反比例函数中面积问题

1、反比例函数中的面积问题一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图 形面积例1反比例函数y=K的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN 垂直于x轴，垂足是点N,如果&mon=2,则k的值为分析 图中 MON是以图像上一点和过这点作x轴或y轴的垂线所得的垂足 及坐标原点围成的，只需根据三角形面积公式就可以求出k的值.J. J.解设M 点的坐标为（x, y）,贝U &mon=2 |xy|= 2 |k|=2 ,得|k|=4 ,.k=±4（k=4不合题意,舍去），即k=-4.2_变式1:如图2,已知点P在函数丫=父(x>0)的图像上，PAL

2、x轴、PB,y 轴，垂足分别为A、B,则夕!形OAPB的面积为分析 只是把图中的三角形变为矩形，所以 S矩形OAPB=|xy|=2.二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点 所围成的图形面积£例2如图3,反比例函数y=x的图像与直线y=kx (k>0)相交于A、B两点, AC/ y轴，BC/ x轴，则 ABC的面积等于一个面积单位.分析RtAABC的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A、B两点关于£原点成中心对称，&abc=5 |2xX2y|二2|xy|=10.变

3、式1.如图4,直线y=mx与双曲线y=x交于点A、B.过点A作AM，x轴, 垂足为点M连接BM.若&abm=1,则k的值是（）.A. 1 B. m-1分析 图形变为反比例函数图像上的 A、B两点和其中一点与坐标轴的交点所1围成的 AMB,底为 |y| ,高为 |2x| ,则 Sabm=2 |y X 2x|=|xy|=|k|=1 ,得 k=± 1 （根据图形知k>0）,所以k=1.k变式2.如图5,直线y=mx与双曲线y=K交于点A、B过点A、B分别作AM ，x轴、BNx轴，垂足分别为 M、N,连接BM、AN.若S ambn=1,则k的值 .图5可编辑分析图形变成:二AM

4、BN,它的面积实际上就是 ABM面积的2倍，则S AMBN=2|xy|=2|k|=1 ,结合图像可知 k=2 .三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积例3如图6,在直角坐标系xOy中，一次函数y=kix+b的图像与反比例函数y= 乂的图像交于A (1,4)、B (3、m)两点.可编辑(1)求一次函数的解析式；(2)求4AOB的面积.分析(1)略；(2) 4AOB是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成 的图形， AOB面积直接比较难求，可看作 & COD- Sa COA- Sa BOD.先求出一次函数 的解析式，然后求出一次函数 y=kix+6

5、的图像与x轴和y轴的交点坐标，就可16 £ J 4 £ 16my=K的图像交于A (-2,求出 Sa COD & COA、S BOD,即可求出 Sa aob=4 X 3 义-3 xi *-4x3 0=3 .变式1.如图7, 一次函数y=kx+b的图像与反比例函数(1)试确定上述反比例函数和一次函数的解析式；(2)求4AOB的面积.分析(1)略：(2) 4AOB也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，只是把 AOB的面积看作&COD+ &COA+ &BOD,即可求得&AOB=1 X 1X 2 +1X IX 2 +

6、1X IX 2=2.四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积k例4如图8,已知双曲线y=x (x>0)经过矩形OABC边AB的中点F,交 BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,则k= .图$分析这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积.四边形OEBF的面积可看作S矩形OABG SCOE- Saof,设F点的坐标为(x, y),1 1 111贝U E 点的坐标为(2 x, 2y) ,S 矩形 oabc=xX 2y=2xy=2k, &coe=2 xX 2yxz =2 xy=2 k,£ 1Saof= x xy= k k,所以 S 四边形 oeb尸k=2.五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴 围成的图形和面积例5如图9, D是反比例函数y= 3 (k<0)的图像上一点，过D作DELx更轴于E, DC±y轴于C, 一次函数y=-x+m与y=- 3 x+2的图像都经过点C,与x 轴分别交于A、B两