2020届江西名校高三11月大联考数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 19 页2020届江西名校高三11月大联考数学(理)试题一、单选题221 .已知集合 A x | x 4x 0,B x | x 40，则AI B()A . 2,0B.(,0)C . 2,0)D. 4,4【答案】C【解析】对集合A和集合B进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案【详解】由题得A x|2x4x 0 x|x 0 或x 4,B x2|x 40 x| 2x 2,则 AIB x|2x 0,故选： C.【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题2 .已知角a终边上一点 M 的坐标为(1, ” 3)，贝 U sin2( )1B1A .C.-D .2222【答案

2、】D【解析】根据题意, 结合所在象限，得到sin禾口cos的值，再根据公式，求得答案【详解】由角终边上一点M 的坐标为1/3,得sin乜,cos122故sin22si ncos,12故选 D.【点睛】第2页共 19 页本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 1 .3 .已知A .二2(2,),sin(B2 )，贝sin cos()D.卫22C.，2【答案】D【解析】由诱导公式得到1sin 22,再根据二倍角公式展开，结合同角三角函数关系，得到sincos2的值，结合的范围得到答案【详解】因为 sin(2 )12，所以 sin 211即 2sin cos22所以(sin

3、cos2)12sin cos1 1 3,2 2 又-,0，所以 sincos ,2所以得到sincos故选 D.【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系，属于简单题A .1,LI【解析】先判断出f X是偶函数，排除 C、D，再由f 1的正负排除 B，从而得到答案一、,24.函数f(x)(r1)sinx在2,2B.D.第3页共 19 页【详解】第4页共 19 页因为fx1 sin x2 2xx1 si nx1 2x2x1 sin x 2x1f(x),所以函数 f(x)是偶函数，排除 C、D ,1又当x 1时，f(1)3sin1 0，排除 B,3故选：A.【点本题考查函数图像的

4、识别，属于简单题5.已知yx, y 满足约束条件x0,则 z x 2y 的最小值是(【答B.6【解根据约束条件然后将B时，直线的截距最小，从而得到答案【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得 A(1,1),B( 2, 2),C( 5,1),11z x 2y，贝 Vy x -z,2211当直线y x z过点B( 2, 2)时，z 取到最小值,22所以 z x 2y 的最小值是2 2(2)6,故选：B.本题考查线性规划求最值，属于简单题【点第5页共 19 页fX单调递增，从而得到答案【详解】 若函数 f（X）在 R 上为增函数, 则在两段上都应为单调递增函数,aa对称轴为x，

5、所以1,22二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即a a2a解得a故选：D.【点睛】本题考查分段函数的性质，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题A .(,1B.1,)C.(,2D.2,)【答案】D【解析】由fx为增函数，得到其在每段上都为增函数, 得到x 1时，二次函数对称轴大于等于1,且当x 1时,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,6 .已知函数f（X）In x,x 12 2x ax a1,x1在R上为增函数，则a的取值范围是（才能保证当x 1时，f X2x axa21,且在x 1处,所以得到1a20所以a2.第6页共 19 页7.已知非零向量a与b的夹角为，tan、2，(a

6、2b) (ab），则B. 3C. J3【答案】D【解析】计算 cosF，根据（a 2b）b2 -ra0 ,解得答案.第7页共 19 页c g()，则 a, b, c 的大小关系为(B.c b a【答案】C【详tan(a2b) (a0,，故 cos .3rr r r r 2r r 2b),故(a 2b) (a b) a a b 2br22b故选：D.【点0,解得詈？或愕|a|3|a|(舍去)本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力8.设0,将函数 y sin( x 3)的图象向左平移6 个单位长度后与函数y cos( x )的图象重合，则的最小值为(【答案】CB.2C.【解析】 根据题意得

7、到平移后的解析式sin(63),再将函数y cos(5化为y sin( x，从而得到-2k ，得到 的表达式，根据的范围,得到答案.将函数 ysin( x3)的图象向左平移本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题9 .已知奇函数 f (x)在 R 上是增函数,g(x) xf (x).若 a g(log24.1), bg(0.22 ),【详【点6 个单位长度后，第8页共 19 页【解析】 先判断出g x的单调性和奇偶性，再判断出log24.1,20.2,的大小，禾 U用g x的奇偶性和单调性判断出a, b, c 的大小关系，得到答案【详解】因为奇函数 f(x)在R上是增函数，

8、所以当x 0时，f(x) 0.对任意的 x“ x2(0,+ )且为 x2，有 0 f(xj f 区)，故g(xj g(X2)，所以g(x)在(0,+)上也是增函数，因为 g( x) xf ( x) xf(x)，所以g(x)为偶函数.又 log24.1(2,3)，20.2(1,2)，所以 1 20.2log24.1， 0.2 0.2而 b g( 2 )g(2 )，所以b a c，故选:c.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题.10.公比不为 1 的等比数列an的前n项和为Sn，若印,a3,a?成等差数列，m$ ,S3,S4成等比数列，则m()789A .

9、 -B. C.1D.-855【答案】D【解析】根据a1,a3,a2成等差数列，得到q的值，再表示出 S2,S3,S4，再由 mS,S3,S4成等比数列，得到关于m的方程，解出m的值，得到答案.【详解】设a.的公比为 q(q 0 且 q 1),第9页共 19 页根据a1,a3,a2成等差数列,第10页共 19 页2得 2a3印 a2，即2aga1ag,因为ai 0，所以 2q 1 q 0 ,即(q1 )(2q1)0.因为q 1,所以q12，则 3a1(1q1 2)3a1q4 1 qS3a1(1 q3)9a1 1 q8 1qS4a1(1 q4)15a1 q161 q12，由基本不等式1的妙用，得到

10、最小值，并研究等号成立条件，得到答案【详解】ms2q aa9 - 8qaa1 15一16q3 - 4m- 115W1 - 23 - 4m21 - 2aa9 -81 - 2aa故选:【点本题考查等比数列通项和求和的基本量计算,11.若x0,y1且满足2x y1,等差中项、等比中项的应用，属于中档题.2x21 丄 厂 I的最小值是【答【解对所求的B.2x212T1 进行化简， 得到2x211厂，根据第11页共 19 页因为 mS2,S3,S4成等比数列,2x21y22x1x1 彳 1y 1y 1x1xy 1y 1，因为 2x y 12，1所以-(2x y21)(1 -x y11y 1)-(312x

11、2x 兰) y11(3 2)，当且仅当 8 =x2x=y 1，2x y 1时取等-口号,即 x 2,2,y2233 时取得最小值一22.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，1的妙用求最值，属于中档题132x x , x mg(x) f (x) a恰12 已知函数f(x)3,若存在实数 a,使得函数x m, x m好有 4 个零点，则实数m 的取值范围是()A (0,2)B.(2,)C.(0,3)D (3,)【答案】B【解析】问题等价于直线y a与函数 f(x)图象的交点个数，利用导数得到1y 3X3x2的单调性、极值、最值，从而根据不同的m的范围，画出f x的图像, 再根据图像，

12、得到直线y a与函数 f(x)图象有4个交点时，对应的m的范围，得到 答案【详解】g(x) f(x) a的零点个数等价于直线y a与函数 f(x)图象的交点个数.1322令 y x x ， y x 2x，3当x 0或x 2时，y 0,当Ox 2时，y 0,当x 2时，y 0，所以函数132y；x x 在(，0)，(2,)上单调递减，3在(0,2)上单调递增，画出函数 f(x)的大致图象如图所示，2x y第12页共 19 页由图可知当m 2时，存在直线y a与函数 f（x）图象的交点为 4 个;当0 m 2时，直线y a与函数 f （x）图象的交点至多为 3 个；当m 0时，直线y a与函数 f

13、（x）图象的交点至多为 2 个；所以m的取值范围为（2,）.故选 B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，画函数图像，函数与方程，根据零点个数求参数的范围，属于中档题、填空题【答案】124时，函数f x有周期性，判断5 log26的范围，然后利用周期性，得到f 5 log26 f 1 log26，代入x 4时的解析式，得到答案【详解】由题意x 4时，函数f x f x 1, 所以f x在 4, 时，周期为1,因为 2 log26 3，所以5 log267,10,1 log26 3,4,所以f 5 log26 f 1 log2621 log262 6 12.故答案为：12.【点

14、睛】 本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题14 已知等差数列an，其前n项和为Sn，若 323524, S3S9，则S.的最大值为13 .已知函数f （x）2x,x 4f(x 1),x4，则f（526）的值为【解析】根据题意可知x第13页共 19 页【答案】72【解析】根据S3S9，得到a6a70，结合 a2a524 0，得到数列a.的前 6项为正，从而得到n 6时，Sn的最大值，得到答案.【详解】根据等差数列下标公式可得a6a70,又 a2a5240，所以数列an的前6项为正,所以当n 6时，Sn有最大值，且S63(aia6)3(a2a5)72.故答案为：72 .【点睛】本题考查

15、等差数列的下标公式，前n项和的最值，属于简单题15.已知VABC中，AB 2,BC 3, ABC 60 ,BD 2DC,AE 2EC，则uuuv uuvAD BE _.4【答案】-3【解析】根据条件中的几何关系, 用数量积的运算律进行计算，得到结果 【详解】因为BD 2DC,AE 2EC,4444 由S3S9，得a4a5a6a7a8a90,将AD和BE用BC1和BA来表示， 然后将ADBE利uuuu uuu2UUlU uuuuu2uur所以 ADBDBABCBA,BEBC33uuu uuu2uuu2uuu 1uu所以 AD BE-B3CBA3BC -3BAUJLT21uuu24 uuu uuu

16、BCBABC BA911391 uiu43 2 cos609-BA3第14页共 19 页333第15页共 19 页本题考查向量的平面基本定理，向量数量积的运算律，属于中档题116 .函数f(x) sinx -sin2x的最大值为2【答案】亠!4【解析】 对f x求导，利用导数，判断出f x的单调性，从而求出f【详解】、1因为f(x) sinxsin 2x2求导得 f (x) cosx cos2x 2cos x cosx 1(2cos x 1)(cosx 1),因为cosx 10,11所以当cosx一时，f(X)0，当 1 cosx -时，f (x)0,22即当2kx 2k -,k Z时，f (

17、x)单调递增,335当 2k + x 2k ,k Z 时，f (x)单调递减，33，故 f (x)在 x 2k -, k Z 处取得极大值即最大值，313 1333所以 f(x)maxsin sin(2 ).3232224故答案为：二.4【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题 三、解答题217 .已知函数 f (x) 2a sin(? x)cos( x 寸)，且 f(f) 1 .4故答案为：-.3【点睛】x的最大值第16页共 19 页(1)求a的值及 f(x)的最小正周期;(2)若(0,q)，求 sin2a.【答案】(1)a 2,n； (2)32 26【解析】(1)由 f1

18、 得到a的值，再对f x进行整理化简，得到sin(2n2si n(2x)61-，判断出3sin 2【详解】(1)由已知 f所以 f(x)3sin 2x所以 f(x)(2)f(因为又 sin(21，从而得到f x的最小正周期;2的范围，得到 cos(26n，利用公式展开，从而得到答案61，得 2a1，解得a 2.(2)由f()寸 314cos x( sin x cosx)222.3 sin xcosxc22cos xncos2x 1 2sin(2x6)2sin(2 x -n) 161-,2sin(2(0,-)，所以 2所以cos(2：)则 sin2 =sin(2sin(21 总3 2【点睛】Tt

19、v7t冷 62 23的最小正周期为n1寸，所以 2cos(2 )sin 6 6-2 26 .本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式,角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题13 得到sin2转化为求正弦型函数的周期性,18.已知数列a*的前 n 项和为Sn，且 0 nn,数列bn满足第17页共 19 页第18页共 19 页anb1b2Lbn2Ln2 1221 2n1(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若n,求数列Cn的前 n 项和Tn.【答案】(1)ann 12n(n N ) , bn22(n N )；(2)Tn(n1) 2n 12【解析】(1)根据n 2时，a

20、nSnSn 1，验证n从而得到an的通项，然后由b1an芦b2221bhbb2L厂，得到 71 厂Lbn12，通过作差得到bn的通项公式；(2)根据 (1)得到Cn的通项，利用错位相减法得到Cn的前n项的和Tn.【详解】(1)因为 0 n2所以当n1时，a1S12(n 1)(n1)2n又a12也满足上式, 所以 an2n(n Nb1又 二 L2 1 221所以2L2 1 221bnbn 12n 112n，2n 2(n2,n两式作差得，bn2n12，所以 bn2n 12(n 2,n当n 1时，也32,b16，又b16满足上式，所以(2)因为 Cnanbnn n 2n,4所以Tn1 22223 2

21、3L n 2n23nn 12Tn1 222L (n 1) 2 n 2,两式相减，得Tn23nn 12 22 L 2 n 2即 Tn2n12 nn 12 ,所以Tn(nn1) 212.Nbn【点睛】n 122(nN ).本题考查根据Sn求an的通项，错位相减法求数列的前n项的和, 属于中档题19 .如图，在VABC中，BAC, B, C的对边分别是a,b,c,BAC 60 ,AD为第19页共 19 页第 14页共 19 页BAC 的平分线，AD(1)若DC 2BD，求c；（2）求VABC面积的最小值【答案】 （1）c- ；( 2).,32【解析】 （1）根据已知条件，结合SA ABDBD1:一，

22、利用三角形面积公式，表示出面SAADCDC2积，从而得到AC 2AB，在ABD、VACD中，利用余弦定理表示出cos BAD和cos CAD，然后代入已知条件，解得c的值;（2）设BD x，所以 DCbx，在 c ABDAACD 中，由余弦定理可知3 x2方程，消去x得到关于b,c的方程,VABC面积，从而得到其最小值【详解】(1)因为DC 2BD，BAD所以SABDSADCBDDC所以1AB21 AC AD sin CAD2AD sinBADABAC所以AC 2AB.在ABD、VACD中,由余弦定理，得 cosBAD2ABcos CAD2AD CDAC22AC AD即 cos303 BD2解

23、得c(2)设得到（bCAD，b2bx23 ()2c2 . 3bc)(bc b c) 0，2AD BD2AB AD2空，得到关于x,b,c的2分类讨论，分别研究2c2 3cBD x，则由（cos3023 4BD4c243C1）可知DDAB，所以ACDC第 14页共 19 页第 16 页共 19 页在ABD, ACD 中，由余弦定理可知2 2c 3 x2.3cb23 (竺)2c2 3b2，所以 x2c23 3c,3b,消去x，得 b2(c232 23c) c (b 33b),化简, 得(b c)(bc b c) 0.c时，VABC为等边三角形，此时c2, SA ABCbcc 时，由基本不等式可得b

24、c b2 bc，得到bc2，即bc42时取等号，此时 SAABC1bcsin 602Tbc 3.综上可得,VABC面积的最小值为3【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题20 已知函数 f(x) axb(a 0,且a 1)，满足f(1)3，且f (n 1) 4f (n)+3，其(1)求函数f (x)的解析式;(2)求证：1 11L14f(1) f(2)f(3)f(n) 9.【答案】(1)f(x)=4x1 ；(2) 见解析【解析】(1) 由f(1)3, 且 f(n1) 4f (n)+3中nN.于a, b的方程组，解得a, b的值

25、，从而得到f，得到f15，代入函数，得到关解析式;(2)nn 1由 f (n) 41 3 41 1得至 ynr，从而得至 uf(n) 3 41 1 1f(1) f(2)f(3)L盘13(11 14421盯),再利用等比数列求和公式,得到前n项的和,从而得到证明【详解】(1)由 f(n 1)4f (n)+3(nN )得f(2)4f(1) 315，b 3b 15,第23页共 19 页第 16 页共 19 页所以 f(x)=4x1.(2)由(1)得 f(n) 4n1(n N )由于4n 11,即卩44n 13 4n 11，所以4n134n即 f (n)4n13 4n 1所以111L1f(1)f(2)

26、f(3)f(n)1111 (1 -2Ln 1)3444【点睛】 本题考查求函数的解析式，等比数列求和，放缩法证明不等式，属于中档题In x+a / 厂、21 已知函数 f(x)x(a R).x(1)当a 0时，求曲线 f (x)在x=1处的切线方程； (2)若函数 f(x)在区间(1,)上有极值，求实数a的取值范围.【答案】(1)2x y 10； (2)(2,)【解析】(1)代入a 0，对f x求导，代入x 1得到斜率，再由点斜式写出直线方程; (2)对f X求导，令 F(x) x2In x a 1，然后再求导得到F x，可得x (1,)时，F (x)0,所以函数F(x)在(1,)上单调递增，

27、再根据 F(1) 2 a ,按a 2和a 2进行分类讨论，得到函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x x。，从而 得到若函数 f(x)在区间(1,)上有极值，则a 2.【详解】,、， zIn x1 In x(1)当a 0时，f (x)x, f (x)21 ,xx则f (1)1,f (1)2,故曲线 f(x)在x 1处的切线方程为：y 1 2(x 1)，即2x y 1 0.解得41或：(舍去),1-3 4-91-3 4-911第25页共 19 页所以在(2,)上，G(x) 0 恒成立,所以 F (a)a2In a a 1 0，所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x X。，综上，若函数 f

28、(x)在区间(1,)上有极值，则a 2.故实数a的取值范围为(2,).【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题1222 .已知函数 f (x)x In x 2mx(m 0).2(1) 判断函数 f (x)的单调性；(2)若函数 f (x)有极大值点x t，求证：tI nt mt21 .【答案】(1)见解析；(2)证明见解析【解析】(1)对f x求导，得到f x,然后判断f x 0的根的情况，得到f x的正负，然后得到f x的单调性；(2)由(1)可得m1，且(2)f(x)In xxax(x 1),f(x)令 F (x) x2In x a 1,则F (x) 2x当x(1,)时， F (x)0 ,所以函数1 InX1ax2In x a 12-22,xxx12x21xx又 F(1) 2 a,故当a 2时，F(x) 0, f(x)0,f (x)在(1,)上单调递增，无极值;当a2时，F(1) 0 , F(a) a2Ina a 1 ,21令 G(x)x In x x1，则G(x)2x 1x2x2x 1x当x 2时，G(x)0，函数G(x)在(2,)上单调递增，G(2) 3 In 2 0 ,