八年级全等三角形中的中点、中线问题1

1、全等三角形中的中点、中线问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.【例1】如图，在正方形

2、ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分/DAE,求证:AE=ECCD1【例2】在四边形ABCD中，设M,N分别为CD,AB的中点，求证MNw1（AD+BC）,当且仅当ADIIBC时等号成立.【例3】在梯形ABCD中，AB/CD,/A=902AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.A例4如图所示，在MBC的AB边上取两点E、F,使AE=BF,连接CE、CF,求证：ACBCECFC.【例5】以MBC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtMBD和等腰RtMCE,/BAD=/CAE=90%连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：

3、AM与DE的位置关系及数量关系.如图当MBC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是;线段AM与DE的数量关系是;将图中的等腰RUABD绕点A沿逆时针方向旋转9文0<9<90）后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.【例6】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1,已知&ABC,ZACB=90°,ZABC=45°,分别以AB,BC为边向外作MBD和ABCE,且DA=DB,EB=EC,/ADB=NBEC=90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系。小慧同学的思路是：过点D作DG_LA

4、B于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，/ABC=30口，/ADB=/BEC=60*小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系（2）如图2,若NABC=30=,ZADB=/BED=60°,原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3,若ZADB=/BEC=2/ABC,原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。图1图2图3【例7

5、】已知：在RtiABC中，AB=BC,在RtiADE中，AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证I如果将图中的AADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.已知：如图，在RtAABC中，AB=BC,在RtMDE中，AD=DE,且D在边AB上，连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.将等腰直角三角形ADE绕A点按逆时针方向旋转45°,结论：BMD为等腰直角三角形，成立吗？如图，在RtMBC中，AB=BC,在RtMDE中，A

6、D=DE,且点M,连结DM和BM.结论：ABMD为等腰直角三角形还成立吗AD_LAC,连结EC,取EC的中【巩固】如图，在RtMBC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,且A在线段EC上，连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.证明：NMBD=NMDB.D【巩固】如图，在RUABC中，AB=BC,在RtMDE中，AD=DE,且AD±AC,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.结论ZMBD=/MDB成立吗？【巩固】如图，MBC和MDE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：NMBD=/MDB.【例8】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF_LBD交B

7、C于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.求证：EG=CG;将图中ABEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G,连接EG,CG.问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.将图中ABEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图图图【例9】问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点AB,E在同一条直线上，P是线段DF的中点,连结PG,PC.若/ABC=/BEF=60。探究PG与PC的位置关系及PG的值.PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及吧的值；PC(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中白其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)若图1中/ABC=NBEF=2a(00<a<90,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG的值(用含a的式子表示).PC1 .如图，MBC是等腰直角三角形，/C=90，点M,N分别是边AC和BC的中点