第一节重积分的概念及其性质ppt课件

1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重重 积积 分分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),( yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平

2、行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” D),(yxfz D),(yxfz 1)“大化小大化小”用任意曲线网分用任意曲线网分D为为 n 个区域个区域n ,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k , ),(kk 3)“3)“近似和近似和” nkkVV1 nkkkkf1),( ),(kkf ),2,1(),(nkfVkkkk 那那么么中任取一点中任取一点小曲顶柱体小曲顶柱体k ),(kk 4)“4)“取极限取极限”的的直直径径为为定定义义k kk,PPPP 2

3、121max)(令令 )(max1knk nkkkkfV10),(lim D),(yxfz ),(kkf k ),(kk 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数常数若若 yx设设D 的面积为的面积为 ,那么那么 M假设假设),(yx 非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求求 极限极限” 处置处置.1)“大化小大化小”用任意曲线网分用任意曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n 相应把薄片也分

4、为小区域相应把薄片也分为小区域 .Dyx,),(Cyx 2)“常代变常代变”中任取一点中任取一点k 在每个在每个),(kk 3)“近似和近似和” nkkMM1 nkkkk1),( 4)“取极限取极限” )(max1knk 令令 nkkkkM10),(lim k ),(kk ),2,1(),(nkMkkkk 则第则第 k 小块的质量小块的质量yx两个问题的共性：两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限” nkkkkfV10),(lim nkkkkM10),(lim 曲顶柱体

5、体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设设将区域将区域 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk 任取一点任取一点,),(kkk 若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使 nkkkkfI10),(lim 可积可积 , ),(yxf则称则称 Dyxf d),(),(yxfI为为称称在在D上的二重积分上的二重积分.称为积分变量称为积分变量yx,积分和积分和( , )dDf x y 积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上

6、的有界函数上的有界函数 , DyxfV d),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积: DyxM d),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:假如假如 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d 二重积分记作二重积分记作.dd),( Dyxyxf,kkkyx 分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作 Dyxyxfdd),( Dyxyxdd),( ,ddyx这时这时定理定理1.二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可上可在在则则Dyxf),(证明略)在在D上可积上可积

7、.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 那么那么若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如, yxyxyxf 22),(在在D :10 x10 y上二重积分存在上二重积分存在 ;yxyxf 1),(但但在在D 上上 y1xo1D二重积分不存在二重积分不存在 . 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 Dyxfk d),(. 1( k 为常数为常数) Dyxgyxf d),(),(. 2 21d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf ,1),(. 4 yxfD上上若若在在 D

8、D dd1 为为D 的面积的面积, 那那么么 ),(2121无无公公共共内内点点DDDDD Dyxfk d),( DDyxgyxf d),(d),(特别特别, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxf Dyxf d),(那那么么 Dyxf d),( Dyx d),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yx Dyxf d),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfMDD D 的面积为的面积为 , MyxfmD d),(则有则有7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设设函函数数,),(D ),(),(fdyxfD 证证: 由性质由性质6 可知可知,MyxfmD

9、d),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点D ),( Dyxff d),(1),( ),(d),(fyxfD 在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因而因而xyoD8. 设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , ),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),( Dyxf0d),( Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍1D在在 D 上上 d),(21 Dyxf在闭区域上连续在闭区域

10、上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,那么那么那么那么有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则有则有1:,221 yxDD 为为圆圆域域如如 Dyxyxdd)(22 Dyxyxdd)( 1dd)(422Dyxyx0 例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: d)(,d)(32 DDyxyx其中其中2)1()2(:22 yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx 2)1()2(22 yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切相切与直线与直线 yx而域而域 D 位位, 1 yx从而从而 d)(d)(32 DD

11、yxyx于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2. 判断积分判断积分yxyxyxdd1432222 的正负号的正负号.解解: 分积分域为分积分域为,321DDD那那么么原式原式 =yxyxDdd11322 yxyxDdd12322 yxyxDdd13223 1ddDyxyxDdd1333 )34(23 23D32D11Dyxo0)21(3 猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计 .舍去此项舍去此项例例3. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22 yxDyxyxD解解: D 的面积为的面积为200)210(2 由于由于 yx22co

12、scos1001积分性质积分性质5100200I102200 即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo例例 4 4 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab例例 5 5 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值， 其其中中 D： 20, 10 yx. 区域面积区域面积2 ,16)(1),(2

13、 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41时时 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1(时时 yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 6 6 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号. , 1)(0222 yxyx由于由于故故 0)ln(22 yx;于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例 7 7 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜边

14、边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D1)ln(0 yx故故,)ln()ln(2yxyx 于于是是xbad 设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为 bxaxyxyxD)()(),(21 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 DyxfV d),(yyxfxAxxd),()()()(000201 截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21 baxxAd)(截柱体的截柱体的)(2xy )(1xy zxyoab0 xD四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算ydcxo)(2yx )(1

15、yx yydcd dycyxyyxD ),()(),(21 同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 DyxfV d),(xyxfyyd),()()(21 xyxfyyd),()()(21 dcydxyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx

16、 222Rzx D例例1. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义 Dyxf d),(iiinif ),(lim10 )dd(dyx 2. 二重积分的性质二重积分的性质 (与定积分性质相似与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法被积函数相同被积函数相同, 且非负且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122 yxyxIyxdd12 yxyxIdd11113 解解: 321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III 11xyo1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:,d31 DxyI ,d322 DxyI DxyI d321