专题：蒙日圆与高考

1、国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育0时，可设点P的坐标是（%。0）Ka,且y0b）,所以可设曲线的过点P的切线方程是yyk(xx°)(k0).22上L1由a2b2,得(a2k2b2)x22ka2(kx0y0)xa2(kx0yy°k(xx°)y。)2a2b20由其判别式的值为0,得(x02a2)k22x0y0ky02b20(x020)因为kPA,kPB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以kPAkPB2V。2x0b2蒙日圆问题22高考题（2014年广东卷第20题）已知椭圆C:与二1（ab0）的一个焦点为（75,0）,离心ab率为-5.3（1）求椭圆C的标准方程

2、；（2）若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.22答案：（1）x_y_1；（2）x2y213.94这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学2必修A版（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge,1745-1818）作了介绍.以上高考题第（2）问的一般情形是：22定理1曲线：冬与1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2y2a2b2.ab定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或

3、斜率为0时，可得点P的坐标是（a,b）,或（a,b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为2222由此，得kPAkPB1址y0ab,进而可得欲证成立聪明在于勤奋，天才在于积累国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（a,b）,或（a,b）.0时，可设点P的坐标是(x0,y°)(x°a,且y°b）,所以可设两个切点分别是A（x,y）8（*2,丫2）（4*2%丫20).得直线AB:1a%y1,切线PA:xxyiyx2x1,PB：3a芍1.所以:kPAkPBb2x1a2y1

4、b2x2a%,4bxx2-4ay*,kOAkOB工yx1x2些kOAkOBx1x2b4-4akPAkPB因为点（x、，y、）（i1,2）既在曲线2x-2a1上又在直线AB：Wa%y1上,所以2X2a2V、x)xaa4(y。2b2)yx、2a2b2x0y0Yb4(x。2xa2)所以kOAkoByy2xx2b4(x。2a4(V02a2)b2)b44akPAkPBy2b2,kPAkPB_22xa由此，可得PAPB22x°V。a2b2,进而可得欲证成立.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理引理1（椭圆的光学性质，见普通高中课程标

5、准实验教科书数学选修2-1A版（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图所示）.证明如图2所示，设P为椭圆（其左、右焦点分别是F，F2）上任意给定的点，过点P作F1PF2的外角平分线所在的直线1（34）.先证明l和相切于点P,只要证明l上异于P的点P都在椭圆的外部，即证PFj|PF2|PF1PF2:在直线PF1上选取点F，使|PF|PF2,得PPF且PPF2,所以PF|PF2,还得：聪明在于勤奋，天才在于积累国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育PF1PFd|PF1|PF|F1F|F1PP

6、F|PF1PF2再过点P作F1PF2的平分线PA(12),易得PAl,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2过椭圆(其中心是点Q长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆的任意切线l的垂线,设垂足是H,则OH|a.证明如图3所示，设点F,F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线l上的切点，又设直线FH,FA交于点B.由引理1,得FAHlAFBAH(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH色BAH,所以点H是FB的中点，得OH是BFF的中位线.又|AFAB,所以11OH2（FAab）2（FAaf）a.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明由余弦定理可证.引理4设点P是矩形AB

7、CD所在平面上一点，则PA2PC2PB2PD2.证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点O.由引理3,可得PA2PC22(OA2OP2)2(OB2OP2)PB2PD2,即欲证成立.注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.定理1的证法3可不妨设a0,b0.当ab时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是巳下2,焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PM,PN.聪明在于勤奋，天才在于积累北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育连结OP,作OGPM,OHPN,垂足分别是G,H.过点E作F1DPM,垂足为D,由引理2得OD|a

8、.再彳F1KOG于K.记OF1K，得|DG|FiKccos.由RtODG,得_2_2_2222OG|ODDGaccos.又作F?EPNLOH,垂足分别为E,L.在RtOEH中，同理可得10Hl2|OE|2|HE2a2c2sin2(1)若PMPN,得矩形OGPH,所以OP210G2|OH|2(a2c2cos2)(a2c2sin2)a2b22cc(2)若OPa2b2,得OP|2(a2c2cos2)(a2c2sin2)OG2OH2._一222由OGPM,得OPOGGP,所以GPOH.同理，有OGHP,所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PMPN.由(1),(2)得点P的轨

9、迹方程是x2y2a2b2.定理1的证法4可不妨设a0,b0.当abky时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是巳下2,焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PA,PB,两切点分别为A,B.分别作右焦点F2关于切线PA,PB的对称点M,N,由椭圆的光学性质;可得三点F1,A,M共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点Fi,B,N共线.由椭圆的定义，得MFAF1I|AF,2a,NF|BFBE,2a,所以MF1NF1由O是F1F2的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得聪明在于勤奋，天才在于积累北京华罗庚学校为全国学生提供优质

10、教育,22222222|PFiPM|PFi|PF2|2(OF2|OP)2(cOP)(1)若PAPB,得MPF1NPF12(APF2BPF2)180，即三点M,P,N共线.又|PM|PF2PN|,所以PFiMN,进而得4a2|MFi2|PF|PM22(c2|OP2),_222OPa2b2.(2)若OP2a2b2,得PFi2|PM22(c2OP2)2(c2a2b2)4a2|MFi2,所以PF1PM.同理，可得PFIPN.所以三点M,P,N共线.，一i,得APBAPF2BPF2-(MPF2NPF2)90,即PAPB.2由(i),(2)得点P的轨迹方程是x2y2a2b2.定理i的证法5(该证法只能证得

11、纯粹性)可不妨设a0,b0.当ab时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点Q左、右焦点分别是Fi,F2,焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PA,PB,切点分别是A,B.设点Fi关于直线PA,PB的对称点分别为Fi,F2,直线FiFi与切线PA交于点G,直线FiF2与切线PB交于点H.得AFi|AFi,BF2BFi,再由椭圆的定义，得FiF2F2F22a,所以OGOHa.2222c因为四边形PGFiH为矩形，所以由引理4得OFi|OPOG|OH2a,所以OP2a2b2,得点P的轨迹方程是x2y2a2b2.还可用解析几何的方法证得以下结论：22定理2(i)双曲线三'

12、;i(ab0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆ab222,2xyab；2(2)抛物线y2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线聪明在于勤奋，天才在于积累国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育定理3(1)椭圆b2b0）的两条斜率之积是多的切线交点的轨迹方程是a2yb22;(2)双曲线1(a0,bb20）的两条斜率之积是4的切线交点的轨迹方程是a2匕b22.定理4过椭圆242(abb20）上任一点P(x0,y0)作椭圆2x-2a2t1的两条切线，则b2(1)当x°a时,所作的两条切线互相垂直;(2)当x0a时,所作的两条切线斜率之积是b22.a22定理5（1）椭圆二、1（aa

13、bb0）的两条斜率之积是0）的切线交点的轨迹是:当1时，即圆x2y2a2b2（但要去掉四个点（a,b）,（a,b）；当0且1时,22即椭圆x_JL1(但要去掉四个点(a,b),(a,b);2b2b2a2a当力时,a即两条直线yb.一-x在椭圆a2x2a2-yy1(abb20）外的部分（但要去掉四个点(a,b),(a,b)；当01时,J2241(ab0)外的部b2分（但要去掉四个点（a,b）,（a,b）；b2当2时，即双曲线a2x2b2a一2y2,2ab1在椭圆2x2ab21（ab0）外的部分聪明在于勤奋，天才在于积累南北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育（但要去掉四个点（a,b）,（a,b）.

14、2（2）双曲线勺ab0）的两条斜率之积是0）的切线交点的轨迹是:当1时,即圆x2b2;当0时,即双曲线2x2b2a一2匕2aJ;当即椭圆2x2b2a一21_1.2.21ab当b2a0时,不存在.（3）抛物线y22px的两条斜率之积是0）的切线交点的轨迹是:当0时,即直线x-p-;2当0时,北京市海淀区2015届高三上期末文科数学练习第14题）已知eO:2y1.若直线ykx2上总存在点P,使得过点P的eO的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是解（，1U1,）.在图8中，若小圆（其圆心为点O,半径为r）的过点A的两条切线AB,AD互相垂直（切点分别为E,F）,得正方形AEOF,所以OAJ2|OE

15、扬,即点A的轨迹是以点O为圆心，J2r为半径的圆.由此结论可得：在本题中，点P在圆x2y22上.所以本题的题意即直线ykx2与圆x2y22有公共点，进而可得答案聪明在于勤奋，天才在于积累国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育注本题的一般情形就是蒙日圆如图，付p点的两直线醇两切线的斜率在“十试憩，我们设过p点的直物为下二叔工一七）*汽，与二次睡至联W后,令&二。便会得到关于k的一个二欠方程，很明显右,3渊足这个方程,所以用焉为该二次方程的两根，抓住这东西j所»«!>*1*有问题迎刃而解。，这类“筷子夹断胃问题的懈题赖序应该许盲族；=.一.=#酷三次曲"

16、片3=：J=-Y.三方=的关于K的方程的两根=2带入要求的问题即可口产下面,先来解决下大家总觉得很神秘的蓑日圆"例l求证器桶圆两垂直切的交点轨迹为圜。分析：很明显，整子夹题园的背祟已经出1虬瑜t通法开班日11漫懈匮1为马十占=1,假设交点为尸（天,北L设超戋丁=倒>三）十网尸£j*b*与椭圆联ZZ，:7+9=1须:a=o=口方+犷二（稣-gf（不要问我这里为啥这么快，有招）y=k（x-）-f-T0整理得口上一%与好+22/+/-yJ=0,则%隹为其两根j所以口3一UK上=%；=口，4万#"一百"Srit聪明在于勤奋，天才在于积累北京华罗庚学校为全国

17、学生提供优质教育例"过点?做抛魅戋=4的两切线，切线互相垂直,求证；p点在一定直线上中一分析：矮油,汤骤抛够了虚骆驼,方法一模一样，按我说那R质序来»是，解：谩/升jj,谩直线了二内一事)+此，与，=4与联才可得Jr工了-一y+-Jcx2=0ra二0二国共'->因为丸&-=-=-L步凸：乜，=T,所以P点在定直线才-一工上口-y-+1“土土例X给定椭圆U5+=心8X£称即认在原点0，半径为后-炉的图是椭圆Ca0的结准圆。若椭圆白的一个焦点为尸第,其拒铀上的一OM点到户的距离为居(1)求胸圆C的方程和以f准BT方程32点P是椭圆C的"

18、准圆以上的一个动点,过点p作直线44使得4,与描圆C都只有一个交点o求证：1匕2聪明在于勤奋，天才在于积累国北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育倒4在直角坐标系血中，曲线匚1的点均在J:6-5"+胃=9外，且对匚上任意一点M,M到直线x=2的距离等于该点，与圆G上点的距离的最小值卡<1）求曲线C工的方程$丁=20少<2）设尸网向<¥届±3）为圆Q外一点，过P作圆5的两条辟知分别与曲娄。相交于点A,B和C,D,证明二当P在矍戋乂=-4上运动时，四点&B,S口的纵坐标之积为定值*分析：看到篌子夹潮园没有，并且汤圆还很>9fflfe设尸7,北），直线丁=咫k+4）+修，（与园相切你都用6寓L塔那默是你的不对了1»=3.白国二到直球距禹第半役“导大；:一VA?-bl整