曲线积分ppt课件

1、1积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式2第一型第一型(对弧长对弧长)第二型第二型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系规范方式规范方式物理意义物理意义计算方法计算方法类似处类似处不同处不同处曲线积分曲线积分 Lsyxfd),( Lszyxfd),( LyQxPdd, 0),( yxf当当zRyQxPLddd LLsQPyQxP)dcoscos(dd ),( ),(上上

2、为有向曲线弧为有向曲线弧其中其中Lyxyx .),(处处切切向向量量的的方方向向角角点点yx LyQxPWdd )()( tytxL ：设曲线设曲线 t1.都是化曲线积分为都是化曲线积分为 定积分计算。定积分计算。2.都要把曲线表示式都要把曲线表示式 代入被积函数。代入被积函数。tttsd)()(d22 积分下限积分下限 上限上限ttxd)(d ttyd)(d L方向：从方向：从AB积分下限为起点积分下限为起点A的的 t 值值上限为终点上限为终点 B的的 t 值值此处下限是此处下限是 , 上限是上限是.1. 第第型、第型、第型曲线积分的比较型曲线积分的比较. ),( d),(MyxfsyxfL

3、件的质量件的质量的曲线型构的曲线型构线密度为线密度为表示表示 .所作的功所作的功到点到点从点从点沿沿BALL指曲线指曲线 AB QPF, 表表示示力力3第一型第一型(对面积对面积)第二型第二型(对坐标对坐标)两型之间两型之间的关系的关系规范方式规范方式物理意义物理意义计算方法计算方法曲面积分曲面积分 Szyxfd),(. ),( d),(, 0),( MzyxfSzyxfzyxf壳的质量壳的质量的空间曲面薄的空间曲面薄面密度为面密度为表示表示当当 yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 指空间曲面指空间曲面 cos, coscos ，其中其中.方方向向余余弦弦指指定

4、定一一侧侧的的法法线线向向量量的的为为曲曲面面 ),(yxzz ：设设曲曲面面 面面投投影影区区在在且且xOy 则则 上上侧侧yxzyxRdd),( 为有向曲面为有向曲面yxRxzQzyPdddddd , xyD域域为为 xyDyxyxzzyxzyxfdd1),(,22 xyDyxyxzyxRdd),(, ),(yxzz ：设有向曲面设有向曲面 下侧下侧yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(, SRQPd)coscoscos( 则则. Szyxfd),( 2. 第第型、第型、第型曲面积分的比较型曲面积分的比较V 表表示示在在速速度度场场 侧的流体的流量。侧的流体的流量。指定一

5、指定一曲面曲面时间内流向有向时间内流向有向单位单位中中 , RQP4处置处置平面的曲线积分与二重积分的联络平面的曲线积分与二重积分的联络3. 格林公式格林公式 DLyxyPxQyQxPdd)(ddLDDLl DlLyxyPxQyQxPyQxPdd)(dddd(逆逆)(顺顺)围围成成由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线平平面面上上闭闭区区域域LDxOy . 11),(),( . 2CyxQyxPD 函函数数上上在在那么有那么有其中其中 L 是是 D 的整个正向边境曲线的整个正向边境曲线.假设：假设：特殊情况特殊情况(D是复连通的是复连通的)下，格林公式成为：下，格林公式成为：, yPxQD 内又有内

6、又有若在若在(逆逆)(逆逆) lLyQxPyQxPdddd 则则问题。问题。54. 平面曲线积分的四个等价命题平面曲线积分的四个等价命题; (1)是是单单连连通通区区域域平平面面区区域域 D;dd (2)(有有关关与与终终点点与与路路径径无无关关，只只与与起起点点曲曲线线积积分分BAyQxPABL 内内恒恒成成立立；在在DxQyP (3). ddd),( (4)yQxPuyxuD 使使内内存存在在二二元元函函数数在在 ; 0dd (1) LyQxPLD上上的的积积分分为为零零，即即内内任任何何一一闭闭路路沿沿1),(),( (2)CyxQyxPD 内内函函数数在在：则则下下面面的的四四个个命命

7、题题等等价价.假设其中一个成立，另外三个也成立。假设其中一个成立，另外三个也成立。等价的意义是：等价的意义是：设设65. 高斯公式高斯公式曲面积分与三重积分的联络曲面积分与三重积分的联络 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( . 1围成；围成；由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面空间闭区域空间闭区域 .),(),(),( . 21CzyxRzyxQzyxP 函函数数上上在在那么有那么有其中其中 是是 的整个边境曲面的外侧的整个边境曲面的外侧.假设：假设： SRQPd)coscoscos( . ),( cos,cos,cos处处外外法法向向的的方方向向余余弦弦在在点点是是zyx .

8、处置处置问题问题.76.曲面积分与曲面无关的条件曲面积分与曲面无关的条件. ; (1)是是空空间间二二维维单单连连通通区区域域G. 0 (3)内内恒恒成成立立在在GzRyQxP 无无关关，与与所所取取的的曲曲面面 dddddd (1)yxRxzQzyP.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 内内函函数数在在：内内下下面面的的三三个个命命题题等等价价则则在在 G设设的的只只与与 边边界界曲曲线线有有关关；;0,dddddd (2)中中任任一一闭闭曲曲面面是是其其中中GyxRxzQzyP .8;.7. Stokes 公式公式曲线积分与曲面积分的联络曲线积分与曲面积分的联络 .

9、1闭闭曲曲线线，为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向假设：假设：向向曲曲面面，为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 处置处置问题问题 97. Stokes 公式公式曲线积分与曲面积分的联络曲线积分与曲面积分的联络 yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( . 1闭闭曲曲线线，为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向 . 2内内，在在内内的的空空间间区区域域在在包包含含曲曲面面 那么有那么有假设：假设：向向曲曲面面，为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 .的的侧侧符符合合右右手手法法则则的的正正向向与与 .),(),(),(1CzyxRzyxQzy

10、xP 函函数数 RyQxPdzdd处置处置问题问题.或或记记为为 RQPzyxyxxzzydddddd. dzdd RyQxP. 10*8 空间曲线积分的四个等价命题空间曲线积分的四个等价命题.; (1)是是一一维维单单连连通通区区域域空空间间区区域域 G与与路路径径无无关关，内内曲曲线线积积分分在在 )(ddd (2)ABLzRyQxPG内恒成立；内恒成立；在在，GyRzQzPxRxQyP (3) . dddd),( (4)zRyQxPuzyxuG 使使内存在函数内存在函数在在; 0ddd (1) LzRyQxPLG的的积积分分为为零零，即即内内任任一一闭闭曲曲线线沿沿.),(),(),(

11、(2)1CzyxRzyxQzyxPG 内内函函数数在在：则则下下面面的的四四个个命命题题等等价价设设;有有关关与与终终点点BA只只与与起起点点.11;.9. 散度散度 的的散散度度。记记为为 设设有有向向量量场场在在空空间间直直角角坐坐标标系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA zRyQxPA div ),(),( zyxzyxAzRyQxP在在点点称称为为向向量量场场则则数数量量函函数数 例：例：).div(gradgrad,),(2uuCzyxfu和和求求设设 解：解：,gradzyxfffu .)div(gradzzyyxxfffu .1210. 旋

12、度旋度 设设有有向向量量场场在在空空间间直直角角坐坐标标系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 称为向量场称为向量场向量向量 )()()(kyPxQjxRzPizQyR ),(),(处处的的旋旋度度。记记为为在在点点zyxzyxA rotRQPzyxkjiA 例：例：.rot, ,222AzxyzxyA求求设设 解：解：,222zxRyzQxyP ,2 yzQRzy 由轮序对称性，由轮序对称性，.,.2rotxyzxyzA 13_._),( )(),( )4(则则曲曲线线质质量量为为上上任任一一点点的的密密度度已已知知平平面面曲曲线线yx ttyytx x

13、 ._ ),(),( )1(所所作作的的功功为为到到点点点点从从沿沿平平面面有有向向曲曲线线，则则已已知知变变力力BACFjyxQiyxPF ._ ),(),(),( )2(所所作作的的功功为为到到点点从从点点曲曲线线沿沿空空间间，则则若若变变力力BACFkzyxRjzyxQizyxPF ._ ),(),(),( )3(的的流流量量为为内内流流过过曲曲面面单单位位时时间间，则则流流体体在在若若流流速速 kzyxRjzyxQizyxPV11.曲线积分和曲面积分的运用曲线积分和曲面积分的运用: 填空填空. AByQxPWdd ABzRyQxPWddd yxRxzQzyPdddddd ttytxty

14、txMd)()()(),(22.14;.二二 以下计算对吗？以下计算对吗？.,: ,dd . 122233所围区域所围区域为为正向正向用格林公式计算用格林公式计算LDayx LxyyxL 解：解： yxyxxyyxDL d)d(3dd2233 aD yxyPxQ)(322 a 34 yxaD dd32 x0yL 上上，定定义义在在区区域域因因为为Dyx)(322 .0222ayx .上上不不是是定定义义在在曲曲线线 L正正确确解解法法是是： rrryxyxDD dd3d)d(3222 . 234a .以上解法对吗？以上解法对吗？.15;. xyDyxzyxszyxIddd2222二二2. 22

15、22222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a 型型。属属于于第第的的积积分分是是对对球球面面面面积积因因为为 I , I正正确确解解法法是是： yxyxaayxayxIxyD dd22222222 .以上解法对吗？以上解法对吗？.d 22 szyxI计计算算Dxyyozx21 1 2,:2221yxaz .ddd222yxyxaas ,:2222yxaz ,:222ayxDxy .ddd222yxyxaas xyDyxyxaayxayxdd)(22222222,:222ayxDxy . 0 .16;.0)dd(dd xyx

16、yDDyxzyxzI二二3. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a 是是对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分，因因为为 I代代入入。应应将将),(yxzz xyDyxyxaIdd222.以上解法对吗？以上解法对吗？.dd yxzI计计算算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重积积分分时时， xyDyxyxa)dd(222 xyDyxyxadd2222型型。属属于于第第II arrra022 2 0dd2 .3 43a 17;. xyxyDDyxyyxyI)dd(dd0)

17、dd(dd xyxyDDyxyyxyI二二4. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面，的外侧表面，：球面：球面解：解：a ，也也是是对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分 I代代入入。已已经经将将 ),(yyxzz .以上解法对吗？以上解法对吗？.dd yxyI计算计算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重积积分分时时，型型。属属于于第第II取上侧；取上侧；取下侧取下侧. 0 18;.52 34dddazyxaI 二二5. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圆域：平面上的圆域：为为的外侧表面

18、，的外侧表面，：球面：球面解：解：a rrrI ddd sin22.以上解法对吗？以上解法对吗？.dddddd 222 xzyzzyxyyxzxI计算计算yozx.222zyxRQPzyx 使使用用高高斯斯公公式式时时，函函数数 arr04 0 20ddsind .5 45a . 所所围围球球体体是是球球面面其其中中 上上。上上，不不是是球球面面定定义义在在球球体体 正正确确解解法法是是：19;.组成的分段光滑曲线。组成的分段光滑曲线。的直线段的直线段与连接点与连接点间的劣弧间的劣弧之之圆介于点圆介于点是以原点为圆心的单位是以原点为圆心的单位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(,)1 ,

19、 0(),0 , 1( d)( . 1 线线。组组成成的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲的的线线段段到到上上从从点点与与直直线线的的有有向向弧弧段段到到上上从从点点是是曲曲线线，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 . 22 部部分分。的的第第一一卦卦限限介介于于是是曲曲面面， 402 d)(1 . 32222 zyxzSSyxzzS部部分分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd . 422 yhzyxzSzyxyS三 判别积分的类型并计算4个20 022200222002220022202222d d)D( ; d d)C( d d)

20、B( ; dd)A( ._ dd )3(RRRRyxzIRzyxSRRRS的的下下半半球球面面的的下下侧侧，则则是是.d)D( ;d2)C( ;d)B( ; d )A( ._d)0 , 0()1 , 1( )1(1001201102 yyxxyxyxyxBAxyLL的的一一段段弧弧，则则到到从从点点为为曲曲线线 36)D( ; 36)C( ; 18)B( ; 18)A( ._ d)3(d)( 9)4()1( )2(22 LyyxxxyyxL则则线线，按按顺顺时时针针方方向向的的边边界界曲曲是是圆圆域域四四 课堂练习课堂练习. 1. 单项选择题单项选择题BCB212. 计算题计算题所所作作的的功

21、功。力力方方向向运运动动一一周周，试试求求场场的的逆逆时时针针的的作作用用下下，沿沿着着圆圆周周在在场场力力的的点点，力力场场中中设设有有平平面面力力场场 4 )1(4)1(41 )1(222222FyxFMjyxxiyxyF . )0( )()()( )2(22233233RyxRzkRzjRyiRxA的的上上侧侧的的流流量量面面通通过过上上半半球球求求流流速速场场 d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),( )( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxOyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一个

22、个函函数数题题得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函数数是是使使，求求上上连连续续可可微微，且且在在设设函函数数22前往首页.23组组成成的的分分段段光光滑滑曲曲线线。的的直直线线段段与与连连接接点点的的劣劣弧弧之之间间圆圆介介于于点点是是以以原原点点为为圆圆心心的的单单位位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解解 Lsyxd)( BCAByxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中， tytxABsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x yBC dt d )(1

23、d2xxys d 2 x )ds( Lyx d210 x 22 . d)sin(cos2 ttt24线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C (1,4)解解三三2.1 BCABL. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：25线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从

24、点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解解1 CAL Dyxxy dd)11(22. yxxyy12241d)11(d 先先 x 4122123d)1(yyyy43 L d1d143 CAyxxy d14314 y 49 .三三2.26oxyz的的第第一一卦卦限限部部分分。介介于于是是曲曲面面， 402 d)(1 2222 zyxzSSyxzzS4解解三三3.Dxy2 :22yxzS dd1d22yxzzzyx dd122yx

25、yx d)1(22 SSzyx原原式式 dd1322 xyDyxyx 08:22 zyxDxy其其中中： 220220d13drrr 原原式式用平面极坐标用平面极坐标 2202220)d(1123drr 220232)(12 r 13 .2227部部分分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzSzyxySoxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分三三4.S由第一卦限和第二卦限中的锥面由第一卦限和第二卦限中的锥面S1和和S2构成构成.221:yzxS 其上侧在其上侧在yOz平面的投影为负；平面的投影为负；其上侧在其上侧在yOz平面的投影为正平面的投影为正.222:y

26、zxS 21SSS yzDzyyyzdd22 yzDzyyyzdd222hyzohz = yDyz yzDzyyyzdd)(22Dyz 图形？图形？ y先先. 64h .S1S2. dd20220 zhyyzyz.也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：28部部分分。上上侧侧的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzSzyxySoxyz解解类型：类型：II 型曲面积分型曲面积分需补助侧面需补助侧面S 右侧和半圆顶面右侧和半圆顶面S半圆下侧半圆下侧. SSSvxPd半半圆圆 xyDyxyxhyd)d(22hhDxy 图形？图形？ 极坐标极坐标. 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxDzyxyxy22dddS xyDS半半圆圆，又因又因 0dd Szyxy，半圆半圆 0dd Szyxy. 6dd4hzyxy