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1、解三角形1解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明,均设的三个内角的对边分别为,则有以下关系成立:(1)边的关系:,(或满足:两条较短的边长之和大于较长边)(2)角的关系:, , (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一:正弦定理及其应用1正弦定理:,其中为的外接圆半径 2正弦定理适用于两类解三角形问题:(1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边;(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解的可能),再计算第三角,
2、最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用 (1)中,若,则_; (2)中,若,则_; (3)中,若,则_; (4)中,若,则的最大值为_。总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能如图,在中,已知、 (1)若为钝角或直角,则当时,有唯一解;否则无解。(2)若为锐角,则当时,三角形无解; 当时,三角形有唯一解; 当时,三角形有两解; 当时,三角形有唯一解实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二:余弦定理及面积公式1余弦定理:在中,角的对边分别为,则有 余弦定理: , 其变式为:2余
3、弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题:(1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;(2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式(1) (、分别表示、上的高);(2)(3) (为外接圆半径)(4);(5) 其中(6)(是内切圆的半径,是三角形的周长)【例】考查余弦定理的基本应用(1)在中,若,求;(2)在中,若,求边上的
4、高;(3)在中,若,求【例】(1)在中,若,则中最大角的余弦值为_(2)(10上海理)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,则( ) A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形(3)以为三边组成一个锐角三角形,则的取值范围为_【例】考查正余弦定理的灵活使用(1)在中,若,其面积,则_(2)在中,若,则_(3)(07天津理)在中,若,则_(4)(10江苏)在锐角中,若,则_【例】判断满足下列条件的三角形形状 (1); (2); (3); (4); (5),板块三:解三角形综合问题【例】(09全国2)在中,角的对边分别为、,求【例】(11西城一模)在中,角的对边分别为,且, (1)当时,求角的度数; (2)求面积的最大值【例】在中,求的值和的面积【例】在中,角的对边分别为,已知,(1)若的面积等于,求;(2)若,求的面积【例5】(09江西理)在中,角的对边分别为,且,(1)求 (2)若,求【例】(09安徽理)在中,, (1)求的值; (2)设,求的面积 【例】(10辽宁理)在中,角的对边分别为,且 (1)求的大小; (2)求的最大值 【例】在中,角的对边分别为, (1)求的大小; (2)求的范围【例】(11全国2)设的内角的对边分别为,
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