人大微积分课件10-5对坐标的曲面积分.

1、/. 、 、£1联系第五节对应标够石瓯积分U5WWWr t曲面分上侧和下侧观察以下曲面的侧（假设曲面是光滑的）、基本概念曲面分内侧和外侧上一页 下一页 返®曲面的分类：1.双侧曲面；2,单侧曲面.典型双侧曲=X1页 下一页返凹返凹典型单侧曲面：莫比乌斯带II;删页 下一页1=11:1曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题：在有向曲面W上取一小块 曲面4 AS在r©面上的投影(AS)弓为"(b)巧 当cos厂 0时(S)巧=- (Ab)巧 当cosy vO 时.0当 cos / = 0 时其中(Ab、表示投影区域的面积.

2、二、概念的引入实例：流向曲面一侧的流量(1)流速场为常向野,有向平面区域4求单位 时间流过A的流体的质聲(假定密度为1)'流量=Avcqs0=Av «* = V A(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由V(x,j,z) = P(X,y,z)l + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k 给出，£是速度场中的一片有向曲面，函数 P(x,y,z), 0(x,j,z), R(x,y,z) 都在W上连续，求在单位 时间内流向E指定侧的流 体的质量.zX上一页 下页 返®1 分割把曲面£分成小块Z同时也代表 第i小块曲面的面积)，

3、在山，上任取一点则该点流速为”ry法向量为瓦.% =啲边,4)=P (&九忆沉+Q(徐 + 该点处曲唾的单畔向量-W； = cosa.r + COS0J+ COS 兀左， 通过上匕流向指定侧的流量的近似值为 儿-n-AS- (/ =2.求和 通过近流向指定侧的流量片fQS,i=l/=1+ 7? (6, TJi, G cos 兀ASf»I«1+ R(訥応ghy3.取极限X T 0取极限得到流量O的精确值.页页 返®三、概念及性质1=1定义 设艺为光滑的有向曲面，函数在艺上有 界，把S分成2块小曲面AS, （AS,同时又表示第 Z块小曲面的面积）.AS在xoy

4、面上的投影为 （SJ切（的応）是朋'上任意取定的一点，如 果当各小块曲面的直径的最大值T 0时，H叫为尺（鼻加G（Ab存在，Z z=i则称此极限为函数R（x,y,z）在有向曲面£上对 坐标兀*的曲面积分（也称第二类曲面积分）记作jj/?(*,乙心心.即E«1=1 被积函数lfR(x,y,z)dxdy =烈三 R(&，久，z)(AS,b,V f = 1积分曲面V类似可定义口卩（尤忆）勿血=密 丫卩（釦久，G（ASi儿£f=ljjQgjSzMzdr = 恕jSQe%G（AS 人2/=!存在条件：当 P(x,在有向光滑曲HI1=1Z上连续时，对坐标的曲面

5、积分存在.组合形式；JJ P(X,y,z)dydz + Q(xy,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy£物理意义：O = JJP(xyz)dydz+Q(xyz)dzdx 十 R(xyz)dxdyz页 下一页 返®性质：1. JJ Pdydz + Qdzdx + RdxdyEi+Ei=JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy2i21-2 £Qx,y,z)dzdx = -Qx,y,z)dzdx-I£-E£页 下一页 返®四、计算法丁 *盘乙一丫戶席L ； ： 士6设积分曲

6、面是由 方程Z =Z(K)所给 出的曲面上侧,2在 兀©面上的投影区域 为2”函数 z=z(x,y)在D斗上具 有一阶连续偏导数， 被积函数R(x,y,z)在 Z上连续.页 返®£ /=!£取上侧 cos/>0,(ASJx, =(Ab)切又© =z($m»呱工RSiSg人A 1 = 1zr、心忆(&,7Ji)(hbJxyA U / = 1即 JJ R(x,y,z)dxdy = JJ Rx,y,z(x,y)dxdy£5若S取下侧cos X < 0,(Ah =-(2)切 JJ Rxy,z)dxdy = -JJ

7、 /fx, j,z(x, j)JxJy 如果Z由x = x(yz)给出，则有JJ P (x,y,z)dydz = ±JJ Plx(y,z),y,zlflydz£Dy,如果Z由j = j(z,x)给出，则有 Qx,y,zdzdx = ±Qx,yz,xzizdxES注意:对坐标的曲面积分，必须注意曲面所取的侧.例 1 计算 JJ xyzdxdy£其中W是球面 外侧 在工>0,y >0的部分.页 下一页兀/据r把S分成和纭两部分2, : Z =-71二 為乙 1= J1 兀2 ,页 下一页返ISJJ xyzdxdy = JJ xyzdxdy + J

8、J xyzdxdy2£2£|=JJxyl-x -ydxdy - JJxy-l- ydxdyJ=iJJ xy y/l x ydxdyiJJ r 2 sin 0 cos 0 1 rrdrd 0 = 2. 如15页 下一页 返®五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面近是由方程z =z(x, j)给出，Z在 xoy面上的投影区域为。小 函数在 上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续 对坐标的曲面积分为 jjR(x,y,z)dxdyZ= ±JJ/?x,j,z(x,j)drJy 丿 知/曲面E的法向量的方向余弦为+ Gssa= /22,Jl + z；+z；CO

9、S0= j 订 2,± 1SS"J1 + Z；+疔对面积的曲面积分为J,z)cos jdS =±JJ/?x,j,z(x,所以 JJ R(x,y,z)dxdy = JJ R(x,yz)cosdS £ £(注意取曲面的两侧均成立)两类曲面积分之间的联系JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdyz=JJ(P cos a + Q cos p + R cos y)dSz页页 返凹向量形式iidS 或 ds =EE22其中 A =PQyRn = cosa,cosyffeos/为 有向曲面上点(x,j,z)处的单位法向量， dS =ndS = dydzdzdxdxdy称为有向曲面 元A”为向量A桶上的投影.上一页 下例 2 计算JJ (/ + x)dydz -zdxdy,其中Z 是 £旋转抛物面z =；(兀2 +b)介于平面z =0及 z = 2之间的部分的下侧.1:11=1i . r- - ?/ /解 JJ(z -x)dydz在曲面E上，有=JJ(Z +x) cos 60/5Ycos y上一页 下X1cosa = 一=