利用导数求曲线的切线和公切线精编版

1、最新资料推荐利用与数求曲线的切线和公切线一.求切线方程，【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2x2+1.(1)求在点P (1,0)处的切线li的方程； 求过点Q (2,1)与已知曲线f(x)相切的直线12的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】.(2014?北京)已知函数f (x) =2x3 - 3x.(I )求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(II)若过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围； (m)问过点 A(- 1, 2) , B (2, 10) , C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x)相切？(只需写出

2、结论)【例 3】,已知函数 f (x) =lnax (a*0, aC RR ,.x(I)当a=3时，解关于x的不等式：1+e(x)+g (x) >0；(H)若f (x) >g (x) (x>1)恒成立，求实数a的取值范围；(田)当a=1时，记h (x) =f (x) - g (x),过点(1, - 1)是否存在函数/h (x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.【作业 1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3 - 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hG)二 、，当k<0时，讨论h (x)零点

3、的个数；(2)若过点P (a, -4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三.切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, cCR,且?f足b2+c2=1,如果存在两 条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+&b+«c 的取值范围是.解！ f '(x) = a + b cos x-c sin x = d + J"cos(x + ?) = a +cos(x + p)令戈+a=9,则再+ 口 =砧 毛+0 =冬./(t) = o + cos8由题意，存在公,/曰我使得尸(菁)尸(

4、三)=一匕 即(o+cofqXo + cosQJ=L即关广的二次方程北+(8S、+ cos&2)a + coscos02 +1 = 0 (*)有实根所以 A =(CO导自十 CO8 2)2 4cosg 35&-4 > 0 => (cos- cos ft )2 > 4所以 COS0-8$因之 2,又|co$qCOS©2 r 所以|cosq-85刃=2所以cosq=Lssg =T此时方程(*)变为 = 0 =白=0则a +72b +73c = V2b+V3c, b2+c2=1, .设b = sin P,a = cosP ,.应b +T3c = 5/5si

5、n(P + 中)，故 a+V2b+V3c - Vs V5,求证：a=0 或. ee【解答】(I)解：二?，xE(O, +8), /二运黄.令 t' (x) >0得乂>1,令 t' (x) <0得乂<1,所以，函数t (x)在(0, 1)上是减函数，在(1, +°°)上是增函数， 二当 俏 1 时，t (x)在m, m+1 (m>0)上是增函数，.- =t (m)=航5ID当0<m< 1时，函数t (x)在m, 1上是减函数，在1 , m+1上是增函数， t ( x) min=t ( 1 )=a(H)设12的方程为y=

6、k2x,切点为(x2, y2),贝丹士工/巴k2-gy - x2=1, y2=e；k2=e.由题意知，切线11的斜率卜1=二工，切线11的方程为1 k2 e产工氐，设11与曲线y=f (x)的切点为(x1, yO , k)=fy e1人 ， V广-a=-一，1 e1 Xj e又 y1=1nx-a (x1-1),消去 yb a 后整理得 1口孙-1J-Q, a-1 x j exj e令m(x)=IrkT二，贝Um' (k)=-X eK 1 X?，- m (x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +00)上单调递增，若 x1 C (0, 1),重(工)=-2+巳。，工 1 E 3，1),e

7、ee1 e2W a= 在(工，1)单调递减，,巳1.sc1 巴已ee若 x1 C (1, +oo)，= m (x)在(1, +00)上单调递增，且 m (e) =0,11 Ax1一e, x e综上,a=0 或. ee7【作业2】.(2017?黄山二模)已知函数f (x) = (ax2+x- 1) ex+f(1)讨论函数f (x)的单调性;(2)若 g (x) =e xf (x) +lnx , h (x) =ex,过 O (0, 0)分别作曲线y=g (x)与y=h(x)的切线l 1,12,且l 1与12关于x轴对称，求证：-S+1)< a< -2 /e+2T四.求公切线的方程n 2

8、2【例6】.(2018?安阳一模)已知函数二g (x) =3elnx ,其中e为自然对数的底数.(I )讨论函数f (x)的单调性.(H)试判断曲线y=f (x)与y=g (x)是否存在公共点并且在公共点处有公切 线.若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由.22【解答】解：(I)由二2一+J,得F Cx)=2 4 33一_2 2，xe x令f ' (x) =0,得.时，f ' (x) >0.当 且 xW0 时，f' (x) <0；当 K源.f (x)在(-8, 0)上单调递减，在(0,上单调递减，在 1+8)上单调递增；(H)假设曲线y=f (x)

9、与y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为X0> 0,rf(x0)=g(Zo)f;(殉)=/ (叼)即,nBA中 其4in3_3e£XQ-e3=0.记 h (x) =4x - 3e x - e ,x (0, +oo)贝J h' (x) =3 (2x+e)(2x e),得h (x)在(0, 1_)上单调递减，在 0 +8)上单调递增，又 h (0) =- e3, h(h)-2 e3，h (e) =0,故方程h (xo) =0在(0, +00)上有唯一实数根xo=e,经验证也满足(1)式.于是，f (xo) =g (x°) =3e, f'

10、; (x0) =g' (x0) =3,曲线y=g (x)与y=g (x)的公切线l的方程为y-3e=3 (x-e), 即 y=3x.【作业3】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2- (x>0)(1)试判断当f (x)与g (x)的大小关系；(2)试判断曲线y=f (x)和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切线 方程，若不存在，说明理由；(3)试比较 (1+1X2) (1+2X 3)( 1+2012X2013)与 e 4021 的大小，并写 出判断过程.五.与公切线有关的参数取值范围问题【例 7.已知函数 f (x) =blnx , g (x) =ax2-

11、x (aCR).(I)若曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，求实数 a、 b的值；(H)当b=1时，若曲线f (x)与g (x)在公共点P处有相同的切线，求证： 点P唯一；(田)若a>0, b=1,且曲线f (x)与g (x)总存在公切线，求正实数 a的最 小值.【解答】解：(I) f' (x)上，g' (x) =2ax- 1.曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，rf (l)=blnl=0g(l)=a-l=0 ,解得 a=b=1.Lb=2a-1(H )设 P (xo, y°),则由题设有 lnx 0=a

12、x02 - xo，又在点P有共同的切线，. f ' (Xo) =g' (xo) ,二2ax1,a=亨,代入得 lnx o=-xo,2包2 2设 h (x) =lnx -X+Xx,贝U h' (x) =X+JL (x>0),贝U h' (x) >0, 2 2x 2h (x)在(0, +oo)上单调递增，所以h (x) =0最多只有1个实根，从而，结合(1)可知，满足题设的点P只能是P (1, 0) .(田)当 a>0, b=1 时，f (x) =lnx , f' (x)f (x)在点(t, Int )处的切线方程为 y - lnt= (x

13、-1),即 y-x+lnx - 1. tt与丫=2乂2-x,联立得 ax2- (1工)x - lnt+1=0 . t,曲线f (x)与g (x)总存在公切线，关于 t (t >0)的方程 =J) 2+4a (lnt 1) =0,即&母短=4a (1-lnt ) (*)总有解若t>e,则1 - lnt <0,而(1彳)2>0,显然(*)不成立，所以0<t<e,2从而，方程(*)可化为4a=).12(1-lnt)令"3=；<£7(05<*'则H'等图:尸当 0Vt <1 时，h' (t ) &

14、lt;0;当 1<t <e 时，h' (t) >0,即h (t)在(0, 1)上单调递减，在(1, e)上单调递增.h (t)在(0, e)上的最小值为h (1) =4,.要使方程(*)有解，只须4a>4,即a>1.正实数a的最小值为1.例 8 . (2017?韶关模拟).已知函数 f (x) =aex (aw0) , g (x) =x2(I)若曲线c： y=f (x)与曲线C2： y=g (x)存在公切线，求a最大值.(H)当 a=1 时，F (x) =f (x) bg (x) cx 1,且 F (2) =0,若 F (x) 在(0, 2)内有零点，求实

15、数 b的取值范围.【解答】解：(I)设公切线l与ci切于点(xi, a/1)与C2切于点(x2, x)f' (x) =aex, g' (x) =2x,最新资料推荐叫r7,由知X2*0,代入：” " =2x2,即X2=2xi-2,2 c 小Xi -x由知 a=、'k 2' ,设 g (X)=4其4 , g' (x)令 g' (x) =0,得 x=2；当 x<2 时 g' (x) >0, g (x)递增.当 x>2 时，g' (x) <0, g (x)递减. amax=，x=2 时，g (x) max

16、=g (2) =-(H ) F (x) =f (x) bg (x) - cx - 1=ex - bx2 - cx - 1,= F (2) =0=F (0),又 F (x)在(0, 2)内有零点， F (x)在(0, 2)至少有两个极值点，即F' (x) =ex-2bx-c在(0, 2)内至少有两个零点.F (x) =ex-2b, F (2) =e2 - 4b - 2cT=0, c=&：,当 bw时，在(0, 2)上，ex>e0=1>2b, F ( x) >0, .F (x)在(0, 2)上单调增，F' (x)没有两个零点. 2当 b-时，在(0, 2)

17、上，ex<e202b, ；F (x) <0, F (x)在(0, 2)上单调减，F' (x)没有两个零点；1 2当-时，令F (x) =0,彳# x=ln2b ,因当 x>ln2b 时，F (x) >0, x<ln2b 时，F (x) <0,F (x)在(0, ln2b)递减，(ln2b, 2)递增， e2 1所以 x=ln2b 时，. . F ( x)最小=F (ln2b ) =4b 2bln2b - -+y, e2 1设 G (b) =F (ln2b) =4b- 2bln2b -髭垮，令 G' (b) =2-2ln2b=0,得 2b=e,

18、即 b*,当 b<|时 G' (b) >0;当 b>|时，G' (b) <0, 12当 b=-时，G (b)最大=6 (-1-) =e+-与-<0,G (b) =f' (ln2b) <0 包成立，因F' (x) =ex-2bx-c在(0, 2)内有两个零点，Fy (0)二一：-1 >Q2 +.F' (ln2a)=2b-2bln2b5V0,F,(2) 土2-4b-反孚L>0L乙22解得：.s_z3_<b<J_LL,4422综上所述，b的取值范围(豆二且M).44【作业 4】,已知函数 f (x)

19、=a (x - ) blnx (a, bC R) , g (x) =x2. x(1)若a=1,曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线与y轴垂直，求b的 值；(2)若b=2,试探究函数f (x)与g (x)在其公共点处是否有公切线，若存在,研究a的个数；若不存在，请说明理由.k.公切线的条数问题【例9】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =ex.(1)确定方程f (x)也1实数根的个数；x-1(2)我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f(x) , y=g (x)公切线的条数，并证明你的结论.【解答】解：(1)由题意得lnx=±L=1+

20、-,X-l K-1即 lnx - 1=/.K-1分别作出y=lnx - 1和y= ?的函数图象,由图 x-19象可知：y=lnx - 1和y=的函数图象有两个交K-1占八、方程f (x)卫3有两个实根;x-1(2)解：曲线y=f (x) , y=g (x)公切线的条数是2,证明如下:设公切线与f (x) =lnx , g (x) =ex的切点分别为(m lnm) , (n, en),廿n,-f' (x) , g' (x) =ex, x(1 n =e in,化简得(m-1) lnm=m+1, Im- eR = lL mF m当 m=1 时，(m- 1) lnm=m+1 不成立；当

21、 m 1 时，(m 1) lnm=m+1 化为 lnm=-5itL, ir-l由(1)可知，方程lnmH1有两个实根，m-1:曲线y=f (x) , y=g (x)公切线的条数是2条.【作业 5】,已知函数 f (x) =x2+2 (1 a) x- 4a, g (x) - (a+1) 2,贝 f(x)和g (x)图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答解：(1) f ' (x) = (2x+1) (x1) 2=0, x=工或 1, x= 2一二是h (x)的零点；2. g' (x) =k-, xk<0, g' (x) <0, g (x)在1 , +00

22、)上单调递减，g (x)的最大值为g (1) =k+1.k< - 1, g (1) <0, g (x)在1 , +oo)上无零点；k=-1, g (1) =0, g (x)在1 , S 上有 1 个零点；-1<k<0, g (1) >0, g (e1 k) =ke1k+k<0, g (x)在1 , +)上有 1 个零 点；综上所述，k<-1时，h (x)有1个零点；-1&k<0时，h (x)有两个零点； (2)设切点(t, f (t) ) , f' (x) =6x2-6x, 切线斜率 f' (t) =6t2- 6t, 切线

23、方程为 y-f (t) = (6t2-6t) (x-t),2切线过 P (a, -4) ,- 4-f (t ) = (6t -6t) (a-t),.4t3- 3t2- 6t2a+6ta 5=0由题意，方程有3个不同的解.令 H (t) =4t3- 3t2- 6t2a+6ta -5,贝U H' (t) =12t2-6t - 12at+6a=0. t=£或a.a=1时，H (t) 2 H (t)在定义域内单调递增，H不可能有两个零点,方程不可能有两个解，不满足题意；a>!时，在(-8,工)，(a, +00)上H' (t) >0,函数单调递增，在(,22a)上，

24、H' (t) <0,函数单调递减，H (t)的极大值为H(),极小值为H 2(a);a<工时，在(-°°, a),(1，+°°)上，H' (t) >0,函数单调递增，在(a,22上，H'<0,函数单调递减，H (t)的极大值为H (a) ,极小值为H弓)；要使方程有三个不同解，则 H (工)H (a) <0,即(2a-7) (a+1) (2a2-25a+5) >0,a>工或 a< - 1.2【作业2解答】解：由已知得f (x) =ax2+ (2a+1) xex, f (0) =0,所

25、以f(x) = (ax2+x - 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1) xe x=x (ax+2a+1) ex.若a>0,当犬<2或x>0时，f (x) >0；当时，f (x) <aa0,所以f (x)的单调递增区间为 e, -2),(o, +8)；单调递减区间为 a(2工 0). a若 a=0, f (x) = (x1) ex, f (x) =xex,当 x>0 时，f (x) >0；当 x<0 时，f (x) <0,所以f (x)的单调递增区间为(0, +8)；单调递减区间为(2,0).若当x>-2或 x&l

26、t;0 时，f (x) <0;当0<工<-时，f (x)0,所以f ( x )的单调递增区间为。-2)；单调递减区间为y, o),(气工 +8).a若平白，F (6二士故f (x)的单调递减区间为(-°0, +OO).2占若当工<_2或x>0时，f (x) <0;当n2<k<o时，f (x) 2aa0,所以f ( x )的单调递增区间为(-2-L，0)；单调递减区间为 a(g, -23, (0, +8).a当a>0时，f (x)的单调递增区间为(际，-24)，(0, +8)；单调递减区问a为(-2-L。)-a当a=0时，f (x)

27、的单调递增区间为(0, +00)；单调递减区间为(-°°, 0).,当 上<a<0时，f (x)的单调 递增区间为(0, -2)；单调递 减区间为2a(q, o), (-2-, +8). a当时，f (x)的单调递减区间为(-00, +8)；当时，f (x)单调递增区间为(t-L 0)；单调递减区间为(-，-20)， 2aa(0, +00)；(2) 证明：g (x) =e xf (x) +lnx= -e x (ax2+x-1) ex+lnx=ax2+x- 1+lnx ,设l 2的方程为y=k2x,切点为(x2, y2),贝1右二工，k?二/？上过，所以x2=1,

28、 x2y2=e, k2=e.由题意知ki=-k2=-e,所以11的方程为y= - ex,设l i与y=g (x)的切点为(xi, y。，贝Uki=g， (x J-Eax i +l-H-=a.1 11 X1 K1 2町 2xfilo又第二ax；+X+T+ln盯二-ex ， 即 三厂叼+lcx1丁=0, 令/ 升1 , r 3/ r _e+l . 1u(x)二工+lnx丁，u A-,在定义域上，u' (x) >0,所以(0, +oo)上，u (x)是单调递增函数，又 I .-M)*+lrr-<0 '2 1 e+1 2所以u(l),u(常，令 tJ ， 贝U l<t

29、<-, a(t)=t2+(e+l)tKe2a 氯当 a)T，e 2e22故(升11<a<-史2.2/2【作业3解答解：(1)证明：设F (x) =f (x) - g (x),则F' (x)- x旦，2，x由 F' (x) =0,彳4x=3,当 0Vx<3 时，F' (x) <0,当x>3时F' (x) >0,可得F (x)在区间(0, 3)单调递减，在区间(3, 十 单调递增，所以F (x)取得最小值为F (3) =ln3 - 1>0,F (x) >0,即 f (x) >g (x);(2)假设曲线f (

30、x)与g (x)有公切线，切点分别为 P3，lnx(0和Q (xi,22因为 f ' (x),，g' (x) =-y,所以分别以P (x0,Inx 0)和Q(xi, 2-且)为切线的切线方程为 y*+lnx 0- 1,1 二 3SO x j2X 1Xn,即 2lnx 1q-(3+ln3) =0.qT n yXilnxn-l=21I ° X1令 h (x) =2lnx 1+- - (3+ln3). xi所以由 h，(x) =-=0,彳# x1=3. Xi ；显然，当 0<xi<3 时，h' (x) <0,当 xi>3 时，h' (

31、x) >0,所以 h (x) min=ln3 1 >0,所以方程 2lnxi+f- (3+ln3) =0 无解，X1故二者没有公切线.所以曲线y=f (x)和y=g (x)不存在公切线；，一、，一、 ，_, 4021(3) (1+1X2) (1+2X3) ? ? (1+2012X2013) >e .理由：由(1)可得lnx >2 3(x>0),可令 x=1+n (n+1),可得 ln (1+n (n+1) ) >2 2>2 - :、1+n(n+1) n(n+l)=2-3 (1-Ln n+1则 ln (1+1X2) +ln (1+2X3) + +ln (

32、1+2012X 2013)>2X2012- 3 (1-+11+ +-J) =4024- 3>4021. 2 2 32012 20132013即有(1+1X2) (1+2X 3)( 1+2012X2013) >e4021.【作业 4 解答解：(I) f (x) =x - - - blnx ,f' (x) =1-±由于曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即f' (1) =0,即1+1-b=0,b=2;(2)假设f (x) , g (x)的图象在其公共点(xq, y°)处存在公切线,由 f (x) =a

33、(x- -) 2lnx，得 f' (x)一"一子近,g' (x) =2x, xv2由 f ' (x0) =g' (xq),得- 3=2xq, 即 2xq3 - axo2+2xo- a=0,即(x02+1) (2x0-a) =0,则 xq,2又函数的定义域为(0, +8),当a00时，xq=-|-< 0,则f (x) , g (x)的图象在其公共点(xq, y°)处不存在公切线;2当a>0时，令f (且)=g (且)，二222即 a _g=ln 且,令 h (x)-ln (x>0),8222lnW 20,2482<0,2

34、则h (x)在(0, 2)递减，(2, +8)递增.且h (2)且当 X一0 时，h (x) 一+OO；当 x一+00时，h (x) 一+oo, .h (x)在(0, +oo)有两个零点，2_n，方程5r"ln，在 9 +00)解的个数为2.综上：当a00时，函数f (x)与g (x)的图象在其公共点处不存在公切线;当a>0时，函数f (x)与g (x)的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2 个.在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有/'注)的一个不等式，以及 /(1”)的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。这类题型的常用思路是emph构造函数,下面举例说明。1.

35、 叽定义在R 上的奇函数，当A >至时(工口+D网”+2工/<p且n=Q则不等式n°的解集是()4(L +x)4-LOj-U(L+)Z?.(oc, - 1) U (0. 1)分析：观察条件给的不等式一 + 1） /（） + 2z/（.r） 。，它的左边是小）=（了？+1）几对的导函数。 故构造杰）/(H的其他性质转化成的性质，把要求解的不等式也转化成关于9 （h）的不等式。解答:令，心）=（/+ 1）人工），;当w 0时怛M）=（/ +1）r + 2 工川工）。由，（£山奇函数得也是奇函数，由门1.）=。得"（- 1） = 0。可得gu-）的“草图”如

36、下:而不等式£6) >。等价于“3 > u由“草图”易知解集为8T5。，1）,选，拓展：怎样构造出合适的函数呢？ 一般考虑一下三个模型:匡1 ' /(上3+工/(工)"时，有特别地，当以=1时，有y =/+/"?；当(7(* * /")丫 = *(砧n+ r(以特别地，当值=1时，有（""上"一"（/）+ /'（上）|；当” =1时，有(/丫 _ 尸 一 /'(工) cT ) ?.一/=上1产«/U） +心/+打年）我们可以对比这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形

37、式，确定口或者b下面再举几个例子：2,已知函数/（r）的定义域为R%, / Ji） =2,对任意上“£/?,/'（1>> 2,则不等式）红+ 4的解集是（）乐（-L1）+oc)分析：观察条件中给出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以构造gr） = f3一 2一 4。再把工的其他性质也都转化成9（：口的性质。解答：构造L=，八-2工二4。则T/ = /- 2 >。，在R上递增。由/& 1） = 2知,。（一。=0,而不等式/ > 益+ 4即为“ 沙工解集为"L +艾）, 选用。3,已知为定义在篮上的可导函数，且/ </对于H恒成

38、立，且t为自然对数的底，则M J(l) > j *0)| b(2012)-a, , 0)叵H1）。二型）2012）”叫旭CJ(l)/(2012) <e3012V(0)卬< £.0) 20 < 央2.7分析：对比可知，不等式 /【.，） < 是模型（2）当f? = -1时的特例。解答:构造函数：g）在丑上递增。f /(2012)，“ > g(O)9 12)> u(0)即央2 士 ”，再正确。4.设定义在T?上的函数 “门满足0）= -1 ,其导函数 尸满足尸3 >,则下列结论中一定错误的是（分析：由'3 n小> 1,尝试构造

39、。3 = 刁-"解答：令=/ ,/（工）>口,依q在理上递增。(A _ ) A T ,选 C5,已知定义在R上的奇函数的导函数为/'（1），当 。时，满足2/（工）_+工人工上工/（HI则/在R上的零点个数为（）AAB.3IC.5D1或工分析：对比题中给出的不等式可知，只需在模型中令工=2,即=一1。解答：令7'上），则当注V 0时，“（上»=附-上/3+上/",）o在i-x上递增“时，虱6 v o无零点。由, 匚上 可知"皿的零点与/（f）的零点相同，（）在£ 。时无零点。而是奇 函数，/（九金 0时也没有零点。，工=o是/。唯-的零点。选>L注意：本题无法从/（上，是奇函数得到是奇函数或者偶函数。【解答】解：(I)由 f (x) =2x33x得f' (x) =6x2- 3,令 f' (x) =0得，x= - 2/11或 x=Ll,