高三第一轮复习_函数的奇偶性.

1、2.2 2.2 函数奇偶性函数奇偶性 (1)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内定义域内任意任意一个一个x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.1.1.函数的奇偶性函数的奇偶性 如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函是奇函数或偶函数，那么我们就说函数数f(x)具有具有_. (2)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内定义域内任意任意一个一个x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)奇偶性奇偶性注：注：如果函数如果函数f(x)既是奇函数又是偶函数，那么既是奇函数又是偶函数，

2、那么函数函数f(x)=_. 0 一般地，偶函数的图象关于一般地，偶函数的图象关于y轴轴对称，对称，反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴轴对称，那么对称，那么这个函数是偶函数这个函数是偶函数 ； 2.2.奇偶性的函数图象特点奇偶性的函数图象特点 奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点对称，对称，反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于原点原点对称，那么对称，那么这个函数是奇函数；这个函数是奇函数； (2)利用函数的图象判定利用函数的图象判定. 3.3.函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否根据定义判定，首先看

3、函数的定义域是否关于关于原点对称原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称，再判定若对称，再判定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x). 例例1 判断下列各函数的奇偶性：判断下列各函数的奇偶性：2(1)()1xxfxx21(2)()33xfxx例例1 判断下列各函数的奇偶性：判断下列各函数的奇偶性：2(1)()1xxfxx解析：解析：原函数的定义域为原函数的定义域为x|x1当当x=- -1时，时，- -x=1不在定义域内，不在定义域内，f(x)不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数.或者说：定义或者说：定义域不关于原点域不关于原点对称对称.所以

4、原函数的定义域为所以原函数的定义域为21(2)()33xfxx解析：解析： 依题意得依题意得210330 xx得得01x10 x或或2211()33xxfxxx21()()()xfxfxx 1, 0)(0,1故原函数为奇函数故原函数为奇函数.练习练习1 判断下列各函数的奇偶性：判断下列各函数的奇偶性：解析：解析：原函数的定义域为原函数的定义域为R.f(- -x)=|- -x+2|+|- -x- -2|=|x- -2|+|x+2|=f(x)f(x) 是偶函数是偶函数.(1)f(x)=|x+2|+|x- -2|例例2 已知函数已知函数f(x)对一切实数对一切实数x，y，都有，都有 f(x+y)=f

5、(x)+f(y)，（1）求证：）求证： f(x)是奇函数；是奇函数；（2）若）若f(- -3)=a，用，用a表示表示f(12).(1)证明证明：显然原函数的定义域是：显然原函数的定义域是R. .在在f(x+y)=f(x)+f(y)中，中，令令y=- -x，得，得f(0)=f(x)+f (- -x).令令x = y=0 ，得，得f(0)=f(0)+f (0)， f(0)=0 f(x)+f (- -x) =0 ，即，即f (- -x) = - -f(x) ， f(x)是奇函数是奇函数(2)解解： f(- -3)=a， f(12)=2f(6)=4f(3)=- -4f(- -3)=- -4a.例例3

6、已知函数已知函数是奇函数，求实数是奇函数，求实数a的值的值.(21)2( )21xxaf x解析：解析： 显然显然0在原函数的定义域内，在原函数的定义域内， 00(21)2(0)0,21af得得a=1.经检验，当经检验，当a=1时原函数为奇函数时原函数为奇函数.注：注：若若0在奇函数的定义域内，则必有在奇函数的定义域内，则必有f(0)=0.练习练习2 已知函数已知函数是奇函数，求实数是奇函数，求实数m的值的值.22( )1xmf xxm=2例例4 已知函数已知函数 f(x)=ax2+bx+c (2a3x1)是偶函数，求实数是偶函数，求实数a和和b的值的值.解析：解析： 依题意得依题意得 f(-

7、 -x)=f(x)，即，即 a(- -x)2- -bx+c=ax2+ +bx+cb=- -b=0而而(2a- -3)+1=0a=1.为什么？为什么？注：注：360P？故故a=1，b=0.例例5 已知奇函数已知奇函数f(x)是定义在是定义在(- -1,1)上的增函数，上的增函数，试求解关于试求解关于a的不等式的不等式 f(a- -2)+ f(a2- -4)0.解析：解析： 由已知得由已知得 f(a- -2)- - f(a2- -4) f(x)是奇函数，是奇函数，- - f(a2- -4)= f(4- -a2)， f(a- -2) f(4- -a2).又又f(x)是定义在是定义在(- -1,1)上的增函数，从而上的增函数，从而2224121141aaaa 32a解得解得即不等式的解集为即不