ch极限的运算法则PPT课件

1、参考书(Reference): Thomas Calculus 美国微积分教材精粹选编 高等教育出版社第1页/共30页第四节 极限的运算法则1.4 The Laws of Operations on Limits第2页/共30页 本节通过无穷小的运算性质来讨论极限的运算法则. 主要内容本节要点一、无穷小与无穷大的概念二、极限的四则运算和复合运算法则第3页/共30页一、无穷小与无穷大 1. 无穷小无穷小 Infinitesimal注注 无穷小是一个以0为极限的变量，任何非零常数，即便它非常小，也不是无穷小.定义定义 如果 时函数 的极限为零，那么 就叫做 时的无穷小.引理引理 在自变量的同一变化

2、过程中，函数 有极限 的充分必要条件是 其中 是无穷小.第4页/共30页定理定理1 有限个无穷小之和是无穷小； 有界函数与无穷小之积是无穷小.证 设 是 的无穷小，今证 是无穷小. 因当 时，有当 时，有取 当 时有所以第5页/共30页 设 是 的无穷小， 是有界量，即当 时有 又因 是无穷小，所以，取 当 ，有即推论推论 常数与无穷小之积是无穷小； 有限个无穷小之积是无穷小.第6页/共30页Ex1. Find the limit解 因 ， 故由定理1得 下图是函数的图形，从图中可以看出，当 时，对应的函数值虽然交替地取正负值，但是却无限接近于0.0.第7页/共30页第8页/共30页 2.无穷

3、大无穷大 Infinity如果对任意给定的正数 总存在正数 （或正数 ），使得对定义域中的满足 （或 ）时，对应的函数值 满足不等式则称 为 时的无穷大，记为（则称 为 时的无穷大，记为如果当 时，对应的函数的绝对值)( xxx0 ,xf则称 为 时的无穷大. 即第9页/共30页例如 ， ， 则称 为 时的无穷大. 11 xxf则称 为 时的无穷大. 例如 ， ， | | xfxe 第10页/共30页注意，记号并不是表示极限 存在，而是表示函数当 时函数有确定的变化趋势（变化到无穷大）.如果 ，表示曲线 有垂直的渐近线 . 例如：xyo第11页/共30页解 若取则故 不是无穷大。例例2 试说明

4、函数 在 时不是无穷大.第12页/共30页 3.无穷小与无穷大的关系定理定理 在自变量同一过程中，若 是无穷大，则 是无穷小；若 是非零无穷小，则 是无穷大.第13页/共30页小结：函数变化趋势的几种情形：第14页/共30页二、极限的运算法则定理定理2 设 为了便于表述，我们用记号 表示自变量 等变化过程.若 则有第15页/共30页证 因 由引理得 其中 是无穷小，则由定理1，知 为无穷小，且仅证明（1 1）与（2 2）由定理1知，变量 为无穷小，故第16页/共30页更一般，若 则推论推论 若 是常数，则函数叫做函数的线性组合.第17页/共30页Ex3. Find the following

5、limits.解 所以（2）因根据极限运算法则，（1） （2）（3）第18页/共30页一般的，若多项式则（3）因为所以第19页/共30页若 且 则形如（1 1）式的函数称为有理函数.若 则 00 xP若 则 00P x 不确定.第20页/共30页极限 ，如果 并且 ，那么这种极限称为 型未定式. 之所以称它未定式这种极限可能是有限数, 也可能不存在. 0limxxf xg x 00limxxf x 00limxxg x00例如 ,lim11321 xxx分子和分母的极限均为0 0，且分子和分母均是多项式，故必有公因子 故消去公因子求极限：,1 x .limlimlim3211111111212

6、1321 xxxxxxxxxxxxx第21页/共30页Ex4. Evaluate the limit解 分子分母均除以 x3, 得 limxP xQ x当 时，如何求 ？ x第22页/共30页Ex5. Evaluate the limit解 分子分母均除以 ，得 第23页/共30页Ex6. Evaluate the limit解 考虑极限： 同例5，得该极限为0，故原式的极限第24页/共30页 对上面几个例子的分析，得到： 当 时有理函数 的极限:第25页/共30页定理定理3 (复合函数的极限运算法则) 设 及 ，且在点 的某去心邻域内 则复合函数 当 时的极限存在，且例如 求极限 解 令满足定理的条件，由此得到第26页/共30页Ex7. Find the limit解 方法方法 对 型的无理分式，可采用分子或分母有理