概率论与数理统计4-2 方差

1、第二节第二节 方差方差教学内容教学内容 1 方差的定义与计算方差的定义与计算 2 方差的性质方差的性质 3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 4 常见分布的方差常见分布的方差教学重点教学重点 方差的计算与性质方差的计算与性质 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各

2、测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必要的.、那么、那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?当当然可能首先想到的是用然

3、可能首先想到的是用 ，但他有正有负，因而，但他有正有负，因而会互相抵消而使会互相抵消而使 ，容易看到，容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差)(XEXE 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.XEX()0E XEX一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为

4、 X 的方差的方差. 记为记为D(X)或或Var(X)，即，即具具有有相相同同的的量量纲纲。，它它与与记记为为的的标标准准差差或或均均方方差差称称为为方方差差的的算算术术平平方方根根XXXXD)()( D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度 .若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺

5、度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)定义法定义法1( ) ()()kkkE YE g Xg xp( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)

6、+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质Y8910P0.20.40.4：的射击水平由下表给出的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们甲、乙两人射击，他们例例1：乙击中的环数；：乙击中的环数；：甲击中的环数；：甲击中的环数；YX平较高？平较高？试问哪一个人的射击水试问哪一个人的射击水环环数数解解：比比较较两两个个人人的的平平均均 环环甲的平均环数为甲的平均环数为2 . 95 . 0102 . 093 . 08 EX 环环乙的平均环数为乙的平均环数为2 . 94 . 0104 . 092 . 08 EY的方差分别为的方差分别为的，但两个人射

7、击环数的，但两个人射击环数是一样是一样，甲乙两人的射击水平，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看因此，从平均环数上看 72. 05 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98222 DX 624. 04 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98222 DY比甲稳定比甲稳定，这表明乙的射击水平，这表明乙的射击水平由于由于DXDY 二二 常见分布的方差常见分布的方差2*1 ()()0, , (),()XE XXD XXE XD X例题设随机变量 具有数学期望，方差记求。*1()()()0XE XEE X*2*2()( ) ()D XEXE X2()

8、XE解221() EX21()1D X为为X的的标准化标准化变量变量注注 任何存在数学期望和方差（不为任何存在数学期望和方差（不为0）的随机变量都）的随机变量都可以标准化。可以标准化。例例2设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE 2221)1(0)(由公式由公式)1()()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 例例3。，求，求设设)()(XDX 解解X的分布率为的分布率为0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上节已算得上节已

9、算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被确定了泊松分布就被确定了只要知道只要知道分布率中只含一个参数分布率中只含一个参数。泊松分布的。泊松分布的等于等于数学期望与方差相等，数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布(),()E XD X例例4。，求，求设设)(),(XDbaUX解解 的概率密度为的概率密度为X 其它其它01)(bxaabxf。方差为。方差为上节已求得上节已求得2)(baXE 1221)()()(22222a

10、bbadxabxXEXEXDba 因此因此,均匀分布均匀分布2( ),( )212b aa bE XD X例例5设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指数分布指数分布2E XD X（ ），（ ）例6 2( ,),()XXND X 设 服从求22()221()2xD Xxedx（22222tt edt22222|2ttteedt2注意 对于任何一个正态分布中的参数都有其自身

11、的意义三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C 是常数是常数, 则则 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)若若 X,Y 相互独立相互独立, 则有则有()()( )D XYD XD Y此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDY

12、EYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 1212211 (1,2,. )(.)()().()()()innnniiiiiiX inD XXXD XD XD XDC XC D X若相互独立，则有：进一步有： 4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里这里C=E(X)推论例例7 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1下面我们的举例说明方差性质应用下面我们的举例说明方差性质应用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次数次数 . 则则X表示表

13、示n重努里试验中的重努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立niiXDXD1)()(= np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(则则若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 且且它它们们相相互互独独立立，则则若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCX

14、C 且且例例8 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.解解:=42+1=21-0+3(E(Z), D(Z)Z N(5, 32)且且X与与Y独立独立,YN(0,1)，XN(1,2),则则 ZNE(Z)=2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)= D(2X-Y+3) =4D(X)+D(Y)=92(5)181( ).3 2zZfze四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)| 的概率越大，即的概率越大，

15、即随机变量随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.2 221| )(| XEXP22| )(| XEXP，有不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理,)(,)(2XDXEX例例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是白细胞数平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解：解：D(X)=7002P5200 X 9400设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,设设A= 每毫升白细胞数在