量子力学练习习题

1、一. 填空题1量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。2按照德布罗意公式 ，质量为的两粒子，若德布罗意波长同为，则它们的动量比p1:p2= 1:1；能量比E1：E2= 。3用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=（为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度Tmax= 。4阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为，则第n个能级的能量En= ，相应的波函数和 。5处于态的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角

2、动量的z分量的值分别为E=；L= ；Lz=，轨道磁矩Mz= 。6两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为，当它们是玻色子时波函数为= ；玻色体系为费米子时 ；费米体系7非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是En=， = ，其中微扰矩阵元=；而表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。8在S2和S2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为 ， ， 。9玻磁子MB与电子质量、电荷e、光速c普朗克常数h的联系是MB= ；数值为MB= 。11普朗克常数h的数值为 单位是 。12德布罗意关系式为E= 和 。13被V伏电位差加速后，自由电子德布罗意波长的计算公式为 ，当V=150伏时 。14薛定

3、谔（Schrödinger）方程为 ，定态薛定谔方程为 ，定态波函数为 。15几率流密度矢量 ，几率守恒定律的公式是 。16量子力学中表示力学量的算符是 ，它们的本征函数组成 。17若两个力学量、的对易关系式为、=，则测不准关系的严格表示为 。18波恩对波函数的统计解释（量子力学的基本原理之一）是： 。19波函数的标准条件是： 。20两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子能量相等，问要实现这个条件，光子的波长最大是 。21、单粒子Schrodinger方程是 。22、量子力学中的波函数的正统诠释是 。23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为

4、一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为 这光子相应的光波波长为5000的可见光时，加速电势差V= 伏特。25、量子力学中的本征值问题是 。29、Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性，Einstein的光量子假说揭示了光的 性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了 的起源问题。30、力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 。32、在量子力学中，体

5、系的量子态用Hilbert空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测验时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。33、在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定与体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否是守恒量。35、定态波函数是 。36、力学量的平均值公式是 ， ， 。37、含时Schrodinger方程； 。单粒子定态Schrodinger方程 。38对全同性原理回答下列问题。 全

6、同性原理的表述是： 。 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 。全同性原理与泡利原理的关系 。39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式()计算.能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长 。温度T=1K时，具有动能（k为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长 。40、自由粒子平面波函数(x)=ceikx的动量不确定度p= ，坐标不确定度x = 。41、波函数(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否动量本征态？答： ，因为 。42、设,是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符（1） ; （2）- （3）2 （4）+ 中，算符 和 的本征值

7、必为实数。44、设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E1 和E2，相应的本征矢量为 n1 > 和 n12 > 。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。45、按照德布罗意公式 ；质量为两粒子，若德布罗意波长同为，则它们的动量比p1:p2= ；能量比E1：E2= ；若粒子速度为V=0.9c,照相对论公式计算，其德布罗波长= 。46、阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为，则第n个能级的能量 = ；相应的

8、波函数= 。47、两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为，当它们是玻色子时波函数为= ，为费色子时= 。48、微观粒子的能量E和动量P与相联系的波的频率和波长的关系是 。49、与自由粒子相联系的波是 ，并写出表达式。50、如果算符表示力学量F，那么当体系处于的本征态时，力学量有，这个值就是在本征态中的 。答案1量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。2按照德布罗意公式，质量为的两粒子，若德布罗意波长同为，则它们的动量比p1:p2= 1:1 。3用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=（为玻尔兹

9、曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度Tmax=。4阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为，则第n个能级的能量En=，相应的波函数和。5处于态的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z分量的值分别为E=；L=；Lz=，轨道磁矩Mz=。6两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为，当它们是玻色子时波函数为=；为费米子时 7非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是En=， = ，其中微扰矩阵元=；而表示的物理意义是 在未受微扰体系中，的平均值 。该方法的适用条件是

10、定态、的本征值， 非简并，很小。8在S2和S2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为 ， ， 。9玻磁子MB与电子质量、电荷e、光速c普朗克常数h的联系是MB= ；数值为MB= 。11. 6.6255（9）×10-34 焦耳.秒 12. E= 。 13. 1A 14. ， ， 。 15 ， 。 16 线性厄密算符 ， 完全系 17 18 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 。19有限性、连续性、单值性 。 200.024A 。21、单粒子Schrodinger方程22、量子力学中的波函数的正统诠释是表示时刻t在处发现离子的概率密度。23、设一电子为电势

11、差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为V= 这光子相应的光波波长为5000的可见光时，加速电势差V=1伏特伏特24、用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗波长，若电子的能量E=kT(k为玻尔兹曼常数)，要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度=25、量子力学中的本征值问题是(力学量用算符表示。本征值方程 ；un、n分别为的本证态矢和本征值，利用边界条件求解un、n，29、Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 量子化 特性，Einstein的光量子假说揭示了光的粒子 性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 稳定性

12、 之间的矛盾，解决了 原子线光谱 的起源问题。30、力学量算符必须是 厄米 算符，以保证它的本征值为 实数 。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是 该力学量的本征值 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 本征态 。测量结果的不确定性来源于 态的叠加 。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 对易 。32、矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加33、力学量，Hamilton量，状态，本征态35、定态波函数是 当哈密顿量不含时间，薛定谔方程仅为定态薛定谔方程，则它的解为定态波函数，其特点是概率分布不随时间而改变 。36、力学量的平均值公式是，。37、含时S

13、chrodinger方程； 。单粒子定态Schrodinger方程 。38对全同性原理回答下列问题。 全同性原理的表述是： 全同粒子体系中任意交换两粒子，体系的状态不变， 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 波函数只能是对称或反对称波函数，而粒子体系只能是玻色子或费米子体系。全同性原理与泡利原理的关系 泡利原理是全同性原理在费米子体系的具体体现，是全同性原理和波函数统计解释的必然结果。39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式计算.能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长 温度T=1K时，具有动能（k为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长 ； 40、 0， 41是，,否，cos

14、kx= ,可见，它是两个动量本征态 和的叠加态42. 43. (r)= 45、（1） ；（2）、1：1； （3）：；（4） ；46（1）缩小1倍；（2）；（3）、当 0 x时：； 当x0；x 时：。47、 （1）（玻色子） ；（2）（费米子）。48、微观粒子的能量E和动量与相联系的波的频率和波长的关系是 49、与自由粒子相联系的波是平面波 ，并写出表达式。50、如果算符表示力学量F，那么当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值就是在本征态中的本征值。 二. 证明题:1.证明基本的对易关系。2 求证：分别为角动量算符, , 的本征值为的本征态。证明: 因为, 因此，可见，是的本征值为的本征态。同理可证明， ;3. 证明厄密算符的本征值必为实数。4. 证明厄密算符属于不同本征值的两个本征函数，彼此正交。三思考1、什么是力学量的完全集它有何特征2、何谓定态 它有何特征3. 何谓玻色子和费密子描写它们波函数怎样4. 几率波有哪些重要性质经典波与几率波的根本区别是什么5. 为什么薛定谔方程必须是线性方程 6. 薛定谔方程应满足什么条件 7. 什么叫算符量子力学的算符有何性质8. 量子力学中为什么要引进算符来表示力学量？9. 证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。10. 什么叫本征态