工程力学-9(2)弯曲应力

1、工程力学1主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北305工程力学29(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学3梁的横截面上既有弯矩又有剪力梁的横截面上既有弯矩又有剪力梁的横截面上仅有弯矩而无剪力梁的横截面上仅有弯矩而无剪力aaFFFFFQxFFMxFa9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学4 对称截面对称截面AA处的两侧杆处的两侧杆件的结构与受力对称，所以件的结构与受力对称，所以变形也是对称的。于是变形也是对称的。于是AA截面必然保持平面。截面必然保持平面。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学5 从对称截面从对称截面AA处将处将杆件截开。杆件截开。 截开后的杆段，其结截

2、开后的杆段，其结构、受力和变形仍然是对构、受力和变形仍然是对称的，所以杆段的称的，所以杆段的对称面对称面同样保持平面同样保持平面。 无限分割下去，就可无限分割下去，就可以证明所有横截面都将保以证明所有横截面都将保持平面。持平面。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。工程力学6设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。单向拉伸、或压缩。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学7、横向线、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角

3、度且仍与纵向仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。下部的纤维伸长。推断：横截面上仅有正应力而无切应力推断：横截面上仅有正应力而无切应力。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学8 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层中性层 。中间层与横截面的交线称为中性轴中性轴。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。梁弯曲时，梁横截面绕

4、各自中性轴旋转。中性层中性层中性轴中性轴工程力学99(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力在梁上取一微段：在梁上取一微段：工程力学10dxaabbxO2O1yybbbbbb9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力a a b b O1O2d +y中性层曲率半径为中性层曲率半径为距中性轴距离为距中性轴距离为y工程力学119(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力maxmaxzy在比例极限内：在比例极限内：yEE中性轴中性轴工程力学12 因此，中性轴一侧的拉应力的合力必然要和另一侧的因此，中性轴一侧的拉应力的合力必然要和另一侧的压应力的合力相等。压应力的合力相等。对于纯弯曲来讲，其横截面上只有弯矩。对

5、于纯弯曲来讲，其横截面上只有弯矩。也就意味着，中性轴要过横截面的形心。也就意味着，中性轴要过横截面的形心。zymaxmax9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力C工程力学139(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力MAydAEyAydAM弯矩：AdAyE2距中性轴距离为距中性轴距离为y的点处的正应力的点处的正应力：zyy轴惯矩轴惯矩IzzEIM1yE抗弯刚度抗弯刚度工程力学14zy 进行计算时，进行计算时，M和和y一般用绝对值代一般用绝对值代入计算，至于所求点的正应力的符号，入计算，至于所求点的正应力的符号，由梁的变形确定。由梁的变形确定。zIMy9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力距中

6、性轴距离为距中性轴距离为y的点处的正应力的点处的正应力：yyEM工程力学15单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学16截截 面面zy线应变线应变+max正应力正应力+maxmax线应变和正应力在横截面上的分布规律。线应变和正应力在横截面上的分布规律。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结工程力学17WMIMyzmaxmax 截面上最大正应力计算公式截面上最大正应力计算公式max式中：yIWz 抗弯截面系数抗弯截面系数9(2). 9(2).

7、弯曲应力弯曲应力工程力学18bh32222121bhybyyAIybAhhAddddzdyyIW3121bh621223maxbhhbhyIW62bh9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学19bh64d22dd2d2d422222222DyyyDyAIyyRyzADDAzdyyIW3121bh3226434maxDDDyIW62bhzdyyDy644D323D9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学20bh64144DIIIdDzdyyzDdIW3121bh43max1322DDIyIW62bhzdyyDy644D323D64144D43132D内、外径之比Dd9(2). 9

8、(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学219(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数zybHhBC121233bhBHIz 121233hbHBIy HbhBHWz633 工程力学22惯性矩的惯性矩的平行移轴平行移轴公式公式zyCabdAzyyczcyczcO*.,bzzayycc 22222dd2dd)(dAbIAbAzbAzAbzAzIcyAAcAcAAcy 2AaIIczz 同理可得：同理可得：9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学23例例1：已知长已知长l=4m的悬臂梁，在的悬臂梁，在B端作用一集中力端作用一集中力F=10

9、kN， 求求1. C 截面上截面上a点、点、b点、点、c点的正应力点的正应力2. C 截面上最大正应力截面上最大正应力3. 全梁上最大正应力全梁上最大正应力9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力4lC30zy180120abc60工程力学244lC解：取解：取x截面右段梁为研究对象。截面右段梁为研究对象。 0 xFxM lxFxxM0 xM（x）9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力MxOFl1. C 截面上的弯矩大小截面上的弯矩大小mkN3043FlMC工程力学25C截面上截面上a，b，c点的正应力点的正应力MPa56. 5121018012010)3090(10309233zaCaIy

10、MMPa33. 81210180120109010309233maxmaxzCCIyM0121018012001030923zbCbIyM2. C 截面上最大正应力截面上最大正应力9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力（拉）（拉）MPa56. 51210180120106010309233zcCcIyM（压）（压）M（x）30zy180120abc60工程力学26 lxFxxM03. 全梁上最大正应力全梁上最大正应力全梁上最大弯矩的大小为全梁上最大弯矩的大小为mkN40max FlMMPa1 .111210180120109010409233maxmaxmaxzIyM9(2). 9(2).

11、弯曲应力弯曲应力工程力学27 maxmaxWM故制成对称截面塑性材料：故制成非对称截面脆性材料：9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁ttmaxmaxtmaxzIyMccmaxmaxcmaxzIyMOzyytmaxycmaxM工程力学289(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲工程中常见的平面弯曲是横力弯曲, 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称z

12、ctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称( (最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内) )ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁.工程力学29圆截面悬臂梁圆截面悬臂梁l=1m，D=0.04m;均布载荷集度均布载荷集度q=2kN/m， =160MPa。1）校核梁的正应力强度；）校核梁的正应力强度；2）改用）改用 =d/D0=0.8的空心轴，请按正应力强度设计的空心轴，请按正应力强度设计D0。取取x截面左段梁为研究对象。截

13、面左段梁为研究对象。xACM（x） 02xqxxM lxqxxM02129(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力qlABxykN.m1212maxqlM工程力学30MPa2 .1593204. 0101) 133maxmax实实心轴：WM 安全MPa160MPa2 .159max MPa160321101)24303maxmaxDWM空空心轴：m048. 0101608 . 013210136430D9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学31承载能力相同情况下，比较两种设计方案：承载能力相同情况下，比较两种设计方案：222mm125640441DA实222220mm6758 . 04

14、848441dDA空54. 01256675实空AA承载能力相同的情况下，空心梁更经济。承载能力相同的情况下，空心梁更经济。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学32试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。大正应力，并加以比较。BAl=4mq=2kN/m200100100200解：求支座反力：解：求支座反力：FAFB2qlFFBA求弯矩：求弯矩：取取x截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。xFAxM（x） )0(2222lxqxqlxxqxxFxMA9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学33竖放竖放68

15、22maxmaxbhqlWMZMPa6横放横放6822maxmaxhbqlWMZMPa12可见，竖放比横放好。可见，竖放比横放好。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 )0(222lxqxqlxxM8,2当2maxqlMlxbhz62bhWzbhz62hbWz工程力学34图示图示T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁，梁的长度的长度l2m。T形截面的形心坐标形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面，横截面对于对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。最大拉应力和最大压应力。9(2).

16、9(2). 弯曲应力弯曲应力Fz.96C工程力学35FAFFAFBx1x29(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力求支座反力，得到：求支座反力，得到：2FFFBA )2(22)2(2222lxlxFFllxFxFxMA求弯矩：求弯矩：取取x1截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。FAM（x）取取x2截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。M（x） )20(21lxFxxFxMA工程力学36mmmm4 .966 .1534 .9650200maxmaxyy4maxFLMMPa09.24maxmaxZIMyMPa12.15maxmaxZIMy9(2). 9(2)

17、. 弯曲应力弯曲应力)2(22)()20(2)(222111lxlxFFlxMlxxFxMz.96CxM工程力学37mkN10kN202m3m1mABCD2020Z33yc例例5 yc=15.75cm, Iz=6012.5, ,89 ,25MPaMPa求：按正应力校核强度求：按正应力校核强度RBRD解：解：1、RB=30kN, RD=10kN2、作内力图FQM10kN-10kN-20kN-20kNm10kNm9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力7.2515.75工程力学389(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力mkN10kN202m3m1mABCDFQM10kN

18、-10kN-20kN-20kNm10kNm危险的截面有两处，危险的截面有两处，B截面和截面和C截面。截面。工程力学392020Z33ycFQM10kN-10kN-20kN-20kNm10kNmB截面有kNmM20max20kNm12MPa1 .2413、校核强度:ZIMyMPa4 .522C截面有kNmM10max10kNm34MPa05.123MPa2 .264C 截面强度不够！截面强度不够！7.2515.75B7.2515.75C9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学40q正应力公式仍然适用正应力公式仍然适用q假定切应力在横截面上的分布规律，然后据平衡条件导出计算公式假定切应力在

19、横截面上的分布规律，然后据平衡条件导出计算公式q不再用变形、物理和静力关系进行推导不再用变形、物理和静力关系进行推导q矩形梁截面矩形梁截面q工字形梁截面工字形梁截面q圆形梁截面圆形梁截面q其它形状其它形状9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学41单一材料矩形截面梁的弯曲切应力单一材料矩形截面梁的弯曲切应力2. 关于切应力分布的假设关于切应力分布的假设(1) 切应力与侧边方向平行；切应力与侧边方向平行；(2) 切应力沿截面宽度方向均匀分布。切应力沿截面宽度方向均匀分布。 对对hb的截面而言，的截面而言，此假设为合理的。此假设为合理的。FQy9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 yz

20、yFQ工程力学429(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力应力分布假设应力分布假设分离体平衡分离体平衡纵截面上的剪力纵截面上的剪力横截面上的切应力横截面上的切应力 切应力互等定理切应力互等定理 纵截面上的切纵截面上的切应力应力切应力分析方法切应力分析方法:工程力学43AFQmax23A9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力min0发生在上下边缘处发生在上下边缘处工程力学44AFQmax34A9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力min0发生在上下边缘处发生在上下边缘处工程力学45AFQmax02.A9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力min0发生在上下边缘处发生在上下边缘处工程力学46

21、dhAAF000Qmax9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学47max9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力(2)(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力校核剪应力(1)(1)梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而 FQ 较大时，要校核剪应力。较大时，要校核剪应力。(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力要校核剪应力。工程力学48 例例1：如图，已知如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长，梁的跨长l=3m，梁的

22、横截面为，梁的横截面为bh=120mm180mm的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力 =7MPa,容许切应容许切应力力 =0.9MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度.9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学49解：求支座反力，作剪力图及弯矩图解：求支座反力，作剪力图及弯矩图max/ 25.4 kNQFqlmkN05. 48/2max qlM 此梁的最大剪力出现在梁的此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上支座处横截面上此梁最大弯矩发生在跨中的横截面上此梁最

23、大弯矩发生在跨中的横截面上9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力Q工程力学50梁的抗弯截面系数为梁的抗弯截面系数为362m106486/ bhWz则有：则有：maxmax6.25MPa7MPazMW9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力max/ 25.4 kNQFqlmkN05. 48/2max qlM4.054.05工程力学51又因为又因为23m106 .21 bhA所以所以max30.375MPa0.9MPa2QFA以上两方面强度条件均能满足以上两方面强度条件均能满足, ,故故此木梁是安全的。此木梁是安全的。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力4.054.05工程力学52例例2 2

24、：一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30kN，跨长跨长 l=5 m。吊车大梁由吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力号工字钢制成，许用弯曲正应力 =170 MPa，许，许用切应力用切应力 =100 MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度. .9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学53解：解：1.吊车梁可简化为简支梁。吊车梁可简化为简支梁。 校核正应力强度校核正应力强度。解出支座反力，作弯矩图，解出支座反力，作弯矩图，并得到并得到Mmax当荷载移至跨中时，即当荷载移至跨中时，即C截面处，截面处，梁的横截面上的最大弯矩比荷载梁的横截面上的最大弯矩

25、比荷载在任何其它位置都要大。如图所在任何其它位置都要大。如图所示。示。mkN5 .374maxFlM9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力xM工程力学54 由型钢规格表查得由型钢规格表查得20a号工字号工字钢的钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正梁的最大弯曲正应力为应力为MPa158Pa10158m10237mN105 .376363maxmax zWM9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力工程力学552. 校核切应力强度校核切应力强度。 荷载移至紧靠荷载移至紧靠支座支座A处时梁的剪力为最大。此时处时梁的剪力为最大。此时的约束力的约束力FAF，相应的剪力图如图，相应的剪力图如图所示。所示

26、。FQ,max=FA=30kN9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 根据切应力公式，判根据切应力公式，判断最大切应力是否满足强断最大切应力是否满足强度条件！度条件！工程力学56maxmaxMW 合理地布置载荷和支承合理地布置载荷和支承 合理设计截面形状合理设计截面形状 设计等强度梁设计等强度梁 减小跨度或增加支承减小跨度或增加支承 机械与结构设计的原则是在安全、可靠的前提下，机械与结构设计的原则是在安全、可靠的前提下，力求经济、美观。这就要求在满足强度、刚度条件的基力求经济、美观。这就要求在满足强度、刚度条件的基础下，尽可能的节约材料、减轻自重。础下，尽可能的节约材料、减轻自重。9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力maxMW工程力学57