∴。例6、半圆O直径AB=4，将一个三角形直角顶点固定在圆心O点，当△旋转时，三角形两条直角边与半圆分别交于C、D，连结AD、BC交于点E。(1)求证：△ACE∽△BDE；(2)求证：BD=DE；(3)设BD=x，求△AEC面积y与x关系，并写出自变量x取值范围。解：（1），，∴△ACE∽△BDE。（2）°，90°，∴BD=DE。（3），DE=BD=x，，例7、直径为13⊙O＇经过原点O，并与x轴，y轴交于A、B两点，线段OA、OB（OA>OB）长分别是两根。

(1)求OA，OB长。(2)已知点C在劣弧上，连结BC交OA于D，当，求C点坐标。(3)在⊙O＇上是否存在P点，使△POD与△ABD面积相等。若有，求出P点坐标；若不存在，说明理由。解：（1），又，∴，∴OA=12，OB=5。（2）、连结O＇C交AO与E，可证：△OCB∽△DCO，，，OE=AE=6，CE=4，∴C（6，-4）.（3）、假设在⊙O’上存在P，使S△POD=S△ABD，∵OB∥EC，∴△OBD∽△ECD，∴，∴，∴，，∴，△POD中OD边长变为13，故P不存在。强化训练圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形面积为＿＿。A、78.5B、97.5C、90D、102解：由题意得：52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)∴221－140cosα＝221＋220cosα∴cosα＝0∴α＝90°∴四边形面积为：5×7＋5×11＝90∴选C1、已知ABCD是⊙O内接四边形，E是BD上一点，且有∠BAE=∠DAC，求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB·DC+AD·BC=AC·BD。（1）略。（2）△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB，得AB·DC=AC·BE，AD·BC=AC·DE，两式相加得AB·DC+AD·BC=AC·BD。2、四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O直径，E为DC边上一点，若AE∥BC，AE=EC=7，AB=6.（1）求AD长；（2）求BE长。（1）延长BA、CD交于P，则△PAD∽△PCB，，∵AE∥BC，∴∠1=∠3。又AE=EC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵BC为直径，∴AC⊥AB，∴PC=BC，AB=AP=6.∵AE∥BC，∴PE=CE=7，∴PC=BC=14，∵，∴AD=6.（2）∵CA、BE是△PCB中点，设CA、BE交点为G，则G为重心，∴，，而，∴，∴，∴。3、已知弦CD垂直于⊙O直径AB，L为垂足，弦AE平分半径OC于H。求证：DE平分弦BC于M。连BD。由，知∠BAE=∠BDE，由直径AB⊥CD，知BC=BD，∠DBC=2∠CBA，又∠AOC=2∠ABC，∴∠AOH=∠DBM，∴△AOH∽△DBM。，而，∴，即DE平分BC。4、在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC垂线交△ABC外接圆于M，过M作AB垂线MN，交圆于N。求证：MN为△ABC外接圆直径。提醒：延长AC至E，使CE=BC，连结MA、MB、ME、BE，证实∠MEB=∠MBE，MA=ME=MB，M为优弧中点。图中三块阴影部分由两个半径为1圆及其外公切线分割而成，假如中间一块阴影面积等于上下两块面积之和，则这两圆公共弦长是＿＿。A、B、C、D、解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD面积∴由垂径定理得公共弦为∴选DBBAOEDC如图，AB是⊙o直径，AB=d，过A作⊙o切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD延长线交AC于E，求AE长。解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4∴ΔCDE∽ΔCAD∴①………………5分BAOEDCBAOEDC4321∴②………………10分由①、②及AB=AC，可得AE=CD…………15分又由ΔCDE∽ΔCAD可得，即AE2=CD2=CE·CA设AE=x，则CE=d－x，于是x2=d(d－x)即有AE=x=（负值已舍去）……25分如图，正方形内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，则值为（）A、B、C、D、解：如图，设⊙半径为，，则，，．在⊙中，依摄影交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．6、在中，分别是边上高，，求第八课直线与圆目标：综合使用直线与圆位置中角、线段及关系证实基础模型再现-----直线与圆各种常见交切模型、△ABC内接于⊙O，AD、BD为圆O切线，做DE∥BC交AC于E，连结EO并延长交BC于F.求证：BF=FC.证：∵∠C=∠AOD,∠C=∠AED；∴∠AOD=∠AED，∴A、D、O、E四点共圆。∴∠DEO=∠DAO=，又DE∥BC,∴EO⊥BC.∴F为BC中点。如图，从圆心O向圆外一直线MN引垂线OA，A为垂足；作割线ABC交圆于B、C，过B、C作⊙O切线，交MN分别于D、E.求证：AD=AE.证法一：连接OB、OC、OD、OE.∵BD、CE与⊙O分别切于点B、C，∴∠OBD=∠OCE=90°.又OA⊥MN于A，∴∠OAE=90°，∴A、B、O、D四点共圆，A、O、C、E四点也共圆。又又OA⊥MN，∴AD=AE.证法二：连接OB、OC、OD、OE.在△OBD、△OCE中，OB=OC，BD、CE切⊙O于B、C，故∠OBD=∠OCE=90°又OA⊥DE，故∠OAD=∠OBD=90°，所以A、B、O、D四点共圆.又∠OEC=∠OAB.所以∠ODB=∠DEC，、如图，PC切⊙O于点C,过圆心割线PAB交⊙O于A、B。BE⊥PE于E,BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF=AF。FA延长线交⊙O于点G。（1）证实：∠FGD=2∠PBC（2）证实：证：连结OC，则OC∥EB。∴2∠PBC=∠AOC=∠ABD=∠AGD证：连结BG，∵FP=FA,∴∠P=∠PAF=∠GAB,又∠AGB=∠PCO.∴△PCO∽△AGB,∴。、如图，两个不相交圆中心和,它们外公切线切两圆于、两点，线段交两圆于、。直线和相交于C，过C且与垂直直线交于D。求证：D是中点。证：∵∠B1A1D=∠A1OB过O1作于M，则∠B1CD=－∠CB1B2=－（－∠A1O1B1）=∠A1OB1∴∠DA1C=∠A1CD∴CD=A1D,同理，CD=DA2,故A1D=DA2.、如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于Ｆ，AF交CE于P。求证：PE=PC 证：链接CO,CA∵AC⊥BD,且C为BD中点∴∠D=∠ABC.又∠ABC=∠BCO，∴CO∥AD∵CE⊥AD,∴CE⊥OC，∴EC为⊙O切线∴PC2=PF×PARt△PEA中，EF⊥AP，∴PE2=PF×PA，∴PE=PC、△ABC是Rt△。点D在斜边BC上，BD=4DC,已知圆过点C且与AC交于点F，与AB相切于AB中点G。求证：AD⊥BF如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．证实：因为AC∥PB，所以．又PA是⊙O切线，所以．故，于是△KPE∽△KAP，所以，即．由切割线定理，所以，KP＝KB．因为AC∥PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即．△ABC是Rt△。点D在斜边BC上，BD=4DC,已知圆过点C且与AC交于点F，与AB相切于AB中点G。求证：AD⊥BF证实：过D作DE⊥AC于E，∵且AG=AB,AC=AE，∴又ED=AB∴∴，又∠BAF=∠AED=90°，∴，∴∠EAD=∠ABF，∴∠EAD+∠AFB=90°，∴AD⊥BF 例7、半径不等两圆相交于A、B。线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D点；连接BC,BD,设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点，M、N分别是、中点，求证：（1）,(2)证实：（1）∵M是中点，P是BC中点∴PM⊥ＰB,∠KPC=90°，同理，∠NQB=90°连接AB，则有∠PBM=∠CAB=(180°-∠DAB)=90°-∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB∴，∴(2)∵KP//BD,且KP=BD=BQ，∴PBQK为，∴ BP=KQ,BQ=KP，∴由（1）得又∠KPM=90°+∠KPB=∠KQB+90°=∠NQK，∴例8、如图，P是⊙O外一点。PA和PB为⊙O两切线。A、B为切点，PO与AB交于M，过M作⊙O弦CD，求证：∠CPO=∠DPO证实：连接OA,则OA⊥PA,AM=MB，AB⊥OP,∴，又∴，∴O、D、P、C四点共圆，OC=OD，∴∠CPO=∠DPO注：利用四点共圆解题例9、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C平分线与AB边交于点P，M为△ABC内切圆⊙I与BC边切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证实：PD是⊙I切线.证实过点P作⊙I切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I切线.强化训练圆内接四边形四条边长顺次为：，则四边形面积为.答案：.解：因为，即，所以与都是直角三角形，所以，四边形面积.Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB求证：AC是△BDE外接圆切线若AD=6,AE=,求BC长。（1）略（2）由(1)得, ∵EO//BC∴,即∴BC=4正方形ABCD边长为4，以AB为直径向形内作半圆，CM、DN是半圆切线，M、N为切点，若CM、DN交于正方形内一点P，则△PMN面积=______________，设CM交AD于点E，DN交BC于点F，则EFCD为矩形，CM=CB=4,设EA=EM=X,则DE=4-X,CE=4+X,Rt△CDE中，由，得x=1。故DE=3,CE=5,S矩形EFCD=12，S△PEF==3,油MN//EF,∴PM=PE-X=-1=.而∴S△PEF=如图，PA、PB与⊙O切与A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于D，求证：连接AE、BE。由得,同理.∵PA=PB,∴,即.在⊙O中，由可得,从而AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，过点C切线与AB延长线相交于点E，AD⊥EC，AD与⊙O相交于F，CG⊥AB，垂足为G，求证：连接BC,AC，侧∠ABC=∠ACD，∠ABC=90°，∵CG⊥AB，∴∠ACG=∠ABC=∠ACD,又AC=AG,∠ADC=90°,∴Rt△ACGRt△ACD，∴CD=CG,又CD是⊙O切线，∴.∴,∴直线AB与⊙O相交于E、F，EF为⊙O直径，且AE=EF=FB.直线AP与⊙O半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB延长DO交⊙O于M，延长DE交AM于N，∵AE=EF=FB，O为EF中点，∴AO=0B,又OD=OM，∴∠AOM=∠BOD，∴△AOM△OBD.∴∠OAM=∠OBD,∴AM//BD，∴∠PDB=∠DAN,过A作AH//DM交DE延长线于H，∴,∵DM=2DO,∴，∴.∴N为AM中点,又AP切⊙O于D，∴∠MDA=90°，∴DN是Rt△ADM斜边AM中线，∴∠ADE=∠NAD,∴∠ADE=∠PDB.6.如图，已知：五圆⊙1、⊙2、⊙3、⊙4、⊙5顺次排列且相互外切，又均与两直线公切，最小圆⊙1半径为8，最大圆⊙5半径为18.求：⊙2、⊙3、⊙4半径R2，R3、R4.解：连结O1、O2、O3、O4、O5，由已知可知O1、O2、O3、O4、O5共线，设⊙1、⊙2、⊙3、⊙4、⊙5与公切线切点顺次为E、F、P、Q、M，连结O1E、O2F、O3P、O4Q、O5作O1A⊥O2F、O2B⊥O3P，O3C⊥O4Q，O4D⊥则△O1AO2∽△O2BO3∽△O3CO4∽△O4DO5（3设⊙2、⊙3、⊙4半径为x、y、z，则O1O2=x+8，O2A=x-8，O2O3=x+y，O2B=y-xO3O4=y+z，O4C=z-y，O4O5=z+18，O5∴（6分）用合比定理得：（8分）∴又∴=144，即y=12，x=，z=∴⊙2半径为，⊙3半径为12、⊙4半径为。（12分）如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角.（1）求证：PC2+PD2为定值.（2）证实：当点p与O点重合时，PC2+PD2=2⊙O半径平方当点P为通常情况时，作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连结OC和OD，可知∠NDP=∠MCP=45°又OC=OD，则∠ODP=∠OCP∴∠NDO=∠COM∴Rt△ODN≌Rt△COM∴ON=CM=PM，OM=ND=PN又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，所以PC2+PD2=2⊙O半径平方（为定值）。 第九课几何问题选讲 目标：重心、垂心、内心、外心几何定值与几何最值例1从圆外一点P作⊙O两切线PA、PB，连AB、PO。设PO交⊙O于点C，则点C是△ABP心。解：∠PAC=∠AOC=∠CAB，又∠APO=∠OPB，∴C为△ABP垂心。例2△ABC中，G为重心，I为内心，若IG∥BC,BC=5,则AB+AC=解：,∵I为内心,∴；同理,∴AC+AB=2(BE+EC)=10。如图，在△ABC中，∠CAB=60°，O是外心，H是垂心，求证：AO=AH.证法一如图①，连接CO并延长交⊙O于D.连AH并延长交BC于E点，连接AD、DB、BH，则有AE⊥BC，DB⊥BC.∴AE//BD.同理，可证AD//BH.∴四边形ADBH为平行四边形，∴AH=DB.又∵∠BDC=∠CAB=60°，∴∠DCB=30°∴DB=证法二如图②，连接AO，延长AH、CH交⊙O于M、交AB于D，连接CM，过O作ON⊥AC于N，则,∴ΔANO≌ΔADH,∴AO=AH.例3∠ACE=∠CDE=,B在CE上，CA=CB=CD,过A、C、D三点圆交AB于F,证F为△CDE内心。∴F为内心。例4、如图,ΔABC三边满足关系O、I分别为ΔABC外心与内心,∠BAC外角平分线交⊙O于E，AI延长线交⊙O于D，DE交于BC于H。求证：(1)AI=BD；(2)证实：(1)作IG⊥AB于G，连接BI.I是ΔABC内心，IG⊥AB，则(三角形内心性质)I是ΔABC内心，,DE又是ΔABC外接圆直径,∴RtΔAGI≌ΔRtBHD,∴AI=BD.(2)设CD是直角三角形ABC斜边AD上高，分别是△ADC、△BDC内心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为E为直角三角形ACD内切圆半径，所以＝.连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.同理，可求得，.所以＝.例5平行四边形ABCD,AB=a，BC=b(a＞b),P是AB边上一动点，直线DP交CB延长线于Q,求AP+BQ最小值。解：，∴AP+BQ=，∴最小值为。如图，已知ΔABC高AD、BE交于H，ΔABC、ΔABH外接圆分别为⊙O和⊙O1.求证：⊙O与⊙O1半径相等.证实：由A作⊙O和⊙O1直径AP、AQ，连接BP、BQ.例6已知边长为4正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1,为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求此最大面积。解：DN=x,PN=y,则S=xy,△APQ∽△ABF。，∴x=10-2y,∴,∵,∴当y=3时，。例7矩形ABCD边长AB=2,BC=3，点P是AD边上一动点，（P异于A、D）,Q是BC上任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.求证：△APE∽△ADQ设AP长为x，求△PEF面积S关于x函数，并求当P在何处时，S最大？当Q在何处时，△ADQ周长最小？解：（1）∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD,∴△APE∽△ADQ。由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，,得，当x=时，S最大。作A关于直线BC对称点，连D交BC于Q，这个Q点就是使△ADQ周长最小点，此时,Q是BC中点。例8如图，⊙经过原点，分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B.若点O到直线AB距离为，过A切线于y轴交于C点，过点O切线交AC于D，过点B切线交OD于点E，求值。⊙经过点M（2，2），设△BOA内切圆直径为d，判断d+AB是否改变，若不变，求其值；若改变，求其改变范围。解：（1）延长BE交x于点F，过O作OG⊥AB于G，DO=DA=DC,EB=EO=EF,∵AC∥OG∥BF,∴,，∴,即。（2）d+AB为定值。△AOB内切圆切OA,OB,AB于P、Q、T，d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB,在x轴上取一点N，使AN=OB,连结OM，BM，AM，MN,则∠BOM=∠MON=,AM=BM,又∵∠MAN=∠OBM,OB=AN,∴;∴∠BOM=∠N=,∠OMN=,∴OA+OB=ON=,∴d+AB=4。第九课作业1、⊙O是△ABC外接圆，且∠BAO=，则∠C=解：2、锐角△ABC定点A到垂心H距离等于它外接圆半径，求∠A。。设外心O，D为BC中点，BO延长交⊙O于E，连CE，AE，则CE∥HA，AE∥CH,则OB=AH=CE=2OD,∴∠OBD=,∠BOD=,∴∠A=∠BOD=。3、如图，已知点P在半径为6，圆心角为扇形OAB（不含端点）上运动，PH⊥OA，垂足为H，△OPH重心为G。（1）当点P在上运动时，线段GO，GP，GH中有没有长度不变线段？若有，指出其长度。（2）设PH=x,GP=y,求y关于x解析式，并写出x范围。（3）假如△PGH是等腰三角形，试求PH长。(1)GH不变，GH=(2)y=GP=,0＜x＜6(3)△PGH是等腰三角形时，有三种情况：当GP=PH时，x=；当GP=GH时，不合题意；当PH=GH时，x=2.4、锐角△ABC中，高AD=BC，H为△ABC垂心，M是BC中点，求证：MH+HD=BC.证：△BAD∽△HCD，知AD·HD=BD·CD，而AD=BC，∴BC·HD=BD·CD，从而2MC·HD=,,得证。5、正方形ABCD边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使△CMN周长为2（1）求∠MAN大小（2）求△MAN面积最大值。（1）延长CB至L,使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△A