巧用三余弦定理解题

1、巧用“三余弦定理”解题AOPQ“三余弦定理”的内容：如图，直线AO是平面 的斜线，AQ是AO在平面内的射影，直线AP在平面内.设，有以下结论：.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.2. 明确三角：斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为，射影与“内线”所成的角为.3. 定理运算.AOPlB例1.如图,已知AO是平面的一条斜线,OB,B是垂足,AP是内一直线,OAP=60o,BAP=45o,求斜线AO与平面

2、所成的角.分析：AP是“内线”，AO是斜线，AB是射影，所以，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解. 图变式1：已知OAB=45o,BAP=45o,求直线AO与AP所成的角；分析：同例1.变式2：已知OAB=45o,BAP=45o, l/AP, 求直线AO与l所成的角；分析：因为l/AP，直线AO与AP所成的角同AO与l所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l是“内线”，AO是斜线，AB是射影，然后斜线 AO与“内线”l所成为，斜线AO与射影AB所成的角为，射影AB与“内线”l所成的角

3、为, 问题迎刃而解. C1ABCDA1B1D1FE例2如图，在棱长为1正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和CC 1的中点，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值. 分析：直线BA1是平面BCC1B1的斜线，BB1是射影，EF为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可.解：由题意可知，直线BA1是平面BCC1B1的斜线，BB1是BA1在平面内的射影，EF为平面内的直线，所以BA1与EF所成的角为，EF与BB1所成的角为 图 又因为，所以即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成

4、的角为，射影与“内线”所成的角为，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.变式：若E、F是B1C1和CC 1上的点，满足EC1= ，FC1= ，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.PABCDE分析：明确“三线”，直线BA1是斜线，BB1是射影，EF为“内线”，然后按规则找出“三角”，定理计算即可.BACS 图 图练习：1.如图，S是 ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，求证： ABC是锐角三角形2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90o，AD/BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA底面ABCD，PD与底面成30o，且AEPD，E为垂足,求异面直线AE与CD所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，