数学建模模型和技巧

1、建模模型和技巧常亮常亮常用数学建模思想常用数学建模思想一常用数学建模模型常用数学建模模型二如何处理建模中的特殊数据？如何处理建模中的特殊数据？三数学建模比赛注意？数学建模比赛注意？四常用数学建模思想常用数学建模思想 一一 一般包括问题分析、模型假设、建立模型、求解模型和验证模型等五个步骤。 数学建模的常用思想数学建模的常用思想 一一 数学公式定理模型方程、函数、积分或微分 程序模型算法框图 图表模型折线、柱状和饼图等 注意：数据精准要有图形说明和图形结论 例如，微观经济学中的供给、需求曲线 文字模型数学建模的常用方法数学建模的常用方法 一一 定性分析和定量分析 机理分析建模和测试分析建模， 简

2、称机理建模和统计建模探寻内部规律并且数量化和定理化难点：分析能力、综合能力 阅读和学习文献资料公式难 抽象难机理建模如同科学研究，例如气象预报模型、地震预报模型但是机理建模却是最有用、最能提高能力的建模主要有：微分方程模型（ODE和PDE）、差分方程模型、优化类模型（线性规划、非线性规划、排队论、决策论、投入产出模型等）如何机理建模？如何机理建模？一 英国人马尔萨斯（英国人马尔萨斯（Malthus，1766-1834）认为人口的净）认为人口的净增长率为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比，增长率为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比，设设 t 时刻人口数位时刻人口数位 p(t)，则

3、有，则有 Malthus 人口模型人口模型(1) )(0,00ptpcarpdtdp如何机理建模？如何机理建模？一 用此模型估算用此模型估算17001961年间的人口数目，计算结果与年间的人口数目，计算结果与人口实际情况竟然惊人地相似。但是，当人口实际情况竟然惊人地相似。但是，当 t + ，计算结果，计算结果 p(t) + ，具体地说，此模型可以求得，具体地说，此模型可以求得2510年的人口总数为年的人口总数为2000亿左右，可见，这一模型必须进行修正。问题出在亿左右，可见，这一模型必须进行修正。问题出在Malthus只看到繁衍增长的一面，未看到种群内竞争（如人类只看到繁衍增长的一面，未看到种

4、群内竞争（如人类战争）对种族发展的抑制作用。战争）对种族发展的抑制作用。)(00)(ttreptp这个这个Cauchy问题的解为问题的解为00)()(ptppbprdtdp1837年荷兰生物数学家年荷兰生物数学家 Verhulst 考虑单了种群成员间考虑单了种群成员间冲突乃至残害现象，得出容易理解的下述单种族数学模冲突乃至残害现象，得出容易理解的下述单种族数学模型：型： 其解为：)0(000ttrerpbprrpp（2） 美国和法国都曾用这个公式预报过人口变化，结果相当符美国和法国都曾用这个公式预报过人口变化，结果相当符合实际。显然合实际。显然brpt(t)lim（3） r =0.029，b可

5、以如下求得：可以如下求得：1980年年5月月1日，我国日，我国公布的人口总数公布的人口总数1979年底为年底为97092万人，当时人万人，当时人口增长率为口增长率为1.45%，于是，于是 r-b9.7092 108 =0.0145，从而求得：，从而求得：b，及，及 =19.42(亿），即，亿），即，我国的人口极限约为我国的人口极限约为19.42亿人。亿人。br+ 例题1 碎纸片拼接（13年国赛B题）提示：关键是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假设：碎纸片中字等间距、等大小 程序模型 机理建模的关键：1）仔细分析、团队讨论 2）多阅读、多学习、多交流 3）

6、合理假设，难易适中 4）注意小处、层层推进如何机理建模？如何机理建模？一如何统计建模？如何统计建模？一如何统计建模？如何统计建模？一 统计数学建模中常用的方法：常用数学建模方法和技巧常用数学建模方法和技巧二 数学建模中常用的方法：微积分（差分法、微积分（差分法、微分法、变分法等）微分法、变分法等）、图论法、数学规划数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、排队方法、对策方法、规划，目标规划）、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算灰色理论方

7、法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）等等9种方法。种方法。常用数学建模方法和技巧常用数学建模方法和技巧二 其他技巧：1、论文排版2、文献资料查找3、论文写作4、论文修改5、文献阅读使用技巧常用数学建模方法和技巧常用数学建模方法和技巧二 插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确定某类函数的参数或寻找某个近似函数，使所得的函数与已知数据具有较高的精度，并且能够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象的性质 几种常用的方法：几种常用的方法：（ 1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘曲线 4、曲面的拟合常用数学建模方法和技巧常用数学

8、建模方法和技巧二2、常用数学建模方法和技巧常用数学建模方法和技巧二常用数学建模方法和技巧常用数学建模方法和技巧二曲曲 线线 插插 值值 拟拟 合合 案例案例已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使使 f(x) 在某种准则下与所在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 +xyy=f(x)+1、插值问题： 不知道某一函数f(x)在待定范围a,b上 的具体表达式，而只能通过实验测量得到该 函数在一系列点ax1, x2 , ., xn

9、b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一个简单的函数P(x) 来近似地代替f(x)，要求满足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)2、插值函数：P(x) ，3、插值法：求插值函数P(x)的方法常用插值函数1、多项式函数2、样条函数1、多项式插值方法（1）n次代数插值（2）拉格朗日插值几点说明：（1）拉格朗日插值基函数仅与节点有关，而 与被插值函数f(x)无关。（2）拉格朗日插值多项式仅由数对(xi,yi)(i 1,2,n)确定，而与数对排列次序无关。（3）多项式插值除了上述插值法外还有其它 插值法，如如newton插值法、插值法、hermite（埃尔埃尔 米特米特）插值、分

10、段插值值法等。）插值、分段插值值法等。注意下面图中注意下面图中曲线曲线的变化情况！的变化情况！例例 ：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211( )f xx 1050(,., )ixi inn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) f (x) 2n ( )yf x 5n 10n 二、常用插值函数1、多项式函数2、样条函数2、样条插值方法（1）样条函数m次半截幂函数（2）k次B样条或k次基本样条函数的定义（1）二次样条的定义 设a,b 的一个划分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函数f ( x

11、 )各节点的值分别为： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次样条函数：满足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) （2）三次样条函数的定义 设a,b 的一个划分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函数f ( x )各节点的值分别为： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次样条函数：3满足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 命令1 interp1 功能 一维数据插值。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 yi = interp1(x,Y,xi,method

12、) %用指定的算法计算插值： nearest：最近邻点插值，直接完成计算； linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算； spline：三次样条函数插值。 cubic:分段三次Hermite插值。用于对向量x与y执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； 要求要求x0,y0 x0,y0单调；单调；x x，y y可取可取为矩阵，或为矩阵，或x x取取行向量，行向量，y y取为列向量，取为列向量，x,yx,y的值分别不能超出的值分别不能超出x0,y0 x0,y0的范围。的范围。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作网格节点数据的

13、插值作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值nearest nearest 最邻近插值最邻近插值linear linear 双线性插值双线性插值cubic cubic 双三次插值双三次插值缺省时缺省时, , 双线性插值双线性插值 插值函数插值函数griddata格式为格式为: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散点数据的插值计算作散点数据的插值计算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取为列向量取为列向量。被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值nearest nearest 最邻近插值最邻近插值linear linear

14、 双线性插值双线性插值cubic cubic 双三次插值双三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省时缺省时, , 双线性插值双线性插值 命令3 interp3 功能 三维数据插值（查表） 格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI，method) ： linear：线性插值（缺省算法）； cubic：三次插值； spline：三次样条插值； nearest：最邻近插值。 说明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。当X,Y,Z是等距且单调时，用算法 *linear，*cubic，*nearest，可得到快速插值。 曲线拟合问题最常用

15、的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步: :先选定一组函数先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 为待定系数。为待定系数。 第二步: 确定确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小 。记记 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 问题归结为

16、，求问题归结为，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中中函数函数rr1 1(x), r(x), rm m(x)(x)的选取的选取 1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 将数据将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3

17、x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx判断拟合效果标准：拟合度判断拟合效果标准：拟合度R R2 2, ,值越接近于值越接近于1 1，效果越好，效果越好用用MATLAB解拟合问题解拟合问题1 1、线性最小二乘拟合、线性最小二乘拟合2 2、非线性最小二乘拟合、非线性最小二乘拟合用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合1. 1. 作多项式作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合拟合, ,可利用已有程序可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.2.多项式在多项式在x x处的值处的值y y可用以下命令计算：可用以下命令计算： y=po

18、lyvaly=polyval（a a，x x）输出拟合多项式系数输出拟合多项式系数a=a1, am , am+1 (数组数组) )）输入同长度输入同长度的数组的数组X，Y拟合多项拟合多项式次数式次数1. lsqcurvefit1. lsqcurvefit已知数据点数据点： xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），）， ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n） 用用MATLAB作非线性最小二乘拟合作非线性最小二乘拟合 Matlab Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：

19、的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefitlsqcurvefit和lsqnonlinlsqnonlin。两个命令都要先建立。两个命令都要先建立M-M-文件文件fun.mfun.m，在其中定义函数在其中定义函数f(x)f(x)，但两者定义，但两者定义f(x)f(x)的方式是不同的的方式是不同的, ,可参可参考例题考例题.最小 ),(21niiiydataxdataxF lsqcurvefitlsqcurvefit用以求含参量用以求含参量x x（向量）的向量值函数（向量）的向量值函数F(x,xdata)=F(x,xdata)=（F F（x x，xdataxdata1 1），），

20、F F（x x，xdataxdatan n）T T中的参变量中的参变量x(x(向量向量),),使得使得 fun是一个事先建立的是一个事先建立的定义函数定义函数F(x,xdata) 的的M-文件文件, 自变量为自变量为x和和xdata说明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);function f=ni(C,x1)f=C(1)*exp(x1)+C(2)*x1.2+C(3)*x1.3end保存为文件保存为文件 ni.mx1=0:0.1:1;y1=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17

21、;x0=0,0,0;x,resnorm=lsqcurvefit(ni,x0,x1,y1)迭代初值迭代初值已知数据点已知数据点选项见无选项见无约束优化约束优化说明：x= lsqnonlinlsqnonlin （fun，x0，options）；）；fun是一个事先建立的是一个事先建立的定义函数定义函数f(x)的的M-文件，文件，自变量为自变量为x迭代初值迭代初值选项见无选项见无约束优化约束优化数学模型按照不同的角度划分会得出不同的模型：常用数学建模模型常用数学建模模型三常用数学建模模型常用数学建模模型三常用数学建模模型常用数学建模模型三1 1、优化模型、优化模型: :线性规划线性规划, ,整数规划

22、整数规划, ,非线性规划非线性规划, ,动态规划动态规划, ,多目标规划多目标规划, ,随机规划等随机规划等2 2、预测模型、预测模型: :灰色预测灰色预测, ,回归分析回归分析, ,指数平滑法指数平滑法, , 时间序列等时间序列等3 3、评价模型、评价模型: :综合评价，主因子分析，聚类分综合评价，主因子分析，聚类分 析析, ,因子分析等因子分析等4 4、方程模型、方程模型: :常微分方程常微分方程, ,差分方程，偏微分方差分方程，偏微分方 程等程等常用数学建模模型常用数学建模模型三1、视频数据2、图片数据3、大数据4、文本数据如何处理特殊数据如何处理特殊数据四例题1 碎纸片拼接（13年国赛

23、B题）提示：关键是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假设：碎纸片中字等间距、等大小 程序模型 机理建模的关键：1）仔细分析、团队讨论 2）多阅读、多学习、多交流 3）合理假设，难易适中 4）注意小处、层层推进如何如何处理处理特殊数据特殊数据四数学建模比赛注意数学建模比赛注意五4、时间和体力的问题、时间和体力的问题 竞赛中时间分配也很重要，分配不好可能完不成论文，所以开始时要大致做一下安排。不必分的太细，比如第一天做第一小题，第二天做第二小题，这样反而会有压力，一切顺其自然。开始阶段不忙写作，可以将一些小组讨论的要点记录下来，不要太工整，随便写一下，到第三天再开始写论文也不迟的。也不要到第三天晚上才开始。另外要说的就是体力要跟上，三天一般睡眠只有不到10 个小时，所以没有体力