一第一型曲面积分的概念与性质ppt课件

1、一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质 二、第一型曲面积分的计算法二、第一型曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 前往 终了 14.2.1.第一型曲面积分 oxyz一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形物质具有连续面密度设曲面形物质具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkk),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 前往 终了 d),(

2、SzyxM定义定义:设 S为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkf),(nk 10lim都存在,Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积函数,据此定义, 曲面形物质的质量为曲面面积为Sdf (x, y, z) 是定义在 S 上的一 个有界函数,记作第一类曲面积分第一类曲面积分.若对 S 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 S 上的S叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 前往 终了 则第一型曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21SS则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21

3、 线性性质.则为常数设,21kkSSzyxgkzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 S上连续, 第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似. 积分的存在性. 假设 S 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 前往 终了 oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf

4、),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 ),(yxzkSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面

5、方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 前往 终了 思索思索:假设 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,

6、) (dzS) (dzS0hln4aa那么hhoxzy机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 前往 终了 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,)

7、,(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD那么 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 前往 终了 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 前往 终了 思索思索: 若例若例3 中被积函数改为中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为求半径为R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心.解解: 设设 的方程为的方

8、程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例例 3 是否可用球面坐标计算是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 前往 终了 例例5. 计算计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系取球面坐标系, 那么那么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例6. 计算计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用

9、对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 前往 终了 zzd例例7. 计算计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后若将曲面分为前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 oyxzL

10、例例8. 求椭圆柱面求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 前往 终了 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐标系如图,

11、 覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球坐标系, 那么ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22机动 目录 上页 下页 前往 终了 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 阐明阐明: 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求 A (见下册见下册P109 例例2) . yzxohR R内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2

12、. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 前往 终了 如下图, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354

13、tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 前往 终了 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 前往 终了 备用题备用题 1. 已知曲面壳已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 设设 是四面体是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12S