第一章运动学

1、第一章 运动学第1节质点运动的基本概念一.质点运动的基本概念1 .位置、位移和路程：位置指运动质点在某一时刻的处所，在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标(x,y,z )来表示。在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位置矢 量(简称位矢)的概念，如图所示，在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P(x,y,z)所引的有向线段，故有r v1x2 y2 z2 ,r的方向为自原点。点指向质点 P。位移指质点在运动过程中，某一段时间t内的位置变化，即位矢的增量 s r(t t)_rt,它的方向为自始位置指向末位置。在直角坐标系中，在计算位移时，通常先求得x轴、y轴、z

2、轴三个方向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。路程指质点在时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。2 .平均速度和平均速率:平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比：v平 ,平均速度是矢量，方向与位t移s的方向相同。平均速率是质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值，是标量。3 .瞬时速度和瞬时速率：瞬时速度是质点在某一时刻或经过某一位置是的速度，它定义为在时的平均速度的极限，简称为速度,s即v lim。t 0 t瞬时速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向。瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。4 .加速度：V 、， 一，a

3、 ，这样求得的 t加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即加速度实际上是物体运动的平均加速度，瞬时加速度应为a lim v o加速度是矢量。t 0 t5 .匀变速直线运动：质点运动轨迹是一条直线的运动称为直线运动，而加速度又恒定不变的直线运动称为匀变速直线运 动，若a的方向与v的方向一致称为加速运动，否则称为减速运动。匀变速直线的运动规律为：,1,222s s0 v0tatVt v0 2a(s s0)2二、解题指导：例1:如图所示，物体 A置于水平面上，A前固定一滑轮B,高台上有一定滑轮 D, 一根轻绳一端固定在 C点，再绕过 曰D, BC段水平，当以恒定水平速度

4、v拉绳上的自由端时， A沿水平面前进，求当跨过 B的两段绳子的夹角为 。时，A的运动速度。例2：如图所示为两个光滑的斜面，两斜面高度相同，且 AB BC A1C1 ,今让小球分别从斜面的 A点 和斜面的A1点无初速度释放，若不计在B点损失的能量，试问哪种情况下，小球滑至斜面底端历时较短？例3:蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心L1 1m的A点处时，速度是v1 2cm?s1,试问蚂蚁从 A点爬到距巢中心L2 2m的B点所而的时间为多少?例4：如图所示，一串相同汽车以等速度v沿宽度为c的直公路行驶，每车宽为 b,头尾间距为a,则人能以最小速率沿一直线穿过马路

5、所用的时间为多少？a三、巩固练习：1、以初速2V0竖直上抛一物体后，又以初速V0竖直上抛另一物体，若要使两物体能在空中相遇，两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？2、在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1 20 min减少一半，问此后半径又减少一半而要多少时间？13、小球从局 儿120m处自由落下，着地后跳起又落下，每与地面相碰一次，速度减少一（n是大于等于n2的整数）。（1）作出小球的v t图像（向上为正）；（2）求小球从下落到停止的总时间和总路程（g=10m/s 2）。4、在以速度V0行驶的小汽车正前方 L处有一辆载重卡车。由于大雾，使得公路上能见度很低，当小车司 机发现

6、这一情况时， 卡车正以加速度a由静止开始做匀加速运动，其方向和小车运动方向一致，于是小车司机立即以加速度 2a作匀减速运动，那么小车速度 V。必须满足什么条件，小车才不致于和卡车相撞？5、如图所示，当杆的 A端以恒定速度沿水平方向运动时，接触点 触点M向B端移动的速度v为多少？M则向B端移动，当AM 2h时，接第2节、运动的合成和分解一、运动的合成和分解基础知识：1 .标量和矢量：物理量分为两大类： 凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量； 凡是既有大小，又需要方向才能决定 的物理量叫做矢量。 标量和矢量在进行运算是遵守不同的法则： 标量的运算遵守代数法则； 矢量的运算遵 守平行四边形法则（或三

7、角形法则） 。2 .运动的合成和分解:在研究物体运动时，将碰到一些较复杂的运动，我们常把它分解为两个或几个简单的分运动来研究。任何一个方向上的分运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的分运动的存在而受到影响，这叫做运动的独立性原理。运动的合成和分解包括位移、速度、加速度的合成和分解，他们都遵守平行四边形 法则和三角形法则。物体的运动是相对于参照系而言的， 同一物体的运动相对于不同的参照系其运动情况不相同，这就是运动的相对性。我们通常把物体相对于基本参照系（如地面等）的运动称为“绝对运动”，把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动”，而

8、物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动” 。显然绝对速度和相对速度一般是不相等的，它们之间的关系是：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。即v绝 v相 v或v甲对地 v甲对乙 v乙对地位移、加速度之间也存在类似关系。但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。只有在一条直线上，矢量式才可化为代数式。3 .物系相关速度：正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成或分解知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用：a、刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度；b、接解物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时相同

9、；c、线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。二、解题指导：例1、有A, B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将 B球从地面以初速度 v0竖直上抛，两球沿同一条竖直线运动。试分析：（1） B球在上升过程中与 A球相遇；（2） B球在下落过程中与 A球相遇。两种情况中 B球初速度的取值范围例2、一人站在距平直公路h 50m的B处，公路上有一汽车以 v1 10m/s的速度行驶，如图所示，当汽车在与人相距l 200m的A处时，人以速度v2 3m/s奔跑（可认为人一开始就可达这个速度 ），为了使人跑到公路上时，能与车相遇，问：（1）奔跑应取什么方向？ （2）需要多少时

10、间才能赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时，该人可以与汽车相遇的最小奔跑速度是多少？IS:例3、直线AB以大小为vi的速度沿垂直于 AB的方向向下移动，而直线 CD以大小为V2的速度沿垂直于 CD的方向向右下方移动，两条直线交角为0,如图所示，求它们的交点P例4、如图所示，AB杆的A端以匀速度v运动，在运动时杆恒与半圆周相切，半圆周的半径为R,当杆与例5、如图所示装置，设杆 OA以角速度3绕 O转动，其A端则系以绕过滑轮 B物M。已知OB h ,当 OBA 时，求物体 M的速度。例6、细杆OP长l ,绕0点以角速度3在如图所示平面内匀速转动，并推动光滑小环 C在固定的水平钢丝

11、AB上滑动，已知AO d水平线的交角为 。时，求杆的角速度3及杆上与半圆相切点C的速度和杆与圆柱接触点 C的速度大小。三、巩固练习：1、某人驾船从河岸 A处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min后到达正对岸下游120m的C处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成 a角的方向航行，则经 12.5min恰好到达正对岸的 B处，求河岸的宽度是多少？2、雨滴落在静止的电车窗口，其径迹与竖直线成300的倾角，电车以v 18km/h的速度运动时，窗上的径迹恰是竖直的，求雨滴在无风时的速度和风向。3、如图所示，质点Pi以vi由A向B作匀速运动，同时点P2以V2从B指向C作匀速运动，AB l

12、 , ABC且为锐角，试确定何时刻 t , P1P2的间距d最短为多少？Sr一*啜:AB4、一只船在河的正中航行，如图所示，河宽l 100m,流速u 5m/s,并在距船s 150m的下游形成 瀑布，为了使小船靠岸时，不至被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少?5、如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速 V0沿水平面向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，。为凸轮圆心,求当 AOP 时,AB杆的速度。axVxVo cosx v0 cos tayVyVo sin12yv0 sin t - gt抛体运动一、抛体运动的基础知识：1、平抛运动：可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成,

13、 动决定。2、斜抛运动：分斜上抛和斜下抛（由初速度方向确定）两种，根据运动的叠加原理，落地时间由竖直方向分运抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是：、将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图所示，取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点, 则抛体运动的规律为：水平方向为y xtg0 2g 2 x2其轨迹方程为：2Voe0s这是开口向下的抛物线方程。在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间2vn sinT0-v2 sin 2R T,射程R和射高2 一_2V0 sin2g抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）

14、相等（一般地，从某;上升和下降时经过同一高度时速度大小相高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等） 等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。、分解沿V0方向的速度为V0的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。、将沿斜面和垂直斜面方向作为x、y轴，分别分解初速和加速文革后用运动学公式解题。二、解题指导：例1:如图所示，从 A点以V0的初速度抛出一个小球，在离 A点水平距离为s处有一堵高度为 h的墙BG要求小球能越过 B点。问小球以怎样的角度抛出，才能使 V0最小？日bL例2、大炮在山脚直接对着倾角为 。的山坡发射炮弹，炮弹初速度为V0,要在山坡上达到尽可能远的射程, 则大炮的

15、瞄准角为多少？最远射程为多少？h,若出手时的速度为 V0,求以何角度掷球时，水平射程例3、在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为 最远？最远射程为多少？例4、从高H处的一点。先后平抛两个小球1和2,球1直接恰好越过竖直挡板 A落到水平地面上的 B点, 球2则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，尔后也落在 B点，如图所示，设球2与地面碰撞遵循类 似光的反射定律，且反弹速度大小与碰前相同，求竖直挡板的高度ho匕例5、如图所示，在水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B间距为d, 一个小球以初速 V0从两墙之间 的。点斜向上抛出，与 A和B各发生一次弹性碰撞后正好落回抛出点，求小球的抛射角。UI例6、从

16、底角为。的斜面顶端，以初速度 V0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，则小抛出后 离开斜面的最大距离 H是多少？三、巩固练习：1、y轴为过抛出点的竖直线（物体做平抛运动），但抛出点未知，AB是平抛的一段轨迹，已知 A B两点到y轴的水平距离分别为 xi、X2, AB两点的竖直距离为 h,如图所示，求小球抛出时的初速度是多大？2、两质点从地面上同一点以相同速度R相同时，它所在空中飞行时间的乘积为V0速率和不同抛射角抛出，忽略空气阻力，试证明当两质点的射程2ROg3、如图所示，从 。点以初速度V。射出一颗子弹，同日从距地面高为h的A点自由落下一物体，若两者在B点相同（B点离。点的水平距离为

17、L）,求子弹的初速度与水平方向的夹角0o,AB4、在倾角为。的斜面上，斜向上抛出一个物体，它的初速度和斜面的夹角为一，一.1 .斜面上，求证tg-ctg 。2a,如果最后恰好垂直落到5、某物体以一定初速度 V0沿斜面向上运动，它所能达到的最大位移 求。为多少时，x的值最小。(g=10m/s 2)x与斜面倾角。的关系如图所示，试1.253,L 25卜=七= rI J6、一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m的墙外，从喷口算起，墙高 4m,若不计空气阻力，取g=10m/s 2,求所需的最小初速度及对应的喷射仰角。7、t=0时刻从水平面上的 O点，在同一铅垂面上同时朝两方向发射初速度分别为VA=10

18、m/s、VB=20m/s的两个质点A、B,如图所示，求:t=1s时A、B相距多远?(2)在铅垂面x0y上，从原点O出发朝平面各方向射出相同速率子为参考点，确定其他粒子在未落地前的t时刻的位置组成的曲线。V0的粒子，今以朝 x正向(水平)射出的粒第4节质点的圆周运动与刚体绕定轴的转动一、质点的圆周运动与刚体绕定轴的转动的基础知识：1、质点的圆周运动：a、匀速圆周运动 ：质点P在半彳5为R的圆周上运动时， 它的位置可用角度。表示 （习惯上以逆时针转角 正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：limt 0 t质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为：v lim lim0 t toco （或 向时

19、刻在变。 加速度）：v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方 因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。b、变速圆周运动：3 （或 v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理 量为角加速度：limt 0 t质点作变速圆周运动时,速度的大小和方向都在变化。将速度增量v分解为与v2平行的分量 v和v2垂直的分量 v ,质点P的加速度为:vvvan其中a，an就是切向加速度和法向加速度。lim lim lim at o t t o t t o t2一

20、 v _a Ran RR3为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有:t2vo oRv R voRt vo art二、解题指导：a与其经过的那段例1： 一质点由静止开始做匀加速圆周运动，试证明该点的加速度和切向加速度的夹角圆弧对应的圆心角3之间存在如下关系：tg 2例2、A B C三个芭蕾演员同时从边长 l的三角形顶点 A、B C出发，以相同的速率 v运动，运动中始 终保持A朝着B, B朝着C, C朝着A,试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路径？例3、如图所示，一个直径为 D的圆柱体，其侧面刻有螺距为能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子?h的螺

21、旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球例4、如图所示，一个圆台上底半径为 之后，它自身以角速度3旋转，整体绕 一周所需时间。一,下底半径为 口，其母线AB长为l ,放置在水平地面上，推动它O点作匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA及旋转例5、如图所示，直杆 AB以匀速v搁在半径为r的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点M 的速度和加速度。三、巩固练习：1、圆环在水平面上匀速滚动，跟平面没有相对滑动，已知环心对地的速度为V,则环上的各点中相对于已知电影每秒钟放映 24个画地的最大速度和最小速度分别为多少？2、当人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，而如图所示的车轮却没有转动时,面，园子半

22、径为0.5m。则汽车运动的可能速度为多少？3、如图所示，湖中有一小岛A, A与直湖岸的距离为 d,湖岸边的一点B, B沿湖岸方向与 A点的距离为1, 一人自A点出发，要到达 B点。已知他在水中游泳的速度为 vi,在岸上行走的速度为 V2,且vi<vi,要求 他由A至B所用的时间最短，问此人应当如何选择其运动路线。r f4、一质点在平面上作匀变速运动，在时刻 t=1s、3s、5s时，质点分别位于平面上的A、B、C三点，已知AB 8m, BC 6m ,且AB BC。试求此质点运动的加速度是多少?5、用一根长L 的铁丝绕成一个高为H 的等螺距螺旋线圈，把线圈固定，使其轴保持竖直，一个小珠子可以

23、沿螺旋线无摩擦地下滑，现将小珠子由静止开始从螺旋线最高点释放，问经过多少时间小珠子可以到达螺旋线底。6、弹性小球从高 h处自由落下，落到与水平面成。角的长斜面上，碰撞后以同样大的速度反弹回来。求v i 时，每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第三点，第 n点和第（n+1）点）间的距离xi, X2, X3,，xn。7、A质点以速度vi作匀速直线运动，B质点以等速率V2始终向着A运动，当B的运动方向垂直于8、在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道自由地滑到端C 处所需的时间，恰好等于小球从顶点AB相距l ,则这时B的加速度大小为多少?ABC光滑小球从顶点 A处沿斜边轨道自静止出发A 处自静止

24、出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需时间，这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞地拐弯,且拐弯时间可忽略不计。每一轨道是由若干铅垂线与水平部分交在直角三角形范围内可构建一系列如图所示虚线的光滑轨道,接而成，交接处有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值。9、如图所示，河两岸有 A、B两个码头, 流速度为2m/s, 一艘汽艇想要在最短时间相距1200m, AB连线和河岸成600角，且B在A的下游，水t=5min往返两码头间，问船应取怎样的方

25、向航行？船速多大？第二章力与平衡10、均匀光滑细棒 AB长L, A B两端分别靠在光滑墙和地板上，如图所示，由于光滑，棒将开始滑动, 当A端滑动到离。点距离为y时，A端速度为v,问此时B端速度多大？第一节力学中常见的几种力一、力学中常见的几种力的基础知识：1、静摩擦当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发 生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为：fmax 0N式中0称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的

26、正压力。2、滑动摩擦f fmax N当两个相互接触的物体之间有相对滑动时， 产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运 动的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比： f N,为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与 接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，。与 可不加区别，两物 体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足:在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数0略大于动摩擦因数。3、摩擦角令静摩擦因数 。等于某一角 的正切值，即0 tg ,这个 角就称为摩擦角。在临界摩擦 （将要 发生滑动状态下）,fmax/N0 tg 。支承面作用于物体的

27、沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力fmax的合力F （简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图 所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力f0未达到最大值，即：f0 f0 xf00N,N0,N tg, f0 arctg -因此接触面反作用于物体的全反力F的作用线与面法线的夹角N ,不会大于摩擦角，即 。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图放在平面上的物体 A,用力F去推它，设摩擦角为 ，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块 A,只有 时，才可能推动 A。4、摩擦力作用的时间因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力

28、，所以要注意 摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜 上方弹出，假设碰撞时间为t，但可能小球不需要t时间，在水平方向上便已具有了'7777777777777与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦 力。二、解题指导：F拉着木块匀例1：如图，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为科，用一个与水平方向成多大角度的力 速直线运动最省力？例2、如图所示皮带速度为 V0,物A在皮带上以速度vi垂直朝皮带边运动，试求物 A所受摩擦力的方向。例3、如图所示，有一半径为 r的圆柱绕竖直轴 OO以角速度3匀速转动，如果用力F把质量为m

29、的物体压在圆柱侧面， 能使物体m以速度v匀速下滑，已知物体m在水平方向受光滑挡板的作用 使之不能随圆柱体一起转动。求物体与圆柱之间的滑动摩擦系数大小。例4、如图所示，拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具.设拖把头的质量为m拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数小重力加速度为g,某同学用该拖把在水平地板上拖地时，方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为0 .(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为知存在一临界角 。0,若。w。0,则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这 一临界角的正切tan 0 0沿拖杆例5、一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦 系数分别为科i和科2,求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。例6、如图所示，每侧梯子长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处的动摩擦因数分别为科a=0.2,科b=0.6,不计梯重，求人能爬多高而梯不滑倒。三、巩固练习：1、如图所示，用绳通过定滑轮连接物块，使物块在水平面上从图示位置开始