求圆锥曲线方程

1、2009年高考数学难点突破专题辅导二十三难点23 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.难点磁场1.()双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_.2.()如图，设圆P满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长比为31，在满足

2、条件、的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程.案例探究例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计，取3.14).命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，

3、点的坐标适合方程；积分法求体积.错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴.设双曲线方程为=1(a0,b0),则a=AA=7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2y1=20,由以上三式得：y1=12,y2=8,b=7故双曲线方程为=1.(2)由双曲线方程，得x2=y2+49设冷却塔的容积为V(m3),则V=,经计算，得V=4.25×103(m3)答：冷却塔的容

4、积为4.25×103m3.例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等

5、式.解法二，用韦达定理.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为

6、x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.例3如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.命题意图：本题考查待定系数法求双曲线

7、的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属级题目.知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的.技巧与方法：利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=，得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1,x1),P2(x2,x2)(x10,x20),则由点P分所成的比=2,得P点坐

8、标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2即x1x2=由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.锦囊妙计一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.歼灭难点训练一、选择题1.()已知直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，

9、O为坐标原点，若OPOQ，则m等于( )A.3B.3C.1D.12.()中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )二、填空题3.()直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_.4.()已知圆过点P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_.三、解答题5.()已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称

10、点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程.6.()某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.7.()已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.参考答案难点磁场1.解析：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF

11、1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.答案：12.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|圆P截y轴所得弦长为2，r2=a2+1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=r,故r2=2b2,从而有2b2a2=1又点P(a,b)到直线x2y=0的距离d=,因此，5d2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,当且仅

12、当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有,r2=2b2, r2=2于是所求圆的方程为：(x1）2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：设所求圆P的方程为(xa)2+(yb)2=r2(r0)设A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2+(yb)2=r2的两根，y1，2=b±由条件得|AB|=2，而|AB|=|y1y2|,得r2a2=1设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的两个根，x1，2=a±由条件得|CD|=r,又由|CD|=|x2x1|，得2

13、b2=r2,故2b2=a2+1设圆心P(a,b)到直线x2y=0的距离为d=a2b=±d,得a2=(2b±d)2=4b2±4bd+5d2又a2=2b21,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程，方程有实根.=8(5d21)0,得5d21.dmin=,将其代入2b2±4bd+5d2+1=0,得2b2±4b+2=0,解得b=±1.从而r2=2b2=2,a=±=±1于是所求圆的方程为(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2歼灭难点训练一、1.解析：将直线方程变为x=32y,

14、代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0.整理得5y220y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)则y1y2=,y1+y2=4.又P、Q在直线x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3.答案：A2.解析：由题意，可设椭圆方程为： =1,且a2=50+b2,即方程为=1.将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2

15、a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.答案： =14.解析：设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2则有由此可写所求圆的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=.代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为： =1.6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py,将A点坐标代入，得100=2p×(4),解得p=12.5,于是抛物线方程为x2=25y.由题意知E