线性代数基础知识点

1、线性代数基础知识点A可逆r (A) nA的歹I(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax 只有零解 x , AxA °Rn,Ax 总有唯一解AT A是正定矩阵A EA pi p2 ps pi是初等阵存在n阶矩阵B,使得AB E或AB E：全体n维实向量构成的集合 Rn叫做n维向量空间.A不可逆r(A) nA 0A勺列(行)向量线性相关0是A勺特征值0的特征向量Ax 有非零解，其基础解系即为A关于r(aE bA) n aE bA(aE bA)x有非零解=-且b向量组等价矩阵等价()矩阵相似(:)具有 反身性、对称性、传递性矩阵合同(;)V 关于 e,e2, ,en：称为？ n的标准基，？

2、 n中的自然基，单位坐标向量;e1,e2, ,en线性无关； ee, ,en 1； trE=n ；任意一个n维向量都可以用ej, e2, ,en线性表示Word文档行列式的定义aiial2Laina2ia22La2nMMManian2Lann(i) (jij2L jn)aijia2j2L anjn jij2L jnDnV行列式的计算:行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零若A与B都是方阵（不必同阶），则i)mnA B（拉普拉斯展开式）B上三角、下三角、主对角行列

3、式等于主对角线上元素的乘积关于副对角线:ania2na2n iainn(n i)i)cina2nKani所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积的代数和）矩阵的定义由miiLixix2Lxn2xi2x2L2xnMMMn in iLn ixix2xn范德蒙德行列式:1个数排成列的表xixjaiaina2iMa22Ma2n,称为mMn矩阵.记作:amn伴随矩阵 AAjAA1A21A22MAiAM , Aj为A中各个元素的代数余子式AinA2nAnnam2Aaj m n,逆矩阵的求法Word文档(AME)初等行变换(EMA1)a1ad bc ca1a2a2a2V方阵的哥的性质:a3a3AmAn(Am)

4、n (A)mnV设Amn, Bn s, A的列向量为2,n,B的列向量为则 AB Cm sb11b21Mb12b22Mb1sb2sMC1,C2,L ,Cs(i 1,2 ,L ,s)bnsAxCi1,A 2,A sC1，C2，L ,CsdL示.即:C的列向量能由A的列向量线性表小,B为系数矩阵.同理:即:换位变号a2,Cs可由ana12La1n1C1a111a122Lan 2Ga21a22La2n2c2a211a222La2n 2C2MMMMMLLLan1an2Lamnncmam11 am22Lamn 2CmAT为系数矩阵C的行向量能由B的行向量线性表示,资乘一个矩阵，相当于用V用对角矩阵用对角

5、矩阵乘一个矩阵，相当于用a31, 2,的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;的对角线上的各元素依次乘此矩阵的V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵：TA BC D1ABATCTBTDTA 1Cin线性表A 1CB 1A 1B 1CA 1一A1分块对角阵相乘：A,BBiiB22ABAiBii,An A22B22An1A2分块对角阵的伴随矩阵:*BA1)mn*AB(1)mnV矩阵方程的解法（A 0）：设法化成 AX(II)XA B 零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关整体必相关；

6、整体无关，部分必无关.（向量个数变动）（向量维数变动） 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关 ，原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组1, 2,n中任一向量i （1 W i W n）都是此向量组的线性组合向量组1, 2,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组1, 2 ,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组2, , n线性相关r(A) n;m维列向量组2, n线性无关r( A) n.1, 2,n线性无关，而1, 2,n,线性相关，则可由1, 2 , , n线性表不，且表不法唯一

7、.矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵白秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系Word文档即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A;对A施行一次初等 )变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵

8、 的乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意 r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r .记作r( A) r向量组的秩向量组1, 2 ,L , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r( 1, 2,L , n)矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B向量组等价1, 2, 口和n可以相互线性表示.记作:1 , 2,n % 1, 2, , n? 矩阵A与B等价PAQ B，P,Q 可逆 r(A)r(B), A,B为同型矩阵A, B歹U (行)向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价矩阵A与B列向量组等价r(n) r( 1,2, n) r( 1, 2,矩阵A与B等价

9、.? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示AXB有解r(1,n)= r(2, s)r( 1, 2,s) & r(? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示，且sn，则 1, 2,s线性相关.向量组1,2,s线性无关，且可由1,2, , n线性表示，则swn.? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示，且r(1, 2, s) r( 1, 2, n),则两向量组等价;?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等? 设A是m n矩阵若r(A) m, A的行向量线性无

10、关;若 r(A)n , A的列向量线性无关，即:n线性无关.V矩阵的秩的性质:若Ar(A) > 1若 A Or(A)0< r(Am n) & min(m,n) r(A)r( AT) r(AT A) r(kA)r(A)若 k 0若 Amn,Bns,若 r(AB) 0r(A)r(B)B的列向量全部是Ax0的解 r(AB) < min r(A),r(B)若B可逆r(AB) r(B)r(AB) r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解若(Am n)r(AB) r(B)A 在矩阵乘法中有左消去律ABABO bo'AC B C若r(A) rA与唯一的ErOO等价，称

11、ErOO为矩阵A勺等价标准型.r(AB尸 r(A)r(B)max r(A),r(B) &r(A,B) < r(A) r(B)A r(A)Or(B)r(A) r(B)BWord文档可由1,2,L , n线性表示Ax 有解 r(A) r(AM )不可由2,L , n线性表示 Ax 无解Ax有无穷多解其导出组有非零解r(A) r(AM ) r(A) r(AM ) r(A) 1 r(AM )Ax有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式向量式xi&1a12La>nXha21a22La2nx2b2, x,MMMMMam1am2LamnxbmAxWord文档Ax有无穷多解表示法

12、不唯一Ax2,L , n线性相关有唯一组解表示法唯1,2,L , n线性无关当A为方阵时Ax当A为方阵时0有非零解克莱姆法则又2L xn n1j(1, 2,L , n)Ax只有零解M ,j g ,nmjxn矩阵转置的性质：(AT)T A(AB)T BTAT(kA)TkATATIA(A B)T AT BT(A1)T (AT) 1(AT ) (A )T矩阵可逆的性质：(A1) 1 A_1_ 11(AB) 1 B 1A 1111(kA) 1 k 1A 1A1IA1_11_ 1(A B) 1 A 1 B 1(A 1)k (Ak) 1 A k伴随矩阵的性质：(A ) An 2 A(AB) B A(kA)

13、 kn1AAllAn1* * *(A B) A B(A1)(A)1 pA(Ak)(A)kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|ab A b|kA kn|A|Ak| IAka B |A IBAA AA |AE （无条件恒成立）Word文档1, 2是人*的解，12也是它的解 (2) 是Ax 的解，对任意k, k也是它的解1, 2,L , k是Ax的解，对任意k个常数1, 2,L , k,1 12 2 k k也是它的解线性方程组解的性质:(4)是Ax的解，是其导出组Ax 的解，是Ax的解1, 2Ax的两个解，12是其导出组Ax 的解(6) 2是Ax的解，则1也是它的解12是其

14、导出组Ax 的解1, 2,L , k是Ax的解，则1 12 2 k k也是Ax 的斛 12k11 12 2 k k7 Ax 0的斛 12k0定有解,V 设 A为 m n矩阵若 r(A) m r(A) r(AM ) AxWord文档当mn时，一定不是唯一解方程个数向量维数未知数的个数向量个数，则该向量组线性相关m是r(A)和r(AM )的上限.，判断1, 2,L , 是人乂 的基础解系的条件：1, 2,L , s线性无关；1, 2,L , s都是Ax 的解;s n r(A)每个解向量中自由未知量的个数V 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.，若 是Ax的一个解，1, ,L , s是Ax的一个解1

15、, ,L , s,线性无关V Ax 与Bx 同解(A,B列向量个数相同)，则：它们的极大无关组相对应，从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系.A，两个齐次线性线性方程组 Ax 与Bx 同解 r r(A) r(B).BAM r BMV矩阵Am n与Bi n的行向量组等价 齐次方程组Ax 与Bx 同解矩阵Am n与Bl n的列向量组等价 AQ B (右乘可逆矩阵 Q).V关于公共解的三中处理办法：把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II洛自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 1, 2, 3是(I)的基础解系，解基础解系个数

16、少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示即：r( 1, 2, 3) r( 1, 2, 3Mc1 4 c2 5)当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设 1 Ci 1 C2 2是(I)的通解，2 C3 3是(II)的通解，两方程组有公共解 2 C3 31 可由 1, 2 线性表小.即：r(1,2) r( 1, 2M 2 c3 31)V两个非齐次线性方程组 Ax 与Bx 都有解，并且同解r(A) r(B).PA B (左乘可逆矩阵P)； p教材1014, 5是(II)的基础解系，则(I)与(II)有公共 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)

17、的关系式而求公共解。标准正交基 n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.向量a1,a2,L ,an T与 匕,4上, 0 T的内积 (n)aib VOb_a2b2 L_anbni 1与正交 (, ) 0.记为:向量a1,a2,L ,an T的长度nI I -N , ) a2. a2 a2 La：i 1是单位向量| | | J( , ) 1.即长度为1的向量.V内积的性质:正定性：(, ) 0,且(, ) 0对称T(,)(,)双线 T( , 12) ( , 1)(2)(c , ) c( , ) ( ,c )A的特征矩阵| E A. A的特征多方/T|E A ().()是矩阵A的特征多

18、项式(A) OA的特征方程E A 0.Ax x ( x为非零列向量)Ax与x线性相关nV A 1 2L ni tr A, tr A称为矩阵A的图.1V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.，若A 0,则0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.aa22V r(A) 1A一定可分解为A=b1,。，L ,bn、A(a1b1a2b2Lanbn)A从而 A的特征值为:M 12nan1 tr A aibi a2b2 Lan，23 L n 0P指南358.T笆a1，a2,L ,an为A各行的公比，b,b2,L ,bn为A各列的公比.V若A的全部特征值 1, 2,

19、L , n, f (A)是多项式，则： 若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( 1), f( 2),L , f( n) ； f(A) f( 1)f ( 2)L f( n).V初等矩阵的性质:|E(i,j)|1|Ei(k)| k|Ei,j(k)| 1E(i, j)T E(i, j)Ei(k)T Ei(k)Ei, j(k)T Ej,i(k)一1一E(i, j) E(i,j)Ei(k) 1Ei(i)一1一Ei, j(k) Ei, j( k)*E(i, j)E(i, j)Ei(k)* kEi(%)*Ei, j(k) Ei, j( k)mm 1mm 1，

20、设 f(x) amxam iXLaxa。，对 n 阶矩阵 A规定：f (A)amAamALa1Aa°E为 A的一个多项式.kAaA bEAT, 是A的特征值，则：A1分别有特征值AA2AmlA1 2L 3kAV x是A关于 的特征向量，则x也是aA bEA 1AA2Am关于1 2L 3的特征向量.V A2, Am的特征向量不一定是A的特征向量.V A与AT有相同的特征值,但特征向量不一定相同A与B相似P 1AP（P为可逆矩阵）记为:A: BA与B正交相似1P 1AP（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A:（称是A的相似标准形）V A可相似对角化n r( iEA）ki

21、k为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵,1AP为对角阵，主对角线上的元素为A的特征值设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有:A(2,L , n)(Ai, A 2 ,L , An)(11, 2 2,L ,n)(2.L , n)1 44 2 4 43p44 2 4 43P442 4 4 毛笆：当i 0为A的重的特征值时,A可相似对角化的重数n r(A)Ax基础解系的个数.V若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.V若A可相似对角化则其非零特征值的个数（重根重复计算）r(A).g( 1)g( 2)，若 A:Ak= P kP 1 , g(A) Pg( )P

22、1 PV相似矩阵的性质:g( n) E A E B从而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同x是A关于0的特征向量，P 1x是B关于0的特征向量. tr A tr BA B 从而A, B同时可逆或不可逆 r(A) r(B) AT : BT ； A 1 : B 1 (若 A, B 均可逆)；A* : B* Ak:Bk (k 为整数)；f (A) : f(B), f (A) f (B)八A B A: B,C : DC D前四个都是必要条件V数量矩阵只与自己相似V实对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线

23、性无关;一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的牛I征值，该特征值i的重数=n r( iE A)；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形;与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值正交矩阵| AAT EV A为正交矩阵 A的n个行（列）向量构成 ？ n的一组标准正交基，正交矩阵的性质：N A1; AAT AT A E ;正交阵的行列式等于 1或-1 ;A是正交阵，则AT, A1也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组n n二次型 I f(Xi,X2,L ,Xn) xT AxaijXiXji 1 j 1ajaji ,即 A为对称矩阵，X (x1,x2,l ,Xn)A与B合同| CT AC B .记作：A; B （ A, B为实对称矩阵，C为可逆矩阵）正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数q或者r-p符号差p-q或者（2p-r） （r为二次型的秩）V两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别对应相等V两个矩阵合同的必要条件是：r（A）