2020届江苏省淮安六校联盟高三年级第三次学情调查数学(理)试题(解析版)

1、2020届江苏省淮安六校联盟高三年级第三次学情调查数学（理）试题一、填空题1 .已知集合 |A= xlR = L23.4）,则A 门 B = |.【答案】【解析】试题分析：求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合 B中元素逐一代入集合 A验证，得A PB = |L2.【考点】集合基本运算.，22 .已知复数z满z 2 i （i为虚数单位）,则z的实部为.【答案】3【解析】运用完全平方和公式化简复数z,最后根据复数实部的定义写出复数z的实部即可.【详解】_2 _22_， .，、.z 2 i22 4i i2 3 4i,复数z的实部为3.故答案为：3【点睛

2、】本题考查了复数的实部的判断，考查了复数的乘方运算，考查了数学运算能力.3 .函数y 3sin 4x 一 的最小正周期是6【答案】一2【解析】根据正弦型三角函数的最小正周期公式求出函数y 3sin 4x 一 的最小正6周期.【详解】22函数y 3sin 4x 一 的最小正周期T -. 642故答案为：一2【点睛】本题考查了正弦型三角函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.4.已知数列 an是等差数列，且a5 15,则S的值为.【答案】135【解析】根据等差数列前n项和公式和等差数列下标的性质可以直接求出&的值.【详解】因为数列 凡 是等差数列，所以S9 9 (a1 a9)9 (2a5)

3、9a5 135.22故答案为：135【点睛】本题考查了等差数列的前前n项和公式，考查了等差数列的下标性质 ，考查了数学运算能力.225.已知F (2,0)是双曲线C：工工 1的一个焦点，则C的渐近线方程为2m 2【答案】y x【解析】本道题结合焦点坐标 ，计算出日即可。【详解】a2 2m,b2 2,c2 4 a2 b2 2m 2,解得m 1,所以双曲线方程为221,所以渐近线方程为 y x22【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。6 .定义在R上的奇函数f x ,当x 0时，f x2x x2,则f(0) f 1【答案】1【解析】试题分析：因为 f x为定义在R上的奇函数，所以 f(0

4、)°,f 1f(1)(2 1)1 因此 fO f 11.【考点】奇函数性质7 .若命题“存在k三艮ad 4 4k + a20”为假命题，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为命题“存在X e艮2/+ 4* 4 H w o ”的否定是“对任意第2页共20页xER- + 4k+4U"。命题的否定是真命题，则lA-16-4?<0 " ''【考点】复合命题x a8 .若函数f(x) 在区间0,2上有极值，则实数a的取值范围为 e【答案】1,1【解析】对函数进行求导，判断函数的单调性，结合极值的定义和所给定的区间 ，得到不 等式，解不等式

5、即可求出实数 a的取值范围.f(x)【详解】f (x)当x a 1时,f (x) 0,所以函数f(x)单调递减;当 x a 1 时，f (x)0,所以函数f(x)单调递增，要想函数f(x) Ja ex在区间0,2上有极值，只需0 a 1 21 a 1,所以实数a的取值范围为 1,1故答案为：1,1【点睛】本题考查了函数有区间有极值求参数问题，考查了函数极值的判断方法9 .设等比数列 an的前n项和为Sn,若S3, S9, S6成等差数列，且a8 3,则a5的 值为.【答案】-6【解析】设等比数列an的公比为q. S3, S9, &成等差数列 2S9S3S6 ,且 q 1.2al(1 q

6、9)。(1 q3)1 q 1 qa1(1 q6)1 qq3 10.313 1 q 一或q 1 (舍去)2, a83a83ca56q 1 210.若 a 0, b 0, lg a1g b lg( a 2b)，则2a b的最小值为【解析】由对数的运算法则，可以化简等式lg a 1gb 1g(a2b),用b的代数式表示a,最后利用基本不等式求出2a b的最小值.lg a lg b1g(a 2b)ab-2b 一 a 2b a Q a 0,bb 10 b 1,所以2abb(b 1) 5 2：b4 1(b 1)5 9(当且仅当1时取等号，即b a3时取等号)故答案为:本题考查了对数的运算公式,考查了基本不

7、等式，考查了代数式恒等变形能力211 .如图，已知椭圆w a2yr 1(a b 0)的左顶点为 b2A,左焦点为F ,上顶点为B ,B【解析】依题意可得,OA a, OFc, OB因为 BAO BFO90o BAO所以BFOABO所以 Rt AOB Rt BOF所以OBOFOA解得，cOBac1.5a2因为0 c a,所以c la，则 e1 .15212.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C ： x32 y2-5, A, B是圆C上的uuu uuu则OA OB的取值范围为【答案】8 4,5,8 4,5【解析】试题分析：一 _ 22圆 C:(x 3) (y 4)222_2_CA CB AB 5 5

8、 4 32 CA CB 2 55CA CB , 5 ,由余弦定理可得cos ACB设D为AB的中点， CD设 COD ,0,CA CB 2CDOA OB (OC CA) (OC CB)2OC OC (CA CB) CA CB5 2OC CD 55 358 4.5 cosOA OB的取值范围为8 4J5,8 4J5 .【考点】向量的几何意义；向量的数量积；余弦定理13.已知a , 3均为锐角，且 cos( a + 3 ) = si ,则tan a的最大值是 . sin【答案】_!4【解析】 由已知得 sin a = cos( a + B )sin 0 = cos a cos B sin 0 si

9、na sin B sin 0,两边同除以 cos a,并整理得 tan a J :xi” 20sin )3co$ 2日一3cos 2P '【) ( vin 2 0 ) a, 3均为锐角， 一-一：-一可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2-Jcos 2 P3, 一 sin 2 3)与定点(3, 0)连线的斜率，其最大斜率为而=x,x a一14.已知函数f x 3若函数g x 2f x ax恰有2个不同的零点,x 3x, x a则实数a的取值范围是当a 2时，f(x) x,2x 2x有无数个根；故a 2,当a 2时，如取a 3,则当x 3, f(x) x,方程2x 3x x 0 3

10、不合题意；当x 3, f (x) x3 3x ,方程2x3 6x 3x x 0,x/ ,即有三个不同实数根，不合题意。所以a 2,如图，当a 2时，结合图像可得3 32a3 6a a2 2a2 a 6 0 ,解之得一a 2,叵境答案(一，2)。点睛：解答本题的关键是借助题设中的分段函数的图像及导数知识，运用数 形结合的数学思想进行分析推断，借助图像建立不等式，通过解不等式从而 使得问题获解是本题的一大特色，当然本题的求解具有一定的难度。二、解答题rr15.已知向量 a (sin ,cos 2sin ),b (1,3).r r若apb,求tan 的值；4 r r r r(2)若 | a b |

11、|a b |,求 cos2 的值.【答案】(1) 1； (2) 8-.517【解析】(1)根据平面向量共线定理可得等式，利用同角三角函数的商关系求出tan 的值；r r(2)对已知的等式平方得到a b 0 ,根据平面向量数量积的坐标表示可以得到等式，利用同角三角函数的平方和关系可以求出sin2的值，最后利用二倍角的余弦公式求出cos2的值.【详解】r, .八.、 rr r(1)因为 a (sin ,cos 2sin ), b(1,3)且 apb所以3sin(cos 2sin ) 0,即：5sin cos当cos 0,则sin 1,不合题意(舍之)1当 cos 0,则 tan -；rr rr r

12、r 9 rr 9 r r(2) | ab | | ab |(ab)(ab) ,所以 a b0 ,所以 5sin 3cos所以 sin2cos2一 21 得 sin934所以cos 21 2sin2817本题考查了两个平面向量共线、 垂直的坐标表示，考查了同角的三角函数关系式 ，考查了二倍角的余弦公式，考查了数学运算能力ABC 中,BC边上的中线AD长为3,且cosB16.如图，在(1)求 sin BAD 的值;(2)求AC边的长.【答案】(I)Y； (n) 4；【解析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出（2）在VABD中，利用正弦定理得 BD 2 ,在VAD

13、C中利用余弦定理即可求出【详解】解：1 因为 cosB 10,所以 sin B 36. 88所以 sin BAD sin ADC Bsin ADCcoSB cos ADCsinB3AD BD /曰 2在VABD中，由得3V6sinB sin BAD 8BD66，4解得BD 2 .故DC 2 ,在VADC中，由余弦定理得AC2 AD2DC2 2AD DC cos ADC2213 22 3 2-16,4得 AC 4.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题17.如图，射线 OA和OB均为笔直的公路，扇形 OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中p、Q分别在射线 O

14、A和OB上.经测量得，扇形OPQ的圆心角（即 POQ ）,2为 、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路 MN ,3分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求 MN与扇形弧PQ相切于点S.设POS（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计(1)试将公路 MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围;(2)试确定 的值，使得公路 MN的长度最小，并求出其最小值2【答案】MN tantan(3(tan21)其中一6一，当2一时，MN长度的最小值为 2M千米.3【解析】试题分析：由切线的性质可得OSL MN则 SM=tanSN=tan据此可得MN tantan、.3 tan

15、2、3tan 1其中 6利用换元法,结论有：MN273千米.2百，当且仅当t.J3长度的最小值为试题解析:因为MN与扇形弧PQ相切于点S,所以OSL MN2 ,由均值不等式的在 RTVOSMK 因为 OS1,MOS ,所以 SM=tan2时等号成立，即MN2在 RTVOS附，/ NOS 3一 ，2,所以 SN=tan 一3所以MNtantan 33 tan213tan 1其中一6因为一6一,所以 J3tan 21 0,1 0 ,则 tan3 t 1 ,3所以MN t 4 23 t由基本不等式得 MN 2jt 4 22J3,3. t一.4当且仅当t ；即1 2时取“=”此时tan一，故一.23答

16、：MN tantan 2当 一时，MN长度的最小值为2J3千米.3点睛：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.（2）在求所列函数的最值时,若用基本不等式时， 等号取不到，可利用函数单调性求解.2218.已知椭圆2T 4 1(aa bb 0）的离心率e,且经过点（J3二），A , B , C , 22D为椭圆的四个顶点（如图）,直线l过右顶点A且垂直于x轴.（1）求该椭圆的标准方程;（2） P为l上一点（x轴上方），直线PC, PD分别交椭圆于S PCD 2 s PEF 5求点P的坐标

17、.2_【答案】(1)人y2 1 (2) (2, 72)4【解析】（1）禾I用椭圆的离心率和经过的点73,-，列方程组求解即可.（2）设P（2,2mj）, m>0,得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出 E的坐标， 同理求F点横坐标，由SAPC2SAPEF,转化求解即可.【详解】(1)2因32 ayr 1(a b 0)的离心率e Y3,且经过点 b22,31所以解得(2)a ,3 2-2a4b2 1,4,2b21.所以椭圆标准方程为 42(1)知椭圆方程为42一 ,一y 1,所以直线0,则直线PC的方程为yl方程为X2, Cy联立方程组2x1,消y得m21,2m0,所以E点的横坐标为

18、又直线PD的方程为m y联立方程组2x所以则有Xe2mX21,消y得1,2m0,F点的横坐标为PCD 2 s PEF 得PC PDPE PFXfPC4 m 1-2 LZ LTm 2m 2PDsin DPC1PE 2PFsinEPF2m 22 04 m 1-2 LZ 二m 2m 24化简得m-4m2,解得m20,所以m所以点P的坐标为2,J2 .本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.19.已知函数 f(x) ax3 2x ln x, a R.(i)若曲线y f x在x 1处的切线方程为y b,求a b的值；(2)在(1)的条件下，求函

19、数f x零点的个数;(3)若不等式f(x) 2(x a) -1对任意x 0,1都成立，求a的取值范围.1【答案】(1)0 ； (2)两个；(3) a -.3【解析】(1)对函数求导，根据导数的几何意义，结合切线方程可以求出 a,b的值，最后计算a b即可；(2)由(1)求出函数的单调性，根据零点存在原理，可以判断出函数零点的个数；,分类讨论判断出函数 设g(x) f (x) 2(x a),对它进彳f求导，根据a的不同取值的单调调性，根据函数的最值情况求出a的取值范围. f x3ax2 2由题意，f10, f1 b,解得,a 1,b 1,所以 a b0.(2)由(1)知,3f (x) ax 2x

20、 In x,3x21 3x3 2x 12 (x 1) 3x2 3x 1且当01 时，f x 0；当 x1时，f x 0所以函数x在0,1上单调递减,在 1,上单调递增.因为f111 0, f 1-13ee2-3一 1 0, f (e) e 2e1 0 ,函数f x在区间1,1e所以函数x有两个零点.1,e上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，(3)设 g(x)f(x) 2(x a),即 g(x) ax3 2a ln x, x (0,1,3ax3 1x所以g x最小值为g 1 3a 0 ,不合题意;g (x)21g (x) 3ax 一 x当a 0时，g x 0,所以函数g x在0,1单调

21、递减,1一时，函数g x在0,1单调递减;31 所以g x最小值为g 1 3a 0,只需3a 1,即a -,3所以a1符合；31 ,即a 1时，函数g x在0,31 上单调减，在 3,1上单调增,3.3a. 3a所以g x的最小值为g(R工)1 2a 11n 3a 1, . 3a 33,1所以a 1符合.3，一一 1综上，a的取值范围是a 1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数切线方程求参数的值,考查了利用导数研究函数零点个数问题，考查了利用导数研究不等式恒成立问题_ _ * . . . . . .20 .对于 n N ,若数列xn满足xn1 xn 1,则称这个数列为“ K数歹

22、(1)已知数列1, m 1,m2是“ K数列”，求实数m的取值范围(2)是否存在首项为1的等差数列an为“ K数列”，且其前n项和Sn使得1 2Sn -n2 n恒成立？若存在，求出an的通项公式；若不存在，请说明理由； 21(3)已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列"，数列 1an不是 K数列,2若bn亘工,试判断数列bn是否为“ K数列”，并说明理由.n 1【答案】（1） m 2； （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1 ）根据题目中所定义的“ K数列”，只需2m 11 1,m m 11,同时满足，解不等式可解m范围。（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差 d

23、 1 ,即Snn d < n2 n,代入n=1,n>1,矛22n 1*盾。（3）设数列 an的公比为q,则an aq,4 N ，满足“ K数列”，即an 1 an anq an an q 11 0,只 需最 小项a2 al 1,即1 11a1 q 11,? an不无 K数列，且一 a2 -a1为最小项，2 221 1所以一a2阚1,即& q 12,所以只能 a1 q 12,只有解a1 1,q 3或2 2a12,q 2.分两类讨论数列 bn 。试题解析：（I）由题意得 m 11 1,m2m 11,解得m 2,所以实数m的取值范围是m 2.（n假设存在等差数列an符合要求，设公

24、差为d,则d 1,n n 1由 a11,得 Snn d,2,口一 ，口 n n 112*由题息，得 n d n n对n N均成立，即n 1 d n.22当n 1时，d R;当n 1时，d n 1因为, 1 1,n 1 n 1所以d 1,与d 1矛盾，所以这样的等差数列不存在n 1（出）设数列 an的公比为q,则an aq所以在anan i中，a?ai 为最小项11.“ 11同理，1an 1an 1中，1a2 1a1”为最小项. 2222由an为“K数列”，只需a2 a11,即a1 q 11,111又因为 1an不是“K数列”，且1a2a1为最小项，2221 1所以a2 -a1 1,即 &

25、; q 12,2 2由数列 an的每一项均为正整数，可得a1 q 12,所以 ai 1,q 3或 a1 2,q 2.n 13n当为1,q 3时，an3 ，贝U灯 n 1A*令 cnbn 1bn n N ，则cn3n 13nn 13n2n 1n 1 n 2又3n2n 3n 2 n 33n2n 1n 1 n 23n 4n2 8n 6n 2 n 1 n 3所以cn为递增数列，即cncn 1cn 2Ci,0,因为an的每一项均为正整数,且an1ananqananq 11一33所以 b2b1 3 33 1,2 2所以对于任息的n N，都有bn 1 bn 1,即数列bn为“ K数列”.Qn 1当a12,q

26、 2时，an 2n,则bn n 12因为 b2 b1-1,3所以数列 bn不是“ K数列”.综上：当a1 1,q 3时，数列bn为“K数列”，当ai 2,q 2时，an 2n,数列bn不是"K数歹【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键。另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解,或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数。x21 .在平面直角坐标系 xOy中，已知直线2（1为参数）与曲线1t28 t（t为参数）相交于 A B两点,求线段AB的长.【答案】4、, 2x【解析】法一：将曲线8t2 （t为参数）化为普通方程，把直线t

27、为参数）代入曲线普通方程中,利用参数的意义求出线段 AB的长;法二：将曲线和直线的参数方程都化为普通方程,然后联立，求出交点为的坐标用两点间距离公式求出线段 AB的长;x t法一：将曲线 8（t为参数）化为普通方程为y2 8x.y tx将直线y3、. 2- 122（1为参数）代入y2 8x得,二1212 8,21 24 0，解得 li 2-.2, 12 6 2.则卜i 124>/2,所以线段AB的长为4,2.法二：将曲线It28 t(t为参数)化为普通方程为8x.将直线(l为参数)化为普通方程为2y由x8x得,0所以AB的长为29 i2-(6 2)2 24.2.本题考查了利用参数的意义或

28、解出交点坐标求相交弦长问题,考查了参数方程化为普通方程，考查了数学运算能力.22.在平面直角坐标系 xOy中，圆C1的参数方程为2cos(为参数)，以2 2sin坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C2的极坐标方程为2、2cos(-).(I)求圆Ci的普通方程和圆C2的直角坐标方程;(n)判断圆Ci与圆C2的位置关系.22(H)见解析【答案】(i)x y 24；xi y i【解析】(I)消去参数，即可得到曲线 Ci的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到曲线 C2的直角坐标方程;(n)由圆心距d .io ,利用2ri2d2ri2r2 可得两圆相交.(I)圆Ci的参数

29、方程为2 cosy 2 2sinx 2cos可得，y 2 2sin2平万相加转换为直角坐标万程为：x y 24.由圆C2的极坐标方程2，2cos4可得 2=2 cos 2 sin转换为直角坐标方程为：x2 y2 2x 2y,rtr22即：x 1 y 12(n)由(i)知圆 Ci的的半径r1二2,圆心坐标为 0,2 .圆C2的的半径r2 = J2,圆心坐标为1, 1则圆心距d .1 0 21 2 2,10r1r2 2 6 4.2 10 d2r1 r2 2所以，圆C1与圆C2相交.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。23 .相中装有4个白球和 m m N 个黑球.规定取出一个白球得 2分，取出一个黑球 得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出白可能性都相等 .记随机变量X为取 出的3个球所得分数之和.2，(1)若P(X 6) q ,求m的值；(2)当m 3时，求X