实验8常微分方程与级数

1、实验8 常微分方程与级数实验目的：学习用matlab求解微分方程命令dsolve.学习matlab泰勒级数展开命令.巩固幂级数的收敛半径、和等概念.实验内容：学习matlab命令. matlab求解微分方程命令dsolve，调用格式为： dsolve(微分方程)给出微分方程的解析解，表示为t的函数. dsolve(微分方程，初始条件)给出微分方程初值问题的解，表示为t的函数. dsolve(微分方程，变量x)给出微分方程的解析解，表示为x的函数. dsolve(微分方程，初始条件，变量x)给出微分方程初值问题的解，表示为x的函数.求已知函数的taylor展开式taylor命令，调用格式为： t

2、aylor(函数f(x) f(x)的5次taylor多项式. taylor(函数f(x)，n) f(x)的n-1次taylor多项式. taylor(函数f(x)，a) f(x)在a点的taylor多项式.求级数的和命令symsum调用格式为： symsum(S,n)，求 symsum(S,k,m,n),求 matlab求极限命令limit调用格式为： limit(函数f(x)，变量x，自变量的趋向值)求解一阶微分方程.微分方程在输入时，应输入Dy，应输入D2y等，D应大写例：求微分方程的通解解：输入命令： dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)') 结果为 a

3、ns = 1/2*(1+2*exp(-2*x*t)*C1*exp(x2)/exp(x2) 系统默认的自变量是t，显然系统把x当作常数，把y当作t的函数求解输入命令： dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)','x') 得正确结果： ans = 1/2*(x2+2*C1)/exp(x2) 例：求微分方程在初始条件下的特解解：输入命令： dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') 得结果为： ans = 1/x*(exp(x)+exp(1) 例：求微分方程

4、在初始条件下的特解解：输入命令： dsolve('(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x') 得结果为 ans = 1/(x2-1)*(sin(x)-1)求解二阶微分方程例：求的通解解：输入命令： dsolve('D2y+3*Dy+exp(x)=0','x') 得结果： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x) 例：求解微分方程解：输入命令： dsolve('D2y-exp(2*y)*Dy=0','x') 得结果： ans

5、 = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 taylor展开式例：求函数y=cosx在x=0点处的5阶taylor展开式及在处的6阶taylor展开式解：输入命令： syms x;taylor(cos(x) 得结果： ans = 1-1/2*x2+1/24*x4输入命令： taylor(cos(x),pi/3,7) 得结果： ans = 1/2-1/2*3(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)2+1/12*3(1/2)*(x- 1/3*pi)3+1/48*(x-1/3*pi)4-1/240*3(1/2)*(x-

6、1/3*pi)5-1/1440*(x-1/3*pi)6 级数求和例：求解：输入命令： syms n;symsum(1/2n,1,inf) 得结果： ans = 1例：求幂级数的和函数解：输入命令： symsum(xn/(n*2n),n,1,inf) 得结果 ans = -log(1-1/2*x)例：求幂级数的和函数解：输入命令： symsum(n*xn,n,1,inf) 得结果： ans = x/(x-1)2判别级数敛散性例：判断数项级数的收敛性解：输入求和命令： symsum(1/(n*(n+1),n,1,inf) 得结果： ans = 1 求和得是1，说明该级数收敛例：判别级数的敛散性解：

7、输入命令： symsum(sin(pi/(n*(n+1),1,inf) 得结果： ans = sum(sin(pi/n/(n+1),pi = 1 . inf) 由执行结果看出仍含有sum，说明用matlab不能求出其和，可采用比较判别法，取比较级数为P级数,取二者通项比值的极限输入命令： limit(sin(pi/(n*(n+1)/(1/n2),n,inf) 得结果： ans = pi 得值为pi,由所取P级数收敛，得知所要判别的级数也收敛例：判别级数的敛散性解：用比值判别法，输入命令： limit(n+1)*(3/4)(n+1)/(n*(3/4)n),n,inf) 得结果： ans = 3/4 极限值小于1，由比值判别法知级数收敛实际上输入求和命令： symsum(n*(3/4)n,n,1,inf) 得结果： ans = 12练习：求1-6题微分方程的通解1 2