曲面的切平面与法线ppt课件

1、5 曲面的切平面与法线 若曲面方程为设 对各个变量有连续偏导数. 为曲面上一点,过点 任作一条在曲线 ,设其方程为显然对 求导,在 点(设此时对应于 )有前已知道,向量 正是曲线 在 在 点的切向量. 上式说明向量 0),(zyxF),(zyxF),(0000zyxM0Ml),(),(),(tzztyytxx0)(),(),(tztytxFt0M0tt 0)( )()( )()( )(000000tzFtyFtxFMzMyMx)( ),( ),( (000tztytxl0M)( ,)( ,)(000MzMyMxFFFn与切向量正交.由于 的任意性,可见曲面上过 的任一条曲线在该点的切线都与 正

2、交,因此这些切线应在同一平面上,这个平面就称为曲面在 点的切平面,而 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 点的切平面方程为 过 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 点的法线,它的方程是设 分别为曲面在 的法线与 轴正向之间的夹角,那么在 点的法线方向余弦为l0Mn0M0Mn0)()()()()(00000zZFyYFFMxMyMx0M0M000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX,0Mzyx,),(0000zyxM,)()()()(cos2220000MzMyMxMxFFFF 若曲线方程是它很容易化为刚才讨论过的情形于是曲面在点 （这里 ）的切平面方程为法线方程为,)()()(

3、)(cos2220000MzMyMxMyFFFF,)()()()(cos2220000MzMyMxMzFFFF),(yxfz , 0),(),(yxfzzyxF),(000zyx),(000yxfz , 0)()()()()(00),(0),(0000zZyYyzxXxzyxyx 最后，若曲面方程为参数形式如果由 决定了两个函数因此可以将 看为 的函数，这样问题就化为刚才已经讨论过的问题了.因此只要求出 及 .为此,将 分别对 求导,并注意到 为 的函数,按隐函数求导法则有),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(),(yxvvyxuu),(),(vuyyvuxxyx,zxzyz),(v

4、uzz vu,zyx,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz由这两个方程可解出 及 于是,在 点的切平面方程应为法线方程为对于曲面方程为显示表示及参数表示时,同样可写出它们在 点的法线方向余弦,请读者写出. 0Mxzyz,),(),(),(),(,),(),(),(),(vuDyxDvuDxzDyzvuDyxDvuDzyDxz0M)(),(),()(),(),(0000yYvuDxzDxXvuDzyDMM, 0)(),(),(00 zZvuDyxDM.),(),(),(),(),(),(000000MMMvuDyxDzZvuDxzDyYvuDzyDxX 例1 求曲面 在点 的切平面及法线方程.通常两曲线在交点的夹角,是指交点外两个切向量的夹角;两曲面在交线上一点的夹角,是指两曲面在交点的法线的夹角.如果两曲面在交线的每一点都正交,则称这两曲