高考数学总复习第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第四章第四章 三角函数与解三角形三角函数与解三角形第六节第六节函数函数y=Asin(x+)y=Asin(x+)的图象的图象及应用及应用必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义,能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“

2、这种简化标题 关键能力 突破 1.用用“五点法五点法”画画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图时,一般步骤为列表,描点,连线.列表如下:必备知识 整合 必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 x-+-x+02y=Asin(x+)0A0-A02322232必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asi

3、n(x+)(A0,0,0)的图象的步骤必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 提醒提醒注意以上两种变换的区别和联系联系:上述两种变换方法都是针对x而言的,即x本身加减多少,而不是x加减多少.区别:先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位长度,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移),平移的量是个单位长度.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 3.函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理

4、意义(1)振幅为A.(2)周期T=.(3)频率f=.(4)相位是x+.(5)初相是.21T2必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 知识拓展知识拓展1.函数y=Asin(x+)+k的图象的平移规律:“左加右减,上加下减”.2.函数y=Asin(x+)图象的对称轴由x+=k+,kZ确定;对称中心的横坐标由x+=k,kZ确定.2必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)将函数y=3si

5、n2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.()(2)若函数y=Acos(x+)的最小正周期为T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(3)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()424x2T必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 (4)当函数y=sinx的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的时,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.()1212必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”

6、考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.(新教材人教A版必修第一册P239T2改编)为了得到y=3cos的图象,只需把y=3cos图象上所有点的()A.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变D.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变38x8x1313D必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 3.(2020四川泸县第五中学模拟)为了得到函数y=sin3x-cos3x的图象,只需要将函数y=2cos3x的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长

7、度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度366518518D必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 4.(2020课标,7,5分)设函数f(x)=cos在-,的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为()A.B.C.D.6x109764332C必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 5.(易错题)函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是y=sinx.【易错点分析】【易错点

8、分析】对横坐标伸缩与的关系不清楚致误.12必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 6.(易错题)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数解析式为y=2sin.【易错点分析】【易错点分析】对图象平移与的关系不清楚致误.26x1423x必备知识 整合 关键能力 突破 考点一函数考点一函数y=Asin(x+)的图象及图象变换的图象及图象变换关键能力 突破 1.(2020湖南长沙雅礼中学模拟)要得到函数y=cos的图象,可以把函数y=sin的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向

9、左平移个单位长度D.向左平移个单位长度26x26x612612D必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析函数y=cos=sin2x-+=sin=sin,所以只需将y=sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y=cos的图象.26x62266x2126x26x1226x必备知识 整合 关键能力 突破 2.(2020陕西西安模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移a(a0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图象,则a的最小值为()A.B.C.D.23x35122312B必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由题意知,将f(x)=sin的图象向左平移a(a0)个单位长度得到函数g(x)=s

10、in=sin的图象,所以2a-=+2k(kZ),当k=0时,a取最小值.23x2()3xa223xa32512必备知识 整合 关键能力 突破 3.(2020云南昆明禄劝第一中学模拟)将函数f(x)=Acos(2x+)(0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于y轴对称,则=()A.B.C.D.6434323D解析解析D由题意得g(x)=Acos=Acos,因为g(x)的图象关于y轴对称,所以+=k(kZ),因为00)个单位长度,得到函数g(x)=2sin的图象,则m的最小值是()A.B.C.D.24x23x72417245241924B必备知识 整合 关键能力

11、突破 解析解析把函数f(x)=2cos的图象向左平移m(m0)个单位长度,得到g(x)=2cos=2cos的图象,又g(x)=2sin=2cos=2cos=2cos,24x2()4xm224xm23x223x526x526x必备知识 整合 关键能力 突破 2m-=-+2k,kZ,得m=-+k,kZ.m0,当k=1时,m有最小值,此时m=-=.7241724456724必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评1.由y=sinx的图象到y=sin(x+)的图象的变换:向左平移(0,0)个单位长度而非个单位长度.2.如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数

12、,为负时应先变成正值.必备知识 整合 关键能力 突破 考点二由函数考点二由函数y=Asin(x+)的图象求解析式的图象求解析式典例典例1(1)函数f(x)=Asin(x+)其中A0,0,|的部分图象如图所示,则f的值为()A.-B.-C.-D.-121124623222D必备知识 整合 关键能力 突破 (2)已知函数f(x)=Asin(x+)+B(A0,xR,0,|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.23x必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由题图可得A=,最小正周期T=4=,所以=2.又f=sin=-,所以+=+2k,kZ,即=+2k,kZ,因为|

13、,所以=,271232T71227627632323必备知识 整合 关键能力 突破 所以f(x)=sin,所以f=sin=sin=-1,故选D.(2)由题图可知,函数f(x)的最大值为A+B=3,最小值为-A+B=-1,由得A=2,B=1.T=2=,由=,解得=2.由f=2sin+1=-1,223x112421112325451212 212212 必备知识 整合 关键能力 突破 得sin=-1,故-=2k-(kZ),得=2k-(kZ),因为|0,0)的步骤和方法(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.(2)求.确定函数的最小正周期T,则=.(3)求.常用的方法:代入法:把

14、图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,b已知)或代入图象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).2Mm2Mm2T必备知识 整合 关键能力 突破 特殊点法:确定值,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:“最大值点”(即图象的“峰点”):x+=+2k(kZ);“最小值点”(即图象的“谷点”):x+=+2k(kZ).232必备知识 整合 关键能力 突破 1.(多选题)(2020新高考,10,5分)如图是函数y=sin(x+)的部分图象,则sin(x+)=()A.sinB.sin3x23xC.cosD.cos26x526xBC必备知识 整合 关键能力 突破 解析解

15、析由题图可知,=-=,T=,由T=可知,=,|=2,不妨取=2,则f(x)=sin(2x+),又图象过,sin=0,又是f(x)的下降零点,+=+2k,kZ,=+2k,kZ,不妨取=,则f(x)=sin=sin 2x+=cos,f(x)=sin2x+=sin=sin,故选BC.2T23622|2|,063632323223x6226x2323x23x必备知识 整合 关键能力 突破 2.(2020江苏连云港赣榆模拟)已知函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移a(a0)个单位长度后,所得图象关于直线x=对称,则a的最小值为.0,|,02A343必备知识 整合

16、 关键能力 突破 解析解析由题图可得A=1,=-,得=2.因为函数f(x)的图象过,所以f=sin=0,所以2+=+2k,kZ,因为|0)个单位长度后,得到函数y=sin的图象,由所得图象关于直线x=对称,1427123,0332332323x223xa34必备知识 整合 关键能力 突破 可得2+2a+=k+,kZ,即a=-,kZ.因为a0,所以当k=2时,a取得最小值.34322k233必备知识 整合 关键能力 突破 考点三函数考点三函数y=Asin(x+)的综合应用的综合应用角度一图象与性质的综合角度一图象与性质的综合典例典例2(2020内蒙古通辽蒙古族中学模拟)已知函数f(x)=sin(

17、x+)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,则()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)在上单调0,|223,0312,6 3 D必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析因为函数f(x)=sin(x+)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离为,所以周期T=,所以A错误;=2,所以函数f(x)=sin(2x+),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象的解析式为y=sin.0,|222T3223x必备知识 整合 关键能力 突破 因为其图象关于

18、y轴对称,所以+=+2k,kZ,即=-+2k,kZ.因为|,所以=-,即f(x)=sin,其图象的对称中心满足2x-=k,kZ,解得x=+,kZ,所以B错误;其图象的对称轴满足2x-=+k,kZ,解得x=+,kZ,所以C错误;其单调增区间满足-+2k2x-+2k,kZ,解得-+kx+k,kZ,所以D正确.23262626x6122k6232k26263必备知识 整合 关键能力 突破 角度二三角函数与数形结合的综合角度二三角函数与数形结合的综合典例典例3已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是(-2,-1).3,2必备知识 整合 关键能力 突破

19、 解析解析方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin,x.设2x+=t,则t.所以题目条件可转化为=sint,t有两个不同的实数根.所以直线y=和函数y=sint,t的图象有两个不同的交点,如图:33326x,26713,662m713,662m713,66必备知识 整合 关键能力 突破 由图象知,的取值范围是,故m的取值范围是(-2,-1).2m11,2 必备知识 整合 关键能力 突破 变式变式1若将本例中的“有两个不同的实数根”变为“有实数根”,则m的取值范围是-2,1).解析解析由典例3知,若方程在上有实根,则的取值

20、范围是,所以-2m1,所以m的取值范围是-2,1).,22m11,2必备知识 整合 关键能力 突破 变式变式2若将本例中的“有两个不同的实数根”变为“有一个实数根”,则m的取值范围是-1m1或m=-2.解析解析由典例3知,若方程在上有一个实数根,则-或=-1,所以-1m0,0,|50+20,得-40cos20,232232t2201732232t23t323t3必备知识 整合 关键能力 突破 即cos-,所以2k+t2k+,kN,所以3k+t0,0)的形式.(2)画出在一个周期上的函数图象.(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题.必备知识 整合 关键能力 突破 3.三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020四川南充模拟)函数f(x)=Asin(2x+)的部分图象如图所示,则下列叙述正确的是() A.是函数f(x)图象的一个对称中心B.函数f(x)的图象关于直线x=对称0,02A,0123C.函数f(x)在区间上单调递增D.函数f(x)的图象可由y=Asin2x的图象向左平移个单位长度得到,3 3 6A必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由题