信号处理中的数学方法--实验作业1

1、Numerical Analysis（数值分析） School of Electronic Science and Engineering, NJU 聂永明实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根Wilkinson多项式: 。 其中，1,2,n是Wilkinson多项式的n个根。 当Wilkinson多项式中某一项发生扰动时，其n个根也会相应发生变化 ？为考察扰动前后根的变化情况，令 随着参数k和的改变，计算多项式的根x(i)，i=1,2,n，并与Wilkinson多项式的根，i=1,2,n相对应，求出Wilkinson多项式每个根的病态指数。其中定义实

2、验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 图一和图二分别为n=5阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化 实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.5500.020.040.060.080.10.12k=0病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指

3、数变化实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.5500.050.10.150.20.250.30.35k=1病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.5500.10.20.

4、30.40.50.60.70.8k=2病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.5500.511.522.53k=3病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.

5、0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.550246810121416k=4病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化

6、实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根11.522.533.544.5505101520253035404550k=5病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100图图1 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 由图一可见，k一定时，对于较小的，每个根的病态指数基本不随变化（图中

7、绿蓝线都重合在一起），说明此时，根的相对偏差变化速度与的变化速度基本相等。1.0e-4时，病态指数随着的增大而减小，此时，根的相对偏差变化速度小于的变化速度 在不同的k下，对根的病态指数的影响不同。由图2可见，当时，每个根的病态指数随k的增大而增大，即高阶项扰动所产生的病态指数大；当1时，略有变化，k=4时的病态指数大于k=5时的病态指数，且，x=1这个根的病态指数大小与k成反比，即低阶项扰动所引起的病态指数大。实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 图三和图四分别为n=10阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化。总体来说，仍然满足病态指数随着的

8、增大而减小，随k的增大而增大。且10阶多项式高阶项扰动所带来的病态指数比5阶多项式的大，最高次项上的扰动所带来的病态指数最高可达13000以上。 图五和图六分别为n=20阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化。k以2步进。最低次项上的1.010-9扰动所带来的病态指数最高已达90000，最高次项上的1.010-9扰动所带来的病态指数最高更可达14107。表2是k=20时不同下每个根的病态指数变化。总体来说，仍然满足病态指数随着的增大而减小，随k的增大而增大。 综上所述，总体来说，病态指数随着的增大而减小，随k的增大而增大。 实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项

9、式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.55051015202530354045ep= 1.0e-009病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.55051015202530354045ep= 1.0e-006病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilki

10、nson多项式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.5505101520253035404550ep= 1.0e-003病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.5500.20.40.60.811.21.4ep= 1.0e+000病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：Wilk

11、insonWilkinson多项式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.5500.050.10.150.20.25ep= 1.0e+001病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图2 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化11.522.533.544.5500.020.040.060.080.10.120.140.160.18ep= 1.0e+002病态指数k=0k=1k=2

12、k=3k=4k=5实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化1234567891000.10.20.30.40.50.60.7k=0病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWi

13、lkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化1234567891000.10.20.30.40.50.60.7k=2病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化12345

14、67891000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5k=4病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化123456789100123456k=6病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep

15、=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化12345678910050100150200250k=8病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：Wilkins

16、onWilkinson多项式的根多项式的根图图3 n=103 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化1234567891002000400060008000100001200014000k=10病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 图三和图四分别为图三和图四分别为n=10n=10阶多项式随着阶多项式随着和和k

17、 k的改变的改变，每个根病态指数的变化。总体来说，仍然满足病态，每个根病态指数的变化。总体来说，仍然满足病态指数随着指数随着的增大而减小，随的增大而减小，随k k的增大而增大。且的增大而增大。且1010阶阶多项式高阶项扰动所带来的病态指数比多项式高阶项扰动所带来的病态指数比5 5阶多项式的大阶多项式的大，最高次项上的扰动所带来的病态指数最高可达，最高次项上的扰动所带来的病态指数最高可达1300013000以上。以上。实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图4 n=104 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指

18、数变化 1234567891002000400060008000100001200014000ep= 1.0e-009病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=9k=10实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图4 n=104 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化 1234567891002000400060008000100001200014000ep= 1.0e-006病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=9k=10实验作业一：实验作业一：Wilk

19、insonWilkinson多项式的根多项式的根图图4 n=104 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化 1234567891000.050.10.150.20.25ep= 1.0e+001病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=9k=10实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图4 n=104 n=10阶多项式在不同阶多项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化 1234567891000.010.020.030.040.050.06ep= 1.0e+002

20、病态指数k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=9k=10实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图5 n=205 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化024681012141618200123456789x 105k=0病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根

21、多项式的根图图5 n=205 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化024681012141618200123456789x 105k=10病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图5 n=205 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化02468101214161820

22、02468101214x 106k=17病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图5 n=205 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化0246810121416182002468101214x 107k=20病态指数ep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep

23、=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图6 n=206 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化0246810121416182000.511.522.533.5x 105ep= 1.0e-006病态指数k=0k=2k=4k=6k=8k=10k=12k=14k=16k=18k=20实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图6 n=206 n=20阶多项式在不同阶多

24、项式在不同k k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化0246810121416182000.511.522.533.54ep= 1.0e+000病态指数k=0k=2k=4k=6k=8k=10k=12k=14k=16k=18k=20实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图6 n=20阶多项式在不同阶多项式在不同k下每个根的病态指数变化下每个根的病态指数变化0246810121416182000.0050.010.0150.020.0250.03ep= 1.0e+002病态指数k=0k=2k=4k=6k=8k=10k=12k=14k=16k=18

25、k=20实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根表表2 k=20时不同时不同下每个根的病态指数下每个根的病态指数实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 图一和图二分别为n=5阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化。由图一可见，k一定时，对于较小的，每个根的病态指数基本不随变化（图中绿蓝线都重合在一起），说明此时，根的相对偏差变化速度与的变化速度基本相等。1.0e-4时，病态指数随着的增大而减小，此时，根的相对偏差变化速度小于的变化速度。表1列出了k=5时的具体数值。总体来讲，病态指数随着的增大而减小。 在不

26、同的k下，对根的病态指数的影响不同。由图2可见，当时，每个根的病态指数随k的增大而增大，即高阶项扰动所产生的病态指数大；当1时，略有变化，k=4时的病态指数大于k=5时的病态指数，且，x=1这个根的病态指数大小与k成反比，即低阶项扰动所引起的病态指数大。 图三和图四分别为n=10阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化。总体来说，仍然满足病态指数随着的增大而减小，随k的增大而增大。且10阶多项式高阶项扰动所带来的病态指数比5阶多项式的大，最高次项上的扰动所带来的病态指数最高可达13000以上。 图五和图六分别为n=20阶多项式随着和k的改变，每个根病态指数的变化。k以2步进。最低次项上的1

27、.010-9扰动所带来的病态指数最高已达90000，最高次项上的1.010-9扰动所带来的病态指数最高更可达14107。表2是k=20时不同下每个根的病态指数变化。总体来说，仍然满足病态指数随着的增大而减小，随k的增大而增大。 综上所述，总体来说，病态指数随着的增大而减小，随k的增大而增大。 实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 对上面的问题研究kn的情况，这时根的数量是增加的。特别注意研究新增加的根随参数变化的情况。 使用MATLAB编写代码，考察不同阶多项式对于kn的情况，随着k和的改变，新增加的根的变化。其中，n=5,10,20；k=且为整数；

28、以10倍速度从1.0e-9变化到100。 -12-10-8-6-4-202x 108-4-3-2-101234x 104ep= 1.0e-009ImRek=6k=7k=8k=9k=10k=11k=12k=13k=14k=15-12-10-8-6-4-202x 105-1500-1000-500050010001500ep= 1.0e-006ImRek=6k=7k=8k=9k=10k=11k=12k=13k=14k=15实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根图图7 n=5阶多项式在不同阶多项式在不同k下新增根的变化下新增根的变化-3-2.5-2-1.5-

29、1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52ep= 1.0e+001ImRek=6k=7k=8k=9k=10k=11k=12k=13k=14k=15-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5ep= 1.0e+002ImRek=6k=7k=8k=9k=10k=11k=12k=13k=14k=15实验作业一：实验作业一：WilkinsonWilkinson多项式的根多项式的根 图8 n=10阶多项式新增根随阶多项式新增根随的变化的变化 -12-10-8-6-4-20 x 108-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81k=11ImReep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100-30-25-20-15-10-50-4-3-2-101234x 104k=12ImReep=1.0e-9ep=1.0e-8ep=1.0e-7ep=1.0e-6ep=1.0e-5ep=1.0e-4ep=1.0e-3ep=1.0e-2ep=1.0e-1ep=1.0ep=10ep=100实验作业一：实验作业一