第多元函数微分学PPT学习教案

1、会计学1第多元函数微分学第多元函数微分学 7.1 空间解析几何基础空间解析几何基础一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 1基本概念基本概念 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出在空间取定一点O，过O作三条具有长度单位且两两相互垂直的数轴：x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.规定三条坐标轴的正向构成右手系，如图7-1所示，由此构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz直角坐标系，点O称为该坐标系的原点. 第1页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出图7-1由x轴和y轴确定的平面称为xOy面.类似地，有yOz面和zOx面. 三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部

2、分称为卦限，卦限，分别用罗马数字，表示.如图7-2所示. 图7-2第2页/共21页上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出MMx设分别作垂直于轴， yz轴的三个平 ,P Q和 坐标轴的交点依次为 xy, ,x y z这三个点在轴，轴，轴上的坐标依次为可知,任何有序数组是空间中任意一点，过点面，它们与三个R就唯一确定了一个有序数组 .则点(,)x y z反之,将以上过程倒过来, (,)x y z第3页/共21页(,)x y z(,)x y zM,x y zM一定对应空间中唯一的一点,这样,空间的点就与有序数之间建立起一一对应关系，称有序数组为点的坐标，并依次称为点的横坐标， 组纵坐标，和竖坐标

3、，记为( , , )M x y z. 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出例1坐标轴上、坐标面上及卦限中点的坐标各有什么特点？解解(1) x轴上的点，有y=z=0； y轴上的点，有x=z=0； z轴上的点，有x=y=0.第4页/共21页. 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 (2) xOy面上的点，有z=0； yOz面上的点，有x=0； xOz面上的点，有y=0. (3) 考察八个卦限中点的坐标的正负号，有如下特点：(+，+，+),(-，+，+),(-，-，+),(+，-，+)，(+，+，-),(-，+，-),(-，-，-),(+，-，-).第5页/共21页. 上一页上一页目录目

4、录下一页下一页退退 出出例2已知点M(1，-2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解解设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则(1) 由x+1=0，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(-1，2，-3).(2) 由x=1，y+(-2)=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(1，2，-3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(-1，2，3).(3)由x=1，y=-2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(1，-2，-3).同理，M关于yOz面的对称点的坐标为

5、：(-1，-2，3)；第6页/共21页. 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出M关于zOx面的对称点的坐标为：(1，2，3).2、空间两点间的距离空间两点间的距离 设1111(,)Mxyz和2222(,)Mxyz为空间中两点， 过点和2M分别作垂直于三个坐标轴的平面， 这六个平面围成一个长方体（如图7-4所示）.其棱长分别为21xx，21yy， 和21zz. 得到空间两点， 2M距离为1M1M22212212121dM Mxxyyzz第7页/共21页. 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出图7-4例3在z轴上求与两点 (4, 2,2)A和(1,6, 3)B等距离的点.解解设所求的点

6、为(0,0, )Mz，得22MAMB即222222(40)( 20)(2)(10)(60)( 3)zz 得11z ，因此所求的点的坐标为(0，0，11).第8页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出二、空间曲面及其方程二、空间曲面及其方程 定义定义 1 在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程F(x,y,z)=0的图形，如图7-5所示 图7-5第9页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出下列是几种常见的空间曲面：1.平面平面

7、先看平面的一个引例例4已知1(1, 2,0)M、2( 1,0,3)M，求12M M的垂直平分面的方程. 解解 设( , , )M x y z是所求垂直平分面上任意一点，则12MMMM第10页/共21页上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出由空间两点的距离公式可得222222( 1) ( 2) ( 0)( 1) ( 0) ( 3)xyzxyz 整理化简得到垂直平分面的方程为4x4y6z+5=0 .可以证明，空间任一个平面方程均可表示为Ax+By+Cz+D=0其中A、B、C、D、均为常数且A、B、C不全为0.上述方程称为平面的一般方程平面的一般方程第11页/共21页.上一页上一页目录目录下一页

8、下一页退退 出出下面是几种特殊的平面方程：(1)当D=0时，Ax+By+Cz=0表示过原点的平面过原点的平面.(2)当C=0时，Ax+By+D=0表示平行于平行于z轴的平面轴的平面； 当A=0时，By+Cz+D=0表示平行于平行于x轴的平面轴的平面； 当B=0时，Ax+Cz+D=0表示平行于平行于y轴的平面轴的平面.(3) Ax+D=0表示平行于平行于yOz平面平面；By+D=0表示平行于平行于zOx平面平面.Cz+D=0表示平行于平行于xOy平面平面.第12页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出例6求平行于z轴且过M1(1,0,0)，M2(0,1,0)两点的平面方程.解解因

9、所求平面平行于z轴，故可设其方程为 Ax+By+D=0.又点M1和M2都在平面上可得关系式：A=B=D,代入方程得：DxDy+D=0.显然D0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+y1=0.第13页/共21页上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出2.球面球面例7建立球心在点0000(,)Mxyz、半径为R的球面方程.解解 设( , , )M x y z是球面上的任意一点 .则222000 xxyyzzR即方程2222000 xxyyzzR表示球心在0000(,)Mxyz半径为R的球面的方程球面的方程. 第14页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出例8 方程222680 x

10、yzxy表示什么样的曲面?解解 原方程可化为222(3)(4)25xyz即方程表示以点0( 3,4,0)M为球心，半径R=5的球面.第15页/共21页 3. 柱面柱面LCCL直线沿定曲线平行移动形成的轨迹叫柱面,叫柱面的准线准线，动直线叫柱面的母线.定曲线 222xyRxo y222xyRzL例例9 由圆移动而形成的曲面叫圆柱面. (如图7-9)面上的圆叫做它的准线，这平行于轴的直线叫做它的母线母线.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出图7-9第16页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出只含x，y而缺z的方程F(x，y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，

11、其准线是xOy面上的曲线C：F(x，y)=0.如方程22yx表示母线平行于z轴,准线是xOy平面上的抛物线22yx的抛物柱面抛物柱面.同理,22134xy表示椭圆柱面椭圆柱面.22134xy表示双曲柱面双曲柱面.第17页/共21页4. 几种常见的二次曲面几种常见的二次曲面(1) 椭球面椭球面2222221xyzabc,a b c （为正的常数）. 所确定的曲面叫椭球面,其中, ,a b c称为半轴,如图(7-10)所示.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 图7-10由第18页/共21页.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出(2) 椭圆抛物面椭圆抛物面2222xyzpq,其中p,q同号.如图a(3) 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马