《测试技术与信号分析》

1、测试技术与信号分析测试技术与信号分析1.1 1.1 概述概述1.2 1.2 信号分类与描述信号分类与描述 1.3 1.3 信号的时域分析信号的时域分析1.4 1.4 周期信号及其频域分析周期信号及其频域分析1.5 1.5 非周期信号及其频域分析非周期信号及其频域分析1.6 1.6 随机信号及其分析随机信号及其分析主主要要内内容容第一章第一章交通信号灯交通信号灯信息信息信号信号信息的载体是光信号信息的载体是光信号红灯红灯亮亮黄灯黄灯亮亮绿灯绿灯亮亮停止停止通行通行注意注意1.1 1.1 概述概述( (什么叫信号什么叫信号) ) （1 1）信息：）信息： 信息是指人类社会和自然界中需要传送、交换、

2、存储信息是指人类社会和自然界中需要传送、交换、存储和提取的抽象内容。一般可理解为消息、情报或知识。和提取的抽象内容。一般可理解为消息、情报或知识。 比如：语言文字是社会信息；商品报道是经济信息；比如：语言文字是社会信息；商品报道是经济信息；古代烽火是外敌入侵信息。古代烽火是外敌入侵信息。 首先，信息不是物质，也不具备能量，但却是物质所首先，信息不是物质，也不具备能量，但却是物质所固有的，具有客观性，可理解为事物运动的状态和方式。固有的，具有客观性，可理解为事物运动的状态和方式。信息存在于一切事物之中，事物的一切变化和运动都伴随信息存在于一切事物之中，事物的一切变化和运动都伴随着信息的交换和传送

3、。着信息的交换和传送。 其次，信息具有抽象性，信息的传输依靠物质和能量。其次，信息具有抽象性，信息的传输依靠物质和能量。也就是说，信息只有通过一定的形式才能把它表现出来。也就是说，信息只有通过一定的形式才能把它表现出来。 （2 2）消息）消息 由于信息具有抽象性，只有通过一定的形式由于信息具有抽象性，只有通过一定的形式才能把它表现出来。才能把它表现出来。 将表示信息的语言、文字、图像、数据等称将表示信息的语言、文字、图像、数据等称为为消息，消息，而信息是消息之中赋予人们新知识与新而信息是消息之中赋予人们新知识与新概念的内容，是预先不知道的内容。概念的内容，是预先不知道的内容。 一般情况下，消息

4、不便于传送和交换，往往一般情况下，消息不便于传送和交换，往往需要借助于某种便于传送和交换的物理量作为运需要借助于某种便于传送和交换的物理量作为运载手段。载手段。 （3 3）信号）信号 “信号信号”一词在人们的日常生活和社会活动中并一词在人们的日常生活和社会活动中并不陌生。不陌生。 例如：时钟报时、汽车喇叭的声音、交叉路口的例如：时钟报时、汽车喇叭的声音、交叉路口的红绿灯、战场上的信号弹、电子计算机内部以及它和红绿灯、战场上的信号弹、电子计算机内部以及它和外围设备之间联络的电信号等，都是人们熟悉的信号。外围设备之间联络的电信号等，都是人们熟悉的信号。 信号：就是运载消息的随时间变化的物理量或者信

5、号：就是运载消息的随时间变化的物理量或者物理现象，其图像成为信号的波形。物理现象，其图像成为信号的波形。 a) a) 一般来说，传输消息的载体称为信号，所携一般来说，传输消息的载体称为信号，所携带的消息则体现在它们的变化之中，信号变化反映了带的消息则体现在它们的变化之中，信号变化反映了所携带信息的变化。交通信息的载体就是光信号。所携带信息的变化。交通信息的载体就是光信号。 b) b) 信号是物质，具有能量，有波形，是某信号是物质，具有能量，有波形，是某种具体的物理量。种具体的物理量。 老师讲课时发出的老师讲课时发出的是是声音信号声音信号，是以声波的，是以声波的形式发出的，传递的形式发出的，传递

6、的信息信息就是老师讲授的内容。就是老师讲授的内容。 c) c) 在研究、分析信号及其变换规律时，一在研究、分析信号及其变换规律时，一般将信号看成是随时间变化的函数。般将信号看成是随时间变化的函数。 d) d) 在作为信号的众多物理量中，电是应用在作为信号的众多物理量中，电是应用最广泛的物理量，因为它容易产生、传输和控制，最广泛的物理量，因为它容易产生、传输和控制，也容易实现与其它物理量的相互转换。因此，我也容易实现与其它物理量的相互转换。因此，我们通常所指的信号主要是电信号。们通常所指的信号主要是电信号。 （4 4）信号分析及其目的）信号分析及其目的： 测控系统中常见的信号主要有测控系统中常见

7、的信号主要有电信号、光信号、电信号、光信号、位移信号、速度信号位移信号、速度信号等不同物理量。等不同物理量。 信号分析：信号分析：运用数学工具分析测控对象信号类运用数学工具分析测控对象信号类别、构成、及其特征参数，提取有用信号，从而正别、构成、及其特征参数，提取有用信号，从而正确认识测控对象的内外部规律及其相互联系，为正确认识测控对象的内外部规律及其相互联系，为正确设计和选择测试控制系统提供依据。确设计和选择测试控制系统提供依据。 分析目的：分析目的：认识客观物理过程的内在规律，研认识客观物理过程的内在规律，研究各个物理量之间的相互关系，预测测量对象未来究各个物理量之间的相互关系，预测测量对象

8、未来的发展趋势。的发展趋势。 1.2 1.2 信号的分类信号的分类（1 1）按照信号随时间的变化规律分类）按照信号随时间的变化规律分类 根据信号的不同特性，可对信号进行不同分类。根据信号的不同特性，可对信号进行不同分类。 非平稳随机信号非各态历经信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号瞬态非周期信号准周期信号非周期信号复杂周期信号简谐周期信号周期信号确定性信号信号 a) a)确定性信号确定性信号: : 能完整地用数学模型或者数学关系式描述或者能完整地用数学模型或者数学关系式描述或者预测其随时间的变化关系。任何时刻的信号量值都预测其随时间的变化关系。任何时刻的信号量值都可以确定。可以确定。 例如

9、：例如：无阻尼质量无阻尼质量- -弹簧振动弹簧振动系统的位移信号可表示为：系统的位移信号可表示为：00( )coskx tXtm 根据信号波形是否有规律地重复再现，确定根据信号波形是否有规律地重复再现，确定性信号又可分为性信号又可分为周期信号周期信号和和非周期信号非周期信号。 周期信号周期信号 服从一定规律，按一定时间间隔周而复始出服从一定规律，按一定时间间隔周而复始出现的信号。数学表达式为：现的信号。数学表达式为：( )()x tx tnT21/Tf 其中：其中：称为信号的周期称为信号的周期2 f f称为角频率称为角频率称为频率称为频率L, 2, 1n00.020.040.060.080.1

10、0.120.140.160.180.2-1-0.500.5100.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2-1-0.500.5100.511.522.53-1.5-1-0.500.511.5三角波三角波T=0.02T=0.02锯齿波锯齿波T=0.02T=0.02矩形波矩形波T=0.5T=0.5简谐周期信号简谐周期信号: : 频率单一的正弦或余弦信号。频率单一的正弦或余弦信号。 周期信号又可分为周期信号又可分为简谐周期信号简谐周期信号和和复杂周期信号复杂周期信号。)3/100cos(2)(ttx00.020.040.060.080.1-2-1012复杂周期信号复杂

11、周期信号: :由多个乃至无穷多个频率成分由多个乃至无穷多个频率成分的简谐信号叠加而成，且存在公共周期的信号。的简谐信号叠加而成，且存在公共周期的信号。00.20.40.60.811.21.41.61.82-15-10-505101500.20.40.60.811.21.41.61.82-15-10-505101511/3T21/2TT = 1 )3/4sin(5)6/6sin(10)(tttx 谐波频率比为有理数，周期可根据谐波频率比为有理数，周期可根据各频率值的各频率值的最大公约数的倒数或各自周期的最大公倍数最大公约数的倒数或各自周期的最大公倍数来确定。来确定。 又如：又如：如果一个组合信号

12、是由频率分别为如果一个组合信号是由频率分别为44Hz、 724Hz、500Hz、600Hz的同相正的同相正弦波叠加而成，则该信号的周期多少？弦波叠加而成，则该信号的周期多少？(0.25s)02468101214-1.5-1-0.500.511.5ttttx5sin413sin21sin)( 准周期信号准周期信号: 由多个乃至无穷多个频率成分由多个乃至无穷多个频率成分的简谐信号叠加而成，但不存在公共周期的信号。的简谐信号叠加而成，但不存在公共周期的信号。特点是特点是各简谐信号频率比为无理数。各简谐信号频率比为无理数。非周期信号：非周期信号：指没有重复周期的信号，包括指没有重复周期的信号，包括准周

13、准周期信号期信号和和瞬态非周期信号瞬态非周期信号。tttx2sinsin)(05101520253035404550-2-1012 瞬态非周期信号瞬态非周期信号: : 在有限时间段内存在，或在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号或瞬变信号或者时限信号。变非周期信号或瞬变信号或者时限信号。 例如：例如：指数衰减振动信号指数衰减振动信号)6 10sin(5)(4tetxt00.511.5-4-3-2-1012345 注意：注意：直流信号直流信号是指幅值不随时间是指幅值不随时间变化的信号，是非变化的信号，是非周期信号

14、，实质上周期信号，实质上是一种频率为是一种频率为0 0的的周期信号。周期信号。汽车加速过程信号汽车加速过程信号 半个正弦信号半个正弦信号 矩形窗信号矩形窗信号 锤击物体的力信号锤击物体的力信号 b) b) 非确定性信号非确定性信号 无法用明确的数学关系式来表达、或者无法确无法用明确的数学关系式来表达、或者无法确切地预测未来任何瞬间精确值的信号称为切地预测未来任何瞬间精确值的信号称为非确定性非确定性信号信号，又称为，又称为随机信号随机信号。 如：如：均值为均值为0 0，方差为，方差为1 1的的高斯分布信号高斯分布信号如下：如下： 050100150200-3-2-10123 特点：特点：对于随机

15、信号，每次观测结果都不同，对于随机信号，每次观测结果都不同，但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用而可用概率统计方法概率统计方法来加以描述和研究，由过去估来加以描述和研究，由过去估计未来或找出某些统计特征量（计未来或找出某些统计特征量（均值均值、均方值均方值、均均方根值方根值、方差方差、标准差标准差、概率密度函数概率密度函数、相关函数、相关函数、功率谱密度函数功率谱密度函数等）。等）。 例如：例如：在工程实际中，随机信号随处可见，如在工程实际中，随机信号随处可见，如气温的变化、机器振动的变化等，即使同一机床同气温的变化、机器振动的变化等，

16、即使同一机床同一工人加工相同零部件，其尺寸也不尽相同。一工人加工相同零部件，其尺寸也不尽相同。 随机信号又可分为随机信号又可分为平稳平稳随机信号和随机信号和非平稳非平稳随机随机信号两类。信号统计特征不随时间发生变化的随机信号两类。信号统计特征不随时间发生变化的随机信号称为信号称为平稳随机信号平稳随机信号，否则称为，否则称为非平稳随机信号非平稳随机信号。噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)（2 2）按信号的独立变量及幅值连续性特征分类）按信号的独立变量及幅值连续性特征分类a) a) 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 独立变量取值连续的信号，称为连续信号；独立变量取值连

17、续的信号，称为连续信号；独立变量取值离散的信号，称为离散信号。独立变量取值离散的信号，称为离散信号。 汽车速度汽车速度（连续信号）（连续信号）锅炉水温锅炉水温度的变化度的变化（连续信号）（连续信号）每日股市每日股市指数变化指数变化（离散信号离散信号）某地每日某地每日平均气温平均气温（离散信号离散信号）每隔每隔5min5min测测定锅炉水的定锅炉水的温度变化温度变化（离散信号）（离散信号）每隔每隔2 2微秒微秒对正弦信号对正弦信号的采样信号的采样信号（离散信号）（离散信号） 在测控领域，独立变量主要有：在测控领域，独立变量主要有：时间、位移、时间、位移、速度、温度、压力速度、温度、压力等；等；若

18、信号的幅值和独立变量均连续，称为若信号的幅值和独立变量均连续，称为模拟信号模拟信号；若信号幅值离散，独立变量连续，则为若信号幅值离散，独立变量连续，则为量化信号；量化信号；若信号幅值和独立变量均离散，称为若信号幅值和独立变量均离散，称为数字信号数字信号；数字；数字计算机使用的信号都是计算机使用的信号都是数字信号数字信号；若信号幅值连续，而独立变量离散，则称为若信号幅值连续，而独立变量离散，则称为采样信号。采样信号。 模拟信号模拟信号数字信号数字信号采样采样量化量化 采样：采样：利用中断功能，每隔一段时间单片机利用中断功能，每隔一段时间单片机从环境中测量一次温度信息，从而得到时间上是从环境中测量

19、一次温度信息，从而得到时间上是离散的温度信号。离散的温度信号。 量化：量化：将温度幅值的取值数目加以限定，即将温度幅值的取值数目加以限定，即用离散的数字表示温度的数值。用离散的数字表示温度的数值。 例如：例如：温度范围温度范围20.020.020.720.7，取值限定在，取值限定在20.120.1、20.220.2、20.320.3、20.420.4、20.520.5、20.620.6、20.720.7等等8 8个值。个值。20.32520.325取取20.320.3、20.47620.476取取20.520.5。模拟模拟信号信号数字数字信号信号（3 3） 按信号的能量特征分类按信号的能量特征

20、分类 信号的功率：信号的功率：信号的能量：信号的能量：dttxtE)()(2)()(2txtPa) a) 能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，）内，能量为）内，能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：有限值的信号称为能量信号，满足条件： dttxtE)()(2一般持续时间有限的瞬态信号都是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号都是能量信号。b) b) 功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，）内，能量是无限）内，能量是无限的，此时研究信号的平均功率更为合适。的，此时研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功

21、率信号。212211( )dttx ttttdttx)(2 例题：例题：试判断下列各信号试判断下列各信号f(t)f(t)是否为周期信号，是否为周期信号，若是，求出其周期。若是，求出其周期。)(4cos10)( )9)302cos()( 8) )2(sin)( )75cos2sin)( )6 1)( )5cos2sin)( )4 10sin10cos)( )33sin2cos)( )2 )607cos()( ) 1222ttUtftetfttftttfttftttftttftttfttft解答：解答：周期信号必须周期信号必须具有周期性和无始无具有周期性和无始无终两个条件。第九信终两个条件。第九信

22、号为有始无终信号，号为有始无终信号，第八信号为指数衰减第八信号为指数衰减信号，第信号，第5 5信号不具有信号不具有周期性，第周期性，第4 4信号频率信号频率比为无理数，因此都比为无理数，因此都为 非 周 期 信 号 。为 非 周 期 信 号 。 例题：例题：判断图中各信号是连续信号还是离散信判断图中各信号是连续信号还是离散信号，若是离散信号，是否为数字信号。号，若是离散信号，是否为数字信号。解答：解答：数字信号数字信号一定是离散信号，一定是离散信号，但离散信号不一但离散信号不一定是数字信号，定是数字信号，只有量化了的离只有量化了的离散信号才是数字散信号才是数字信号，且数字信信号，且数字信号的量

23、化值可以号的量化值可以去任意的整数值。去任意的整数值。 例题：例题：判断下列各信号是功率信号还是能量信号。判断下列各信号是功率信号还是能量信号。)()( 8) )sgn()( )7100)( )6 )(5)( )5)453sin(4)2cos(6)( )4 Rt ,8)( )3)(20)( )2 )302cos(10)( ) 133ttfttftfttUtftttfetftUetfttftt解答：解答：有界的周期信号和直流信有界的周期信号和直流信号为功率信号，号为功率信号，1 1、4 4、6 6、7 7；有；有界的非周期信号为能量信号，界的非周期信号为能量信号，2 2；无界的周期和非周期信号为

24、非功无界的周期和非周期信号为非功率非能量信号，率非能量信号，3 3、5 5、8 8。 信号分析：信号分析：通过解析法或测试法找出不同信号的特通过解析法或测试法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握随时间或频率变化的规律。征，从而了解其特性，掌握随时间或频率变化的规律。 目的：目的： 一方面，通过信号分析，可以将一个复杂信号分解成一方面，通过信号分析，可以将一个复杂信号分解成若干简单信号分量之和，或者用有限的一组参量去表示一若干简单信号分量之和，或者用有限的一组参量去表示一个复杂波形的信号，从这些分量的组成情况或这组有限的个复杂波形的信号，从这些分量的组成情况或这组有限的参量去考察信号的特性；

25、参量去考察信号的特性； 另一方面，信号分析是获取信号源（主要指被研究的另一方面，信号分析是获取信号源（主要指被研究的系统）特征信息的重要手段，可以通过对信号特征的详细系统）特征信息的重要手段，可以通过对信号特征的详细了解，得到信号源特性、运行情况甚至故障等信息，这正了解，得到信号源特性、运行情况甚至故障等信息，这正是故障分析和故障诊断的基础。是故障分析和故障诊断的基础。1.3 1.3 信号的分析与处理信号的分析与处理 信号处理：信号处理：是指通过对信号的加工和变换，把一个信号是指通过对信号的加工和变换，把一个信号变换成另一个信号的过程。变换成另一个信号的过程。 例如例如: : 为了有效地利用信

26、号中包含的有用信息，采用一为了有效地利用信号中包含的有用信息，采用一定的手段剔除原始信号中混杂的噪声，削弱多余的内容，也定的手段剔除原始信号中混杂的噪声，削弱多余的内容，也可以把信号处理理解为为了特定的目的，通过一定的手段改可以把信号处理理解为为了特定的目的，通过一定的手段改造信号。造信号。 一方面，通过对信号的分析，可以充分了解信号的特性，一方面，通过对信号的分析，可以充分了解信号的特性，才能有效地对其进行处理和加工。另一方面，通过对信号的才能有效地对其进行处理和加工。另一方面，通过对信号的一定加工和变换，可以突出信号的特征，便于有效地认识信一定加工和变换，可以突出信号的特征，便于有效地认识

27、信号的特性。号的特性。 两者共同的目的都是为了充分地从信号中获取有用信息两者共同的目的都是为了充分地从信号中获取有用信息并实现对这些信息的有效利用。并实现对这些信息的有效利用。 目前，信号分析与处理原理及技术已经广泛地应用于目前，信号分析与处理原理及技术已经广泛地应用于通信、自动化、航空航天、生物医学、遥感遥测、语言处通信、自动化、航空航天、生物医学、遥感遥测、语言处理、图像处理、故障诊断、军事科学、振动学、地震学、理、图像处理、故障诊断、军事科学、振动学、地震学、气象学等各个科学技术领域，成为各门学科发展的技术基气象学等各个科学技术领域，成为各门学科发展的技术基础和有力工具。础和有力工具。

28、按照对信号分析和处理方法的不同，可以分为按照对信号分析和处理方法的不同，可以分为模拟处模拟处理系统和数字处理系统两大类理系统和数字处理系统两大类。其中：。其中： 1 1）模拟信号处理系统：）模拟信号处理系统：模拟滤波器就是一种典型的模拟信号处理系统模拟滤波器就是一种典型的模拟信号处理系统 2 2）数字信号处理系统：）数字信号处理系统： 数字信号处理系统是以数学运算的形式对信号实现分数字信号处理系统是以数学运算的形式对信号实现分析和处理，摒弃了传统的模拟电路处理信号的形式，因而析和处理，摒弃了传统的模拟电路处理信号的形式，因而具有处理功能强、精度高、灵活性大、稳定性好等突出优具有处理功能强、精度

29、高、灵活性大、稳定性好等突出优点，并且随着大规模集成电路技术的不断发展，处理的实点，并且随着大规模集成电路技术的不断发展，处理的实时性不断得到提高。数字信号处理是信号处理的发展趋势，时性不断得到提高。数字信号处理是信号处理的发展趋势，特别是一些复杂的信号处理任务更是如此。特别是一些复杂的信号处理任务更是如此。第二章第二章 连续信号的分析连续信号的分析2.1 2.1 连续信号的时域描述和分析连续信号的时域描述和分析 用一个时间函数或一条曲线来表示信号随时间用一个时间函数或一条曲线来表示信号随时间变化的特性，称为连续信号的时域描述。变化的特性，称为连续信号的时域描述。 比如：比如： ) 3/102

30、sin(10)(ttx00.20.40.60.81-10-50510（1 1）普通信号的时域描述）普通信号的时域描述1.1 1.1 正弦信号正弦信号fTtAtx12 )sin()(c) c) 如果如果 则则 为为复指数信号。复指数信号。1.2 1.2 指数信号指数信号tjsAetxst )(a) a) 如果如果 ，则，则 为直为直流信号流信号0 , 0Atx)(b) b) 如果如果 则则 为为实指数信号。实指数信号。0 , 0tAetx)(0 , 0tjteAetx)()(Im)(Re sincos )(txtxtjAetAeeAetxtttjt在信号的数学运算中经常会用到如下式子：在信号的数

31、学运算中经常会用到如下式子：Im2)sin(Re2)cos(sincos)()()()()()(tjttjtjttjtjeAeeAtAeAeeAtAtjte 复指数信号不可能实际复指数信号不可能实际产生，但产生，但: :一方面一方面，它的实部和虚部表，它的实部和虚部表示了指数包络的正弦型振荡，示了指数包络的正弦型振荡，具有一定的实际意义；具有一定的实际意义；其次，其次，它将直流信号、指数它将直流信号、指数信号、正弦型信号以及具有信号、正弦型信号以及具有包络线的正弦型信号表示为包络线的正弦型信号表示为统一的形式，并使信号的数统一的形式，并使信号的数学运算简练和方便。学运算简练和方便。（2 2）奇

32、异信号的时域描述）奇异信号的时域描述 奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊的连续时间信奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊的连续时间信号，其函数本身或者函数的导数（包括高阶导数）具有不号，其函数本身或者函数的导数（包括高阶导数）具有不连续点。它们是从实际信号中抽象出来的典型信号，在信连续点。它们是从实际信号中抽象出来的典型信号，在信号的分析中占有重要的地位。号的分析中占有重要的地位。2.1 2.1 单位斜坡信号单位斜坡信号0 00 )(ttttr2.2 2.2 单位阶跃信号单位阶跃信号0 00 1)(tttu 阶跃信号具有单边特性，可以用来描述信号的阶跃信号具有单边特性，可以用来描述信号的接入特性

33、。接入特性。 比如：比如： tttutusin)()(0 通过阶跃函数，还可以表示下图所示的矩形脉通过阶跃函数，还可以表示下图所示的矩形脉冲信号。冲信号。 )2()2()(tutuAtxdttdrtu)()(2.3 2.3 单位脉冲信号单位脉冲信号1)(0 00 )(dttttt 非零时刻的函数值均为零，非零时刻的函数值均为零，而与时间轴覆盖的面积为而与时间轴覆盖的面积为1 1。 )2()2(1lim)(0tutut特性：特性：1 1）具有取样（筛选）特性）具有取样（筛选）特性 )()()()()()0()()0()()(0000txdttttxdttttxxdttxdtttx2 2）具有偶函

34、数特性）具有偶函数特性 )0()()()()()()()()(xdxdxdtttx)()(tt3) 3) 脉冲信号与阶跃信号互为积分和微分关系脉冲信号与阶跃信号互为积分和微分关系0 00 1)()()()()()(ttddtdttdutudtt2.2 2.2 连续信号的时域运算连续信号的时域运算 (1) (1) 基本运算基本运算1.1 1.1 尺度变换尺度变换幅度尺度变换：幅度尺度变换： 表现为对原信号幅值表现为对原信号幅值的放大或者缩小，不改变的放大或者缩小，不改变信号的特性；信号的特性；时间尺度变换：时间尺度变换： 表现为原信号横坐标表现为原信号横坐标尺寸的展宽或压缩，改变尺寸的展宽或压缩

35、，改变了信号的特性。了信号的特性。比如：比如： 若若 x(t) x(t) 表示录音带的正常速度放音信号，表示录音带的正常速度放音信号，则则 x(2t)x(2t) 表示了两倍于正常速度放音的信号，表示了两倍于正常速度放音的信号，放出的声音比原信号尖锐刺耳，放出的声音比原信号尖锐刺耳， 而而 x(t/2)x(t/2) 表示了放慢一倍于正常速度放音表示了放慢一倍于正常速度放音的信号，放出的声音较为低沉。的信号，放出的声音较为低沉。 声音声调的变化正是由于信号的频率特性变声音声调的变化正是由于信号的频率特性变化引起的。化引起的。 由此表明：信号的频率特性与幅度不同，它由此表明：信号的频率特性与幅度不同

36、，它是信号的基本特征。是信号的基本特征。 1.2 1.2 翻转翻转1.3 1.3 平移平移1.4 1.4 叠加和相乘叠加和相乘1.5 1.5 卷积运算卷积运算dtxxdtxxtxtx)()( )()()()(122121 卷积积分在信号处理及其它许多科学领域具卷积积分在信号处理及其它许多科学领域具有重要的意义。有重要的意义。任意信号与脉冲信号的卷积有特任意信号与脉冲信号的卷积有特殊意义。殊意义。)()()()()()()(txdtxdtxttx)()()()()()()(0000ttxdttxdttxtttx)()()()()()()()()(2121212121tttxdtttxdtttxd

37、tttxttttx卷积运算满足下列运算规律卷积运算满足下列运算规律1 1）交换律）交换律2 2）分配律）分配律3 3）结合律）结合律)()()()(1221tftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf)()()()()()(321321tftftftftftf2.3 2.3 连续信号的分解连续信号的分解 为了便于信号的分为了便于信号的分析，常把复杂信号分解析，常把复杂信号分解成一些简单信号或基本成一些简单信号或基本信号。信号。 任意信号可以近任意信号可以近似地用一系列等宽度似地用一系列等宽度的矩形脉冲之和表示。的矩形脉冲之和表示。 kttktutktu

38、tkxtx) 1()()(lim)(0)()()()()()(lim) 1()()(lim) 1()()(lim)(000ttxdtxdtttutuxtttktutktutkxtktutktutkxtxktktkt 上式表明：任意信号可以用经平移的无穷多个上式表明：任意信号可以用经平移的无穷多个单位脉冲函数加权后的连续和表示，换言之，任单位脉冲函数加权后的连续和表示，换言之，任意信号可以分解为一系列具有不同强度的脉冲函意信号可以分解为一系列具有不同强度的脉冲函数。数。(1) (1) 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 在有限区间上，任何周期信号只要满足狄利在有限区间上，任何周

39、期信号只要满足狄利克雷条件，即只有第一类间断点、有限个极值点、克雷条件，即只有第一类间断点、有限个极值点、且收敛，都可展成傅里叶级数。且收敛，都可展成傅里叶级数。1001000)cos(2 )sincos(2)(nnnnnntnAatnbtnaatx2.4 2.4 连续信号的频域分析连续信号的频域分析 一、周期信号的频谱分析一、周期信号的频谱分析 22nnnAab 表明：周期函数可以分解为一个直流分量和无表明：周期函数可以分解为一个直流分量和无限个谐波分量之和，限个谐波分量之和，0 0 称为基波角频率。称为基波角频率。其中的其中的直流分量是信号在一个周期内的平均值。直流分量是信号在一个周期内的

40、平均值。 002T2/2/002/2/002/2/00000000sin)(2cos)(2)(2TTnTTnTTtdtntxTbtdtntxTadttxTa)arctan(nnnab 以频率为横坐标，幅值或相位为纵坐标所作的以频率为横坐标，幅值或相位为纵坐标所作的图形称为周期信号的图形称为周期信号的“三角频谱三角频谱”。其中，幅值与。其中，幅值与频率的关系图形称为频率的关系图形称为幅值频谱图幅值频谱图；相位与频率的关；相位与频率的关系图形称为系图形称为相位频谱图。幅值频谱和相位频谱相位频谱图。幅值频谱和相位频谱通称通称为为信号频谱，就信号频谱，就是构成信号的各频率分量的集合，是构成信号的各频率

41、分量的集合，表征信号的频率结构。表征信号的频率结构。 由于由于n n为正整数，各频率分量仅在基频的整数倍为正整数，各频率分量仅在基频的整数倍处取值，其相应谐波在频谱图中对应一根谱线，所处取值，其相应谐波在频谱图中对应一根谱线，所以以周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的。三角频谱中的角频率。三角频谱中的角频率( (或频率或频率f)f)从从0 0，谱线总是在横坐标的一边，因，谱线总是在横坐标的一边，因而而三角频谱也称作三角频谱也称作“单边谱单边谱”。例题例题1 1：画出下面信号画出下面信号x(t)x(t)的波形与频谱图的波形与频谱图 )3/22sin(5)6/32sin(10 )()()(

42、21tttxtxtx11223f解：解：22222f 02公共周期为1 (a) (a) x x1(1(t t) )的幅值频谱图的幅值频谱图 (b) (b) x x1(1(t t) )的相位频谱图的相位频谱图 (c) x2(t)(c) x2(t)的幅值频谱图的幅值频谱图 (d) x2(t)(d) x2(t)的相位频谱图的相位频谱图(e) x(t)(e) x(t)的幅值频谱图的幅值频谱图 (f) x(t)(f) x(t)的相位频谱图的相位频谱图 例题例题2 2：求下图所示周期性三角波的傅里叶级数的求下图所示周期性三角波的傅里叶级数的三角函数展开及其三角频谱。三角函数展开及其三角频谱。解：解：000

43、0(0)22( )(0)22TAAttTx tTAAttT 000222411( )(coscos3cos5)235AAx ttttLAdtTAtATdttxTaTTT2/0002/2/0000024)(2LL2,4,6,1,3,5, 04 cos24cos)(2222/00002/2/00000nnnAtdtnTAtATtdtntxTaTTTn0sin)(22/2/0000TTntdtntxTbL1,3,5, 42222nnAabaAnnnn0)arctan(nnnab方波信方波信号及其号及其各阶谐各阶谐波叠加波叠加逼近的逼近的情形情形(2) (2) 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的

44、复指数函数展开式 cos2jjeesin2jjeej则：则：将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换 tjnnnntjnnnntjnnnntjnnntjnnnejbaejbaejbaaejbaejbaatx000002 222 222)(11010nnjnjnnInRTTtjnnnneAeCjCCdtetxTjbaC2 )(122/2/0000令：令：则：则：tjnneCtx0 )(nnnRnInabCCarctan arctan 以复指数形式表示以复指数形式表示的频谱，称为复数频谱。的频谱，称为复数频谱。以以C Cn n的实部和虚部与的实部和虚部与nwnw

45、0 0的关系图，分别称为实的关系图，分别称为实频图和虚频图，其中频频图和虚频图，其中频率是双边的，复数频谱率是双边的，复数频谱为双边谱。为双边谱。CnCn称为称为复傅立复傅立叶系数叶系数 例例1：作出正弦、余弦函数的实、虚部频谱图以及作出正弦、余弦函数的实、虚部频谱图以及单边谱和双边谱。单边谱和双边谱。解：解：21 , 0Im ,21Re ,21 , 121 , 0Im ,21Re ,21 , 121212cos1111111100000CCCCnCCCCneeeettjtjtjtj2 ,21 ,21Im , 0Re ,2 , 12 ,21 ,21Im , 0Re ,2 , 122sin111

46、1111111000CCCjCnCCCjCnejejttjtj余弦信号及其频谱图余弦信号及其频谱图正弦信号及其频谱图正弦信号及其频谱图 例例2：画出信号画出信号 的三的三角频谱和双边频谱图。角频谱和双边频谱图。)42sin(2)(0tftx解：解：4 2nnA1）三角频谱）三角频谱2）双边频谱）双边频谱tfjtfjtfjtfjtfjtfjejejeeeejtftftx00000022222200221221 )(21)(2 )2cos()2sin()(4 ,22 ,21Im ,21Re ,221 , 14 ,22 ,21Im ,21Re ,221 , 11111111111CCCjCnCCCj

47、Cn 通过以上的讨论，常见通过以上的讨论，常见周期信号的频谱周期信号的频谱具有具有以下特点：以下特点： (1) (1) 离散性：离散性：频谱图中，每根谱线代表一个频谱图中，每根谱线代表一个谐波成分，谱线高度代表该谐波成分幅值大小；谐波成分，谱线高度代表该谐波成分幅值大小； (2) (2) 谐波性：谐波性：每条谱线只有在其基频的整数每条谱线只有在其基频的整数倍的离散点频率处才有值；倍的离散点频率处才有值； (3) (3) 收敛性：收敛性：谐波分量的幅值有随其阶数的谐波分量的幅值有随其阶数的增高而逐渐减小的总趋势。周期信号中增高而逐渐减小的总趋势。周期信号中高次谐波高次谐波分量分量很小，对信号波形

48、影响很小，有时可以忽略。很小，对信号波形影响很小，有时可以忽略。 在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从从0 0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度。 在设计和选用测试仪器时，测试仪器工作频率在设计和选用测试仪器时，测试仪器工作频率范围必须大于被测信号频宽，否则引起信号失真，范围必须大于被测信号频宽，否则引起信号失真，造成较大测量误差。造成较大测量误差。 通常将频谱中幅值下降到最大幅值的通常将频谱中幅值下降到最大幅值的1/101/10时所时所对应的频率作为信号频

49、宽，称为对应的频率作为信号频宽，称为1/101/10法则法则。 还可根据时域波形估计频宽：有突变信号频带还可根据时域波形估计频宽：有突变信号频带较宽，可取较宽，可取1010倍基频倍基频为频宽；无突变信号变化较缓，为频宽；无突变信号变化较缓，接近谐波，频带较窄，取接近谐波，频带较窄，取3 3倍基频倍基频为频宽。为频宽。 (3) (3) 周期信号的功率和功率谱周期信号的功率和功率谱 nnnnTnnnTCAadttnAaTdttxTP21220021000020212 )cos(21 )(100 表明：表明：周期信号在时域的平均功率等于信号所包周期信号在时域的平均功率等于信号所包含的直流、基波及各次

50、谐波的平均功率之和，反映含的直流、基波及各次谐波的平均功率之和，反映了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系，称了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系，称为功率信号的为功率信号的帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔公式。巴塞伐尔定理：巴塞伐尔定理：周期信号在时域中的平均功率（周期信号在时域中的平均功率（方方均值均值）等于该信号在频域中的信号功率。）等于该信号在频域中的信号功率。2nnCP 如果将各次谐波（包括直流）的平均功率分配如果将各次谐波（包括直流）的平均功率分配关系表示成谱线形式，就得到周期信号的功率频谱。关系表示成谱线形式，就得到周期信号的功率频谱。即：即： 一般情况下一个周期信号是由无穷多项正弦型

51、一般情况下一个周期信号是由无穷多项正弦型信号（直流、基波及各项谐波）组合而成。换言之，信号（直流、基波及各项谐波）组合而成。换言之，一般情况下，无穷多项正弦型信号的和才能完全逼一般情况下，无穷多项正弦型信号的和才能完全逼近一个周期信号。如果采用有限项级数表示周期信近一个周期信号。如果采用有限项级数表示周期信号，势必产生表示误差。号，势必产生表示误差。例题：例题：求下图所示周期矩形脉冲信号的功率，并考察求下图所示周期矩形脉冲信号的功率，并考察其功率谱的组成情况，设脉宽其功率谱的组成情况，设脉宽T=0.2sT=0.2s，T=1sT=1s。解：解：2 . 0)(1 )(12/2/22/2/2TTTT

52、dttxTdttxTP)2.0(sin2.0 2.0)2.0sin(2.0sin 1)(12/2/2/2/00ncnnTTnTTnTTdteTdtetxTCTTtjnTTtjnn%5 .90%1002 . 0181. 0 181. 0552PPCPnnn 信号频谱中第一次过零点以内（或称频谱主瓣）信号频谱中第一次过零点以内（或称频谱主瓣）所含各频率分量的功率总和为：所含各频率分量的功率总和为：(4) (4) 周期信号的强度周期信号的强度 1 1）峰值）峰值 用于描述信号用于描述信号x(t)x(t)在时域中出现的最大瞬时在时域中出现的最大瞬时幅值，是指波形上与零线的最大偏离值。幅值，是指波形上与

53、零线的最大偏离值。max)(txxP 对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，从而能真实地反映被测信号的最大值。从而能真实地反映被测信号的最大值。 2 2）均值）均值 周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的常值分量常值分量a a0 0。 000)(1TxdttxT周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值000)(

54、1TxdttxT 3 3）有效值）有效值 信号中的有效值就是均方根值，记录了信信号中的有效值就是均方根值，记录了信号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。0020)(1TrmsdttxTx 4 4）平均功率）平均功率 有效值的平方即均方值就是信号的平均功率。有效值的平方即均方值就是信号的平均功率。0020)(1TavdttxTP二、非周期信号的频谱分析二、非周期信号的频谱分析 瞬态非周期信号可以看做是周期趋于无穷大瞬态非周期信号可以看做是周期趋于无穷大的周期信号。当周期无限扩大时，周期信号频谱的周期信号。当周期无限扩大时，周期信号频谱谱线间隔在无限缩小，

55、趋于零，相邻谐波分量无谱线间隔在无限缩小，趋于零，相邻谐波分量无限接近，离散参数就变换成连续变量，离散频谱限接近，离散参数就变换成连续变量，离散频谱变成了连续频谱。因此，非周期信号也可看成是变成了连续频谱。因此，非周期信号也可看成是频率连续变化的谐波信号的叠加。频率连续变化的谐波信号的叠加。 傅里叶级数三角函数和复数求和运算变成了傅里叶级数三角函数和复数求和运算变成了积分运算。瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶积分运算。瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述。级数展开，而要用傅里叶变换来描述。 0j( )entnnx tC000/2j/201( )edTntnTCx t

56、tT设有一周期信号设有一周期信号000000 ,/2) ,(/2) /2,( ,ndTTTT则有：则有：dedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21 )(2)(deXtxdtetxXtjtj)(21)( )()(X X()()为单位频宽上的谐波幅值，具有为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度密度”的含义，的含义，称为瞬态信号的称为瞬态信号的“频谱密度函数频谱密度函数”，简称，简称“频谱函频谱函数数”。 )()(2dtetxfXftj 其中，其中，X X（f f）反映了信号不同谐波分量的振幅）反映了信号不同谐波分量的振幅与相位的变化情况。与相位的变化情况。)()( )(Im)(Re)(f

57、jefXfXjfXfX称为连续幅频谱称为连续幅频谱称为连续相频谱称为连续相频谱)( )(fjefX非周期信号的能量：非周期信号的能量：00220)(1 )(1 )(21)()(21 )()(21 )(21)(dSdXdXdXXddtetXXdtdeXtxEtjtj2)()(XS为为能量谱密度函数能量谱密度函数，简称，简称能量谱密度能量谱密度。仅取决于幅频谱的模，而与相位无关。仅取决于幅频谱的模，而与相位无关。傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 ：1 1） 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱R0 (2)( )1 (22)0 (2)tTw tTtTtT )(

58、sin)sin( 22/2/2 )()(2222/2/22ftcTfTfTTfjeeTTfjedtedtetwjfWftjftjftjTTftjftjRR 矩形窗函数的频谱密度函数为扩大了矩形窗函数的频谱密度函数为扩大了 T T 倍的倍的采样函数，只有实部，没有虚部。其幅值频谱为采样函数，只有实部，没有虚部。其幅值频谱为 R|()|sinc()|WjfTfT 通常定义通常定义 为取样函数或者滤波函为取样函数或者滤波函数或内插函数，函数图形如下图所示：数或内插函数，函数图形如下图所示：xxcxsinsin其相频谱为其相频谱为: :22210, 1, 2,.21200, 1, 2,.( )2210

59、0,1,2,.21220,1,2,.nnfnTTnnfnTTfnnfnTTnnfnTT 幅幅频频图图相相频频图图2 2）单位脉冲函数及其频谱）单位脉冲函数及其频谱 下图为各种脉冲函数（矩形脉冲、三角形脉下图为各种脉冲函数（矩形脉冲、三角形脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲冲、双边指数脉冲，钟形脉冲 等）的关系曲线。等）的关系曲线。0lim( )( )S tt称为单位脉冲函数称为单位脉冲函数从函数极限的角度看：从函数极限的角度看：从面积角度看：从面积角度看：0( )00ttt0( )dlim( )d1ttS tt单位脉冲函数的性质：单位脉冲函数的性质：1 1）筛选特性）筛选特性)()()()(000t

60、ttxtttx)()()(00txdttttx2 2）取样特性）取样特性3 3）卷积特性）卷积特性 )()()()()(txdttxttx)()()()()(000ttxdtttxtttx脉冲函数的频谱脉冲函数的频谱理想的白噪声理想的白噪声 直流信号的频谱直流信号的频谱 复指数信号及其频谱复指数信号及其频谱 3) 正、余弦信号的频谱正、余弦信号的频谱 )()(212cos)()()(22sin)()(212cos)(22sin0000002202200000fffftftyffffjtftxeetfeejtftfjtfjtfjtfj4) 一般周期信号的频谱一般周期信号的频谱 5) 周期单位脉冲