(4-6)部分习习题及其解答

1、本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章已知物体内一点的六个应力分量为： ， 试求法线方向余弦为，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。 解：应力矢量的三个分量为 ， 总应力。 正应力。 剪应力。过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。 证：利用应力张量的对称性，可得。证毕。某点的应力张量为 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有 即 ， (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用

2、，可求得 。基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 ， 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在的边界上，有边界条件 ， 所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦为 ， (3) 将式(2)和(3)代入边界条件，得 (4) 联立求解(1)和(4)，得 ，图表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ， ， 和分别是坝身和水的比重。求常数、，使上述应力分量满足边界条件。

3、 解：在的边界上，有边界条件 ， 将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。 在左侧的斜面上，外法向方向余弦为 ， 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。 解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 按题意，边界条件为 因此 即 上式的指标形式为 。如图所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。 解：球面的外法向单位矢量为 或 当时，有边界条件 即 或 。 当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为 即 或 。物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体

4、所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力为 或 。已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。 解：应力张量的三个不变量为：，。 特征方程是 上式的三个根即三个主应力为和 已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为 ， 求八面体各个面上的正应力和剪应力。 解：， ， 。某点的应力分量为，求： (1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1)， 。 正应力为。 剪应力为。

5、由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。 (2)用表示主应力，则 所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。 解： 橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。 解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有 证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致

6、的。非各向同性体是否具有这样的性质试举例说明。 解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则 (1) 各向同性的胡克定律是 将上式代入式(1)，得，即 由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。 下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式得 若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即 上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式可得主应力和主应变之间的关系 (

7、1) 第六章为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。设 其中、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。 解： 同理。 由上面两式及和是调和函数可得 (1) 因、为调和函数，所以 (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，得 上式成立的条件是 即 。已知弹性体的应力场为 ，。(1) 求此弹性力学问题的体力场；(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。解：证明下述Betti互易公式，其中、和、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。证：

8、如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程其中，。证：无体力的Lamé-Navier方程为又，所以Lamé-Navier方程可以写成设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解 。 提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为 ， 其中是杆的横截面。 证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力： ，其它应力分量为零。 (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为

9、， 式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。图表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。 解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量 ， 满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为 利用题的结果，可求得位移为 弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。 解：由问题的对称性，可以假设 ， 把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成 解之得 其中的、是待定常数。由已知条件得 所以 应力分量为 ，。 在边界上的边界条件为：，。前两个条件自动满足，最后一个成为 即 所以最后得 ，； ，。设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，且 。 答案：当体力为零时，应力分量为 ， ， ， 式中，。试检查它们是否可能发生。解：图所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力分量。 解：根据杆的受力特点，假设 ， 其中、是待定的常数。 长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图所示。验证应力分量 ，