函数fx一致连续的条件及应用

1、精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载函数f(x)一致连续的条件及应用函数f(x)一致连续的条件及应用内容摘要：比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去.关键词：一致连续拟可导函数基本初等函数二元函数Abstract:Thispaperismorecompletelytosummarizethemethodsofjudginguniformcontinuityoffunctions,andapplythemtoanalyzesomeexamp

2、les,moreover,wediscussuniformcontinuityoffundamentalprimaryfunctionsindetail,andextendthesemethodstothecaseoffunctionsoftwovariables.Keywords:uniformcontinuityperederivatablefunctionsfundamental精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载primaryfunctionsfunctionsoftwovariables1.引言函

3、数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键.一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛.因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的.2.预备知识一致连续和非一致连续的定义一致连续：设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任给的

4、？?0,存在？?(?)?0使得对任何x?,x?I,只要x?x?,就有f(x?)?f(x?)?JM称函数f(x)在区间I上精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载2精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载一致连续.1非一致连续：存在？0?0,对任彳正数？，总存在两点x?,x?I,尽管x?x?,但有f(x')?f(x'则称数f(x)在区间I上非一致连续.G.康托定理G康托定理1:若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上一致连续.这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明.但是G康托定理只能用来判断有

5、限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛.下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法.几种常见的判断函数一致连续性的方法方法1:利用李普希茨条件若f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即任给x,y?I,有f(x)?f(y)kx?y?为常数)，贝f(x)在区间I上一致连续.方法2:有限开区间上一致连续的判别法若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)都存在且有限？函数f(x)在上连续，且f(a?0)存在且有限？函数f(x)在精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载3=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=(a,b上

6、一致连续.方法3:无穷区间上一致连续的判别法若f(x)在(?,?比连续，且limf(x)?A及limf(x)?B极限存在，则f(x)在x?x?(?,?)上一致连续.类似的还有：若f(x)在a,?)(或(?,b)上连续，且limf(x)(或limf(x)极限存在，则f(x)在x?x?a,?)域(?,b)上一致连续.f(x)(或limf(x)及若f(x)在(a,?)饿(?,b)上连续，且limf(x)及lim?x?x?ax?2x?b?limf(x)极限存在，则f(x)在(a,?贼(?,b)±一致连续.3.方法的归纳和应用方法的归纳及方法的应用方法1:用连续模数来刻画一致连续性若f(x)在

7、区间I上有定义，则称？f?supf(x)?f(x)为函数f(x)的连续x',x''?Ix'模数.'?定理'若f(x)在区间I上有定义，则f(x)在I上一致连续的充要条件是5?0?lim?f(?)?0.?0'''g(?)?0,则推论若f(x)在区间I上连续，若？f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载lim?x',x''?Ix'做'I'上？?f

8、74;续.上述定理易得到一致连续的视察法：？出?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡，使得？f?0则f(x)非一致连续；若f(x)在某处最陡，但？?0时，此处的变差?f(x')?f(x'则)?0)一致连续.1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的，但在c,?)(c?0)上一致连续.x1分析：f(x)?(x?0),在x?0处，图形无限变陡.x例1f(x)?0,?f(?)?.?(M?f(?)?0.因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的.但在区间c,?)上，f(x)?可见，f(x)?111?0(?0?).在点c处最陡，且?f?xcc

9、?1在c,?)±一致连续.x方法2:利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若f(x),g(x)都在区间I上一致连续，则f(x)?g(x)也在I上一致连续.3(2)若f(x),g(x)都在有限区间I上一致连续，则f(x)g(x)也在I上一致连续.若f(x),g(x)都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界，则精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载5精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载f(x)g(x)也在I上一致连续.(3)若f(x)在区间I上一致连续，且有正的下确界(或负的上确界)，则致连续.(4)若f(x)在区间I上一致连

10、续，则？f(x)也在I上一致连续(其中？为任意常数).例2若f(x)在有限区间I上一致连续，g(x)在区间I上非一致连续.问：f(x)?g(x)在1也在I上一f(x)I上的一致连续性.分析：假设f(x)?g(xpBI上一致连续，又f(x)是有限区间I的一致连续函数，一致连续函数的四则运算性质知g(x)?f(x)?g(x)?f(x)在I上一致连续，这与条件矛盾.所以，f(x)?g(x)在I上非一致连续.同理有f(x)?g(x)在I上非一致连续.方法3:复合函数的一致连续性设函数f(x)在区间I上一致连续，g(x)在区间U上一致连续，且g(U)?I,则复合函数f(g(x)在区间U上一致连续.方法4

11、:利用两区间之并设f(x)定义在a,c上，若f(x)在a,b和b,c上都连续，则f(x)在a,c上一致连续.上述结论可进一步推广为：设区间I1的右端点精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=为c?I1,区间I2的左端点也为c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若1f(x)在I1和I2上都一致连续，则f(x)在I?I1?I2上一致连续.例3讨论f(x)?x在0,?)上的一致连续性.分析：f(x)在0,?)上连续，设a?0,当0?x?a时，设0?x1?a,0?x2?a,x1?x2?贝U4x1?x2?x1?x

12、2?,0?f(?)?supx1,x2?0,ax1?x2?f(x1)?f(x2)?0,所以f(x)?且lim?0x在0,a上一致连续.当x?a时，x1?x2?所以f(x)?x1?x2x1?x2?2a,且lim?0?2a?0.x在a,?让一致连续.x在0,?)上一致连续.综上所述，f(x)?方法5:利用数列(1)函数f(x)在I上一致连续？对区间I上任意两个数列xn,yn,当limxn?yn?0n?时，有limf(xn)?f(yn)?0.n?涵数f(x)在I上非一致连续？区间I上存在两个数列xn,yn,当limxn?yn?0时，n?但limf(xn)?f(yn)?0.n?J4f(x)?sinx2在

13、(?,?而非一致连续.分析：可取精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载xn?2n?2,xn''?2n?2,则xn'?xn''?即？).f(xn')?f(xn:')?2故f(x)?sinx2在(?,?)内非一致连续.(2)函数f(x)在有界实数集E上一致连续？函数f(x)将E中的柯西列变成R中的柯西51列.方法6:利用渐近线设f(x)在a,?)上连续，且limf(x)?(cx?d)?0(c,d为常数).即x?E寸，x?f(x)有渐近线y?cx?d,则f(x

14、)在a,?)上一致连续.上述结论可进一步推广为：65设f(x)在a,?)上连续,g(x)在a,?)上一致连续，即x?时，且x?limf(x)?g(x)?A,贝ijf(x)在a,?)上一致连续.例5f(x)?xln(e?)在1,?)上一致连续.1x1xln(e?)x?1,b?limxln(e?1)?x?1,故f(x)?xln(e?1)在该分析：于k?limx?x?xxxe区间有渐近线y?x?1,所以f(x)在1,?)上一致连续.e方法7:利用导数若f(x)在区间I上存在有精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载8精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载

15、界导函数，即？M?0,?x?I,有f?(x)?M,则f(x)在I上一致连续.下面还有一个应用得更加广泛的结论：若f(x)在a,?)上连续，在(a,?)内处处可导，且limf?(x)?A存在，则f(x)在x?6a,?止一致连续.例6f(x)?'x2?2(?,?比一致连续,xx2?2,f'(x)?1故f(x)?x2?2在(?？,？?)上一致连续.分析：于f(x)?方法利用积分函数f(x)在区间a,?)±局部可积，且f(x)在区间a,?)上有界，则F(x)?xaf(s)ds在a,?)上一致连续.方法9:引进拟可导函数来说明一致连续性定义1(凸函数)设函数f(x)在区间I上有

16、定义，若？x,y?I,0?1有4f?x?(1?)y?f(x)?(1?)f(y)(或f?x?(1?)y?f(x)?(1?)f(y),贝U称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数，上，下凸函数统称为凸函数.注：下面的定义，引理，定理和推论均见4.定义2(拟可导函数)若函数f(x)在U0(x0)有定义，且极限6精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载9=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=hhf(x0?)?f(x0?)22存在，limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22.则称函数f(x)在x0拟可导，记为Df(x0)?limh?0h引理1

17、凸函数在任意开区间I上连续.引理2若f(x)在区间I上连续，且对？x1,x2?I,有f(x1)?f(x2)x?x?f(12),22贝ij函数f(x)为下凸函数.定理若f(x)在开区间I上单调，且Df(x)在I内处处存在，有界，则f(x)在I上一致连续.推论1若f(x)是开区间I上的凸函数，且拟导数存在，有界，则f(x)在I上一致连续.推论2若f(x)在开区间I上满足条件：？x1,x2?I,有f(x1)?f(x2)x?x?f(12);22?x?I,f?(x)和f?(x)都存在；在I上处处拟可导，且拟导数有界，则f(x)在I上一致连续.几个重要应用应用之一：周期函数的一致连续性26设f(x)是(?

18、,?比以T为周期的函数，则f(x)在(?,?止连续？f(x)在(?,?比一致连续.应用之二：基本初等函数的一致连续性？(1)f(x)?x在0,?)上，当精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载10=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=0?1时一致连续，当？1时不一致连续.(2)f(x)?e在R上非一致连续.x7(3)f(x)?lnx在(0,1上非一致连续，在1,?)上一致连续.(4)y?sinx和y?cosx均在R上一致连续，y?tanx和y?cotx均在其定义域上非一致连续.(5)y?arcsinx和y?arccosx均在?1,1上一致连续,

19、y?arctanx和y?arccotx土匀在(?,?)上一致连续.p(x)?0xn?1xn?1?.?n(6)R(x)?其中n,m为非负整数，？mm?1q(x)?0x?1x?.?m?0,?1,.?n,?0,?1,.,?m土匀为常数，且？0?0,?0?0.当n?m?1时，R(x)在a,?让一致连续；当n?m?1时，R(x)在a,?让非一致连续.4.二元函数的一致连续性前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去.定理1若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上一致连续.定理2函数f(P)在有界开区域D精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载11精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载上一致连续？f(P)在D上连续，且？P0?