212椭圆的简单几何性质ppt课件

1、1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的间隔之和为常数大于的间隔之和为常数大于|F1F2 |的动点的轨迹叫做椭圆的动点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的规范方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxayaF2F1OB2B1A1A2xycbB2F2OB2F2O叫椭圆的特征三角形叫椭圆的特征三角形. .4.求椭圆的方程： “定、设、求定、设、求.5.“相关点法求轨迹方程或轨迹.:)( 0)( 1 2222的的性性质质如如图图方方程程 ba

2、byax1.范范 围围:. ,:bybaxa 从从图图形形上上看看.,y 11; 11:222222222222所所围围成成的的矩矩形形内内故故整整个个椭椭圆圆位位于于从从方方程程上上看看axbybybbaxbyaxaaxbyax )0 ,( a)0 ,(a), 0(b), 0(bF2F1Oxy椭圆关于y轴对称.F2F1Oxy椭圆关于x轴对称.A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称.从图形上看，椭圆关于从图形上看，椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称从方程上看：从方程上看：1把把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；2把把y换成换成-y方程不变，图象关

3、于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；3把把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象方程不变，图象 关于原点成中心对称关于原点成中心对称.yxOP(x,y)P1(-x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)0( 12222babyax)0(12222babyax令令 x=0，得，得 y=？阐明椭圆与？阐明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？阐明椭圆与？阐明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点顶点. oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a

4、，0)长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴和短轴.a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长轴长和短半轴长.练习一：练习一：1、知椭圆的长轴、知椭圆的长轴A1A2和短轴和短轴B1B2，怎样标出椭圆焦点的位置？怎样标出椭圆焦点的位置？ oB2B1A1A2aaccb由于由于a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为所以以椭圆短轴端点为圆心圆心,a长为半径的圆与长为半径的圆与x轴的交点即为轴的交点即为椭圆焦点椭圆焦点.F1F2练习一：练习一：2、求以下椭圆的焦点坐标：. 82)2(; 136100) 1 (2222yxyx)0 , 8

5、()0 , 8)(1 (与)2 , 0()2, 0)(2(与上面椭圆的外形有什么变化？Oxy扁平的程度不同扁平的程度不同Oxy如图，a不变，也即，a不变，把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e表示，即acace b越小，椭圆越扁越小，椭圆越扁.c越大，椭圆越扁越大，椭圆越扁.222cbaace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率.1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆外形的影响：离心率对椭圆外形的影响：0erd000直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；联立直线与椭圆的方程，联立直线与椭圆的

6、方程， 消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程( (当二次项系数不为当二次项系数不为0 0时时) ) (2) (2)=0 =0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只需一个有且只需一个公共点；公共点； (3) (3)0 0 直线与椭圆相离直线与椭圆相离无公共点无公共点察看图形察看图形, ,可以发现可以发现, ,利用平行于利用平行于直线直线l l且与椭圆只需一个交点的且与椭圆只需一个交点的直线，可以求得相应的最小间隔直线，可以求得相应的最小间隔. .mml oxyF1F1F2F2例例 3 3 已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线 l: :45400 xy, ,椭椭圆上是否存在一点圆上是否

7、存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多最小距离是多少少? ? 5分析：作出直线分析：作出直线l l及椭圆如图及椭圆如图. .解解:由直线由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭与椭圆不相交为什么圆不相交为什么?.设直线设直线m平行于直线平行于直线l,那么直线那么直线m的方程可以写成的方程可以写成450.xyk222582250-yxkxk消消去去 ，得得，令方程的根的判别式令方程的根的判别式=0，得，得22644252250().kk224501259,xykxy 由由方方程程 组组解方程，得解方程，得122525,.kk 或或

8、由图可知，当由图可知，当 k=25 时，直线时，直线 m 与椭圆的交点到直线与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线的距离最近，此时直线 m 的方程为的方程为 4x-5y+25=0. 直线直线 m 与直线与直线 l 间的距离间的距离 22|4025|1541414(-5)d 1541.41所以，最小距离是最大间隔是最大间隔是多少？多少？max2240256541414( 5) d变式练习：变式练习：当m取何值时,直线l：y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离？解：得：消去由,14416922yyxmxy,144)(16922mxx, 014416322522mmxx)144

9、16(100102422mm,144005762m,55, 0时或即当m;与椭圆相切l,555, 0时或即当m;与椭圆相交l,55, 0时或即当mm.与椭圆相离l题型二：弦长公式题型二：弦长公式设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：221| | 1| 1ABABABxxkyyk可推行到恣意二次曲线可推行到恣意二次曲线212)1(xxk;4)()1(212212xxxxk221221)(11 (yykPP同理可得：.)11 (212yyk例6、知椭圆c的焦点F1 和F2 ,长轴长6,设直线y=x+2

10、交椭圆c于A,B两点,求线段AB的中点坐标及弦长. )0 ,22()0 ,22(解：解：,22, 3,ca由题意, 1,b所以. 1922yx所以标准方程为：),(),(),(002211yxMAByxByxA线段中点为设得：消去由,99222yyxxy, 02736102xx, 027104362,1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直线又 xyyx,51200 xy所以,1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直线又 xyyx,51200 xy所以例6、知椭圆c的焦点F1 和F2 ,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆c于A,B两点,求线段AB的

11、中点坐标及弦长. )0 ,22()0 ,22();51,59(即中点坐标为由弦长公式得：2122124)(1xxxxkAB10274)518(22. 356变式练习：知斜率为变式练习：知斜率为1的直线的直线l过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A,B两点，求弦两点，求弦AB之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx58425192285.例例7知椭圆知椭圆 过

12、点过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被作一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题与椭圆方程联立，消去与椭圆方程联立，消去y得：得：还有没有别的方法？还有没有别的方法？例例 7 知椭圆知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜

13、率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,),(,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221212()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy由在椭圆上，知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题2222221212()()0bxxayy由2221222

14、212 yybxxa即2121221212 AByyxxbkxxayy直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法思想方法 还有没有别的方法？还有没有别的方法？例例7知椭圆知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只需一条两点的直线有且只需一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问

15、题求解关键在于充分利用“中点这一中点这一 条件，灵敏运用中点坐标公式及韦达定理条件，灵敏运用中点坐标公式及韦达定理.题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题变式练习：知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.193622yx解：设直线l与椭圆交与A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意：, 22, 422121yyxx且, 1936, 193622222121yxyx两式相减得：, 093622212221yyxx, 0)(4)(22212221yyxx即, 0)(4)(21212121yyyyxxxx所以变式、知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.193622yx, 0)(4)(22212221yyxx即, 0)(4)(21212121yyyyxxxx所以, 0)(16)(82121yyxx所以,211212xxyyk即),4(212xyl的方程为：所以直线. 421xy即：标准方程标准方程图图 象象范范 围围对对 称称 性性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半半 轴轴 长长焦焦 距距a,b,c关系关系离离 心心 率