20XX年四川省成都市树德实验中学外地生自主招生考试数学试题及答案

1、2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学（总分：150分 时间：120分钟）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效第卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1当时，化简的结果是（ ）ABCD2满足的所有实数的和为（ ）A3B4C5D63五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当

2、的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（ ）ABCD4如图为圆的内接三角形，为中点，为中点，则的大小为（ ）ABCD5如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列形状，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，以此类推，则的值为（ ）ABCD6如图，菱形中，为的中点动点在菱形的边上从点出发，沿的方向运动，到达点时停止连接，设点运动的路程为，则表示与的函数关系的图像大致为（ ）ABCD7某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女队员各一人，组成年级混合双打代表队，那么四

3、对混合双打中，没有一队选手是同班同学的概率是（ ）ABCD8如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，于当点从出发顺时针运动到时，点所经过的路径长为（ ）ABCD9设、为实数，且，抛物线，顶点在上，与轴交于点，与轴交于点，当为直角三角形时，的最大值是（ ）A1BC3D410设，则的整数部分是（ ）A61B62C63D64第卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11已知，都是非负数，且满足，则的最大值为_12已知，则_13如图，是正方形边上一点，以为圆心，为半径画圆与交与点，过点作的切线交于，将沿对折，点的对称点恰好落在上，

4、若，则的长为_14已知、是实数，且若的最大值是，最小值是，则的值是_15如图，菱形中，菱形在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心所经过的路径总长为_（结果保留）16如图，平行四边形中，是的中点，在上，且，过分别作于，则_三、解答题：（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）（1）已知，且，求的值（2）解方程：18（本小题满分10分）一条笔直的公路穿过草原，公路边有一卫生站距公路的地方有一居民点，、之间的距离为一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点已知汽车在公路上行驶的最快速度是，在草地上行驶的最快速度是问司

5、机应在公路上行驶多少千米全部所用的行车时间最短最短时间为多少19（本小题满分12分）已知，为正整数，设，为坐标原点若，且（1）求图象经过，三段的二次函数的解析式；（2）点是抛物线上的一动点，直线交线段（杰少备注：这里原来是直线交，总觉得有歧义）于点，若，的面积，满足，求此时点的坐标20（本小题满分12分）如图，在扇形中，点在上，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为（1）当四边形的面积最大时，求；（2）求的最小值21（本小题满分12分）阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将与中的“”去掉例如：已知，求的值解：材料二：如图，点，点

6、，以为斜边作，则，于是，所以反之，可将代数式的值看作点到点的距离例如：所以可将代数式的值看作是点到点的距离（1）利用材料一，解关于的方程：，其中；（2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时与的函数关系式，写出的取值范围；将所得的与的函数关系式和的取值范围代入中解出，求出的值22（本小题满分14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图，四边形是“等对角四边形”，则（1）已知：在“等对角四边形”中，求对角线的长；（2）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形是“等对角四边形”，其中，点在轴上，抛物线过点、，点在抛物线上，满足的点至少有3个时，总有不

7、等式成立，求的取值范围2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】B【解析】，从而，故选B2【答案】A【解析】分三种情况讨论：当时，满足方程；当时，此时为偶数，满足方程；当，且时，得，或（舍）；综上所述，的和为13（1）3故选A3【答案】A【解析】如图，易得，、为定值，故选A4【答案】C【解析】如图，连接，取中点，连接、，显然，为中点，又为中点，为等边三角形，故选C5【答案】D【解析】由已知，故选D6【答案】B【解析】（1）当时，过作与，为的中点，在中，由勾股定理得：，；（

8、2）当时，过作与，由（1）知，；（3）当时，连，；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意故选B7【答案】C【解析】解法1：先把四个女运动员任意排列，设为，和配合的男运动员有4个选择；和配合的男运动员剩下3种选择；和配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和配合4男4女组成四队混合双打的情况共有：种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为、，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：解法2：（杰少强烈推荐）：；解法3：（杰少强烈推荐）：组配对，没有一对配对成功的递推公式为：，其中，故选C8【答案】B【解析】连接，为的中点

9、，即，即，在中，根据勾股定理得：，又，在中，根据勾股定理得：，始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，当位于点时，此时与重合；当位于时，此时与重合，当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，在中，度数为，直径，的长为，则当点从点出发顺时针运动到点时，点F所经过的路径长故选B9【答案】D【解析】设交轴于点，交轴于点、，且，由是直角三角形知，点必为直角顶点，且（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，又，即，当且仅当，时等号成立，因此，的最大面积是4故选D10【答案】A【解析】显然，此时还不能判断的整数部分，又，的整数部分为61第卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6小题

10、，每小题5分，共30分）11【答案】3【解析】易得，、为非负数，从而，12【答案】48【解析】由已知，易得：，13【答案】【解析】连接、，作于，正方形，是的切线，设则，在中，解得，14【答案】【解析】设，解得：，15【答案】【解析】第一、二次旋转的弧长和，第三次旋转的弧长，周期为3，菱形中心所经过的路径总长16【答案】【解析】连接、，设，则，三、解答题：（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）【答案】【解析】由已知可得，平方整理得：，解得：（2）【答案】【解析】令，原方程化为：，解得：或，当时，原方程成立；当，原方程不成立；综上所述，x1是原方程的解18【答案】司机应在公路

11、上行驶使用时间最短，最短时间为：【解析】如图，设司机在公路上行驶至点，再从点行驶至点时间过在直线下方做一条与的夹角为的直线，再过作于点，过作于点，交于点，则，当在点处时取得最小值，即：司机应在公路上行驶使用时间最短，即：最短时间为：19【答案】（1）；（2）【解析】（1），即，又，即，是关于的一元二次方程的两个不相等的正整数根，解得又为正整数，故或当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为，综合知：，设图象经过，三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得，解得图象经过，三点的二次函数的解析式为（2）如图，直线交线段于点，由，得，联立，消去整理可得，由韦达定理：，而，点坐标为：20【答案】（1）；（2）【解析】（1）分别过、作于，于，；此时，、重合，；（2）延长至点，使，连接、点为的中点，又，即，当、三点在同一直线上上时，最小，此时，故有最小值为21【答案】（1）；（2）最小值，;【解析】（1）根据材料一，解得：，经检验，是原方程的解（2）解：由材料二知：可将的值看作点到点的距离的值看作点到点的距离当代数式取最小值，即点与点，在同一条直线上，并且点位点，的中间的最小值，且，设过，的直线解析式为：，解得：与的函数关系式为：；：中，又，由式得：解得：（舍）的值为22（1）【答案】或；【解析】分两