Ch 8-2 偏导数与全微分

1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数与全微分 第八章第八章 三三 、全微分、全微分 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.),(txux0 处,),(0txu),(0txu关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(

2、00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx00(,);xfxy00(,);xxyz0ddxxxy. ),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy注意注意:0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y00(,)yfxy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzfzxx则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,1( , ),( , )

3、xfx yf x y2( , ),( , )yfx yfx y) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,yzfzyy( , , )xfx y z例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx( , , )?yfx y z( , , )?zfx y zx机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxx

4、fxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfzd(0, 0)( , 0)0dxff xxxd(0, 0)(0,)0dyffyyy00注注: :但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例例1 . 求223

5、yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态

6、方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数( , ),( , )xyzzfx yfx yxy若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy 22()( , )y yzzfx yyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz( , );x xfx

7、 yyxz2( , )x yfx y2( , );y xzfx yy x x机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为11nnxzyxe22例例5. 求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2

8、yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxx0(0,)(0,0)limxxyfyfy ( , )yf x y例如例如,( , )xf x y(0,0)xyf 0(, 0)(0,0)(0,0)limyyyxxfxffx 二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuy

9、uxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动 目录 上页 下页 返回 结束 00()()(,),xyyxfx,yfx,yxy若和都在点连续0000(,)(,)x yyxfxyfxy则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,( , , )( , , )( , , )xyzyzxzxyfx y zfx y zfx y z说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导

10、数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.( , , )( , , )( , , )x z yy xzz yxfx y zfx y zfx y z因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10010010(,)(,)xxfxx yyfxx yx0102(,)x yfxx yyx y ),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)1

11、0(1)1,0(2100()()(,),xyyxfx,yfx,yxy若和都在点连续0000(,)(,)x yyxfxyfxy则)()(00 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyy0304(,)yxfxx yyxy ) 1,0(430000(,)(,)x yyxfxyfxy,xyyxfx yfx y因（） （）, 0 x故令0304(,)yxfxx yy0102(,)x yfxx yy在点)(00yx ，连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y三、全微分、全微分定义定

12、义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.1、全微分的定义、全微分的定义yBxA(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了

13、可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即定理定理1 1( (必要条件必要条件) )若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzdxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(yx

14、fyxxfzx反例反例: 函数),(yxf易知(0, 0)(0, 0)0,xyff 但( 0, 0)( 0, 0)xyzfxfy 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2 2( (充分条件充分条件) )yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21( , )xfx yx 2( ,)yfx yyy1(,)xfxx yyx ),(yyxf),( y

15、xf),(yyxf( , )yfx yy若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yxz( , )( , )xyfx yxfx yy ( , )( , )xyzfx yxfx yy xy 所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推广推广: : 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作dxu故有下述叠加原理ddddxyzu

16、uuu称为偏微分偏微分.yyudzzudduxxuyduzd的全微分为yyuzzu于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuuzyxd,d,d例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: ud1 dxyyd) cos(221dyzyezyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当*2、全微分在数值计算中的应用、全微分在数值计算中的应用(1). 近似计算近似计算由全微分定义xy(

17、 , )( , )( )xyzfx yxfx yyo ),(yyxxf( , )( , )xyfx yxfx yy 较小时,d( , )( , )xyzzfx yxfx yy zd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例3. 3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的

18、近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设,则( , )xfx y取则)02. 2,04. 1(04. 102. 2f(1, 2)(1, 2)(1, 2)xyffxfy 08. 102. 0004. 021( , )yfx y,1yxyxxyln机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 0.04,y = 0.02,f(x,y)= x yx =1, y = 2,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,(2). (2). 误差估计误差估计利用( , )( , )xyzfx yxfx yy , , xyz令z 的绝对误

19、差界约为( , ) ( , ) zxxyyfx yfx yz 的相对误差界约为( , )( , )( , )( , )yxzxyfx yfx yzf x yf x y机动 目录 上页 下页 返回 结束 则特别注意特别注意: :时，yxz ) 1 (xyzzxy,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin21

20、12.5,8.3,30 , 0.01, 1800abCabC0.13S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.250.1325.940.5%计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbSccS内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分定义:),(yxfz z( , )( , )xyfx yxfx yy dz ( , )d( , )dxyfx yxfx yy22)()(yx4. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(xuuf练习题练习题1. 设, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其