排列(一)优质课

1、1.2.1 排排 列列(一一) 分类加法计数原理分类加法计数原理 如果完成一如果完成一件事情有件事情有n n类办法类办法，在第，在第1 1类办法中有类办法中有m m1 1种种不同不同的方法，在第的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种种不不同同的方法，的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种种不不同同的方法，那么完成这件事共有：的方法，那么完成这件事共有： 种种不同不同的方法。的方法。 nmmmN21 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事情完成一件事情需要有需要有n n个步骤个步骤，做第，做第1 1步有步有m m1 1种种不同不同的方法，的方法，做第做第2

2、 2步有步有m m2 2 种种不同不同的方法，的方法，做第，做第n n步步时有时有m mn n种种不同不同的方法。那么完成这件事共有的方法。那么完成这件事共有 种种不同不同的方法。的方法。nmmmN21 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加某天名参加某天的一项活动，其中的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？种种 种种甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙分析分析：树形图：树形图：相应的排列：相应的排列：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙甲乙，甲丙

3、，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙探究：探究：N=32=6种把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的的顺序排成一列顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb共有 32=6 种种种 种种 种种种种 从、这四个数字中，取出从、这四个数字中，取出3 3个数个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？ 分析：分析： 树形图：树形图：有此可

4、写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。同样把问题同样把问题2中被取的对象也叫做中被取的对象也叫做元素元素,于于是问题是问题2就可以叙述为：就可以叙述为： 从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d中任取中任取3个，然后按照个，然后按照一定的一定的顺序排成一列顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方，一共有多少种不同的排列方法？法？共有 432=24 种abc,abd,acb,acd,adb,adc

5、; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名名参加某天的一项活动参加某天的一项活动,其中其中1名参名参加上午的活动加上午的活动,1名参加下午的活动名参加下午的活动,有多少不同的排法有多少不同的排法? 原问题即：原问题即：从从3名同学中名同学中,任取任取2名名, 按参加上午的活动在前按参加上午的活动在前,下午的下午的 活动在后的顺序排成一列活动在后的顺序排成一列, 有哪有哪 些不同的排法？些不同的排法？实质是：实质是：从从3个

6、不同的元素中个不同的元素中, ,任任 取取2 2个个, ,按按一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列, , 有哪些不同的排法？有哪些不同的排法？ 问题问题2 从从1，2，3，4这这4个数中，每个数中，每次取出次取出3个排成一个三位数，个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？共可得到多少个不同的三位数？原问题即：原问题即：从从4个不同的数字中个不同的数字中, 任取任取3个个,按照百位按照百位,十位十位,个位个位 的顺序排成一列的顺序排成一列,写出所有不写出所有不 同的排法同的排法.实质是：实质是：从从4个不同的元素中个不同的元素中, 任取任取3个个,按照按照一定的顺序排成一定的顺序排成 一列

7、一列,写出所有不同的排法写出所有不同的排法.基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个个不同不同中取出中取出m (m n)个元素，个元素，按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列时的排列叫全排列。 1 1、元素不能重复。、元素不能重复。 2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置就是与位置有关有关, ,这是判断一个问题是否是排这是判断一个问题是否是排列问题的关键。列问题的关键。排列的特征排列的特征注意

8、：注意：两个排列相同，当且仅当这两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。元素的排列顺序也完全相同。你能归纳一下排列的特征吗？你能归纳一下排列的特征吗？（互异性互异性）（有序性有序性）练习练习1 下列问题是排列问题吗？下列问题是排列问题吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？其不同结果有多少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？其不同结果有多少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点

9、的坐标，十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中你能归纳这几类问题的区别吗？）（从中你能归纳这几类问题的区别吗？）是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列2、排列数：、排列数： 从从n n个个不同不同的元素中取出的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所

10、有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。mnA排列与排列数的区别排列与排列数的区别排排 列：列：不是数不是数 ， 是有序的元素列；是有序的元素列；排列数：排列数：是数是数 ，排列的个数用符号，排列的个数用符号 表示。表示。mnA有无顺序区别有无顺序区别是判断一个问题是不是是判断一个问题是不是排列问题的重要标志排列问题的重要标志233 26A 问题问题中是求从个不同元素中取出个元素的中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得23A344 3 224A 问

11、题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出34A探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA第第2位位第第1位位nn-1) 1(2nnAn2nA探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2)2)(1(3nnnAn3nA第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1) 1()2)(1(mnnnnAmn

12、mnA(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn123) 2)(1(nnnAnn正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。! nn n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：! nAnn排列数公式的特征：排列数公式的特征：（）（）m项相乘；项相乘；（）右边第一个因数是（）右边第一个因数是n ，后面每个因数比前一个少，后面每个因数比前一个少1nn表示什么呢？表示什么呢？n个元素全部取出的一个全排列的排列数个元素全部取出的一个全排列的排列数nn=？例例1 1、计算：、计算：（

13、1 1）（2 2）（3 3）48A66A316A17 16 1554mnA 练习练习2 2若，则m ，n 17143360141516316A解：解：720123456! 666A1680567848A练习练习3.3.已知从已知从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列数个元素的排列数56,56,则则n= _. n= _. 8例例2 2、某年全国足球甲级、某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参加，个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意

14、两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次客场比赛，次客场比赛，对应于从对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的一个排列，因此，个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是比赛的总场次是1821314214A练习练习3 3：某信号兵用红，黄，蓝：某信号兵用红，黄，蓝3 3面旗从上到下挂在面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1 1面、面、2 2面或面或3 3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？表示多少种不同的信号？15123233332313AAAN 例例2 2（1 1）从）从5 5本不同的书中选本不同的书中选3 3本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各1 1本，共有多少种不同本，共有多少种不同的送法？的送法？ （2 2）从）从5 5种不同的书中买种不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ 3560A=( (种种) )35125=( (种种) )排列数分步乘法计数原理【排列】从n个不同元素中选出m